不定方程172kx(x+1)(x+2)(x+3)=y(y+1)(y+2)(y+3)的整数解

张 敏，高 丽

(延安大学数学与计算机科学学院，陕西延安716000)

不定方程的求解问题不仅在数论中具有重要的研究价值，而且在其它学科中也有广泛的应用价值，如在密码学、电子工程和计算机科学技术等方面都有重要的应用。因此不少学者对其进行了深入系统的研究，如四次不定方程

Mx(x+1)(x+2)(x+3)=

Ny(y+1)(y+2)(y+3)

(1)

其中M，N为整数。

1971年，Cohn J E[1]证明了当M=2,N=1时，不定方程(1)只有正整数解(x,y)=(5,4)；1975年，Ponnudurai T[2]证明了当M=3,N=1时，不定方程(1)有正整数解(x,y)=(3,2)和(7,5)；1982年，宣体佐[3]证明了当M=5,N=1时，不定方程(1)只有正整数解(x,y)=(2,1)；1991年，罗明[4]证明了当M=1,N=7时，不定方程(1)只有正整数解(x,y)=(4,2)；2006年，柳杨[5]证明了当M=112k,N=1时，不定方程(1)没有正整数解；2007年，柳杨等[6]证明了当M=132k,N=1时，不定方程(1)没有正整数解；2011年，徐凯等[7]证明了当M=192k,N=1时，不定方程(1)没有正整数解；2009年，罗明等[8]证明了当M=3,N=5时，不定方程(1)只有正整数解(x,y)=(7,6)；同年段辉民等[9]证明了当M=1,N=19时，不定方程(1)没有正整数解；2015年，张洪等[10]证明了当M=1,N=21和M=1,N=23时，不定方程(1)没有正整数解；2016年刘海丽等[11]证明了M=1,N=35时，不定方程(1)只有正整数解(x,y)=(4,1)；同年林昌娜等[12]证明了M=1,N=34时，不定方程(1)只有正整数解(x,y)=(14,5)；张洪[13]讨论不定方程(1)的正整数解情况；2017年，胡邦群等[14]证明了M=6,N=7时，不定方程(1)只有正整数解(x,y)=(25,24)；2018年，陈琼[15]证明了M=1,N=33时，不定方程(1)只有正整数解(x,y)=(9,3)；白金卉[16]证明了M=1,N=37时，不定方程(1)没有正整数解。

本文就是在以上研究思路以及方法的基础上，对M=172k,N=1这一种情形做了进一步研究，证明如下定理：

定理当M=172k,N=1(k∈N)时不定方程(1)没有正整数解，即不定方程

172kx(x+1)(x+2)(x+3)=

y(y+1)(y+2)(y+3)

(2)

没有正整数解。

1 预备引理

为证明这一定理，我们需要先做一些准备工作。

引理1 当M=172k,N=1(k∈N)时，不定方程(2)有正整数解的充要条件是不定方程组

(3)

有正整数解。

证明：必要性 若方程(2)有正整数解x0,y0，则

172kx0(x0+1)(x0+2)(x0+3)=

y0(y0+1)(y0+2)(y0+3)。

(v0-1)(v0+1)=172k(u0-1)(u0+1)，

这表明不定方程组有正整数解u0,v0,x0,y0。

充分性 若不定方程组(3)有正整数解u0,v0,x0,y0，则

从而可得

即172kx0(x0+1)(x0+2)(x0+3)=

y0(y0+1)(y0+2)(y0+3)，

由此可知，方程(2)有正整数解x0,y0。

引理2 设k为自然数，则不定方程组

(4)

仅有一组正整数解：

u=1,v=1,A=17k-1,B=17k+1。

证明：由A=17ku-v，B=17ku+v可知A<17k，B>17k，则A

于是可知，1≤A<17k

令A=17k-l1,1≤l1<17k，l1是整数；B=λ17k+l2，λ≥1,0≤l2<17k,λ,l2均为整数。则方程组(4)的前两式可化为

即2×17ku=17k(λ+1)+(l2-l1)，由此可知17k|(l2-l1)，又因为0≤|l2-l1|<17k，因此必有l2-l1=0。令l2=l1=l，1≤l<17k，则有

A=17k-l，B=λ17k+l，

由AB=172k-1及上式得

172k-1=(17k-l)(λ17k+l)=

172kλ+17kl-17kλl-l2，即

17k(λ-1)(17k-l)=(l-1)(l+1)

(5)

若λ=1，则有l=1，从而可得A=17k-1,B=17k+1，此时方程(4)有正整数解u=1,v=1,A=17k-1,B=17k+1。

若λ>1，则l>1，此时有2u=λ+1，由此可知λ为奇数，由式(5)可知17k|(l+1)(l-1)。

若17k|(l+1)，且有17k|(l-1)，则有17|[(l+1)-(l-1)]，故与17⫮ 2互相矛盾，这表明17k|(l+1)，1≤l<17k，所以必有l+1=17k，将l+1=17k代入A=17k-l中，并利用AB=172k-1可知A=1，B=172k-1，与题设矛盾。

所以不定方程组(4)仅有一组正整数解：

u=1,v=1,A=17k-1,B=17k+1。

引理3 当k是自然数，则不定方程

172ku2-v2=172k-1

仅有正整数解u=1,v=1。

证明：由引理2即可以得到引理3的结论。

2 定理的证明