多参数C0-半群拓扑与弱多参数C0-半群拓扑

毕 伟

(延安大学学术期刊中心，陕西延安716000)

近些年，算子半群的理论研究与应用得到迅速发展。文献[1-4]给出了双参数C0-半群与双参数C-半群的定义，并对它们的全微分、偏微分、稳定性等进行了研究。文献[5-7]给出了几类双参数半群拓扑的定义，并研究了它们的基本性质。然而，与双参数半群的理论相比较，多参数半群的理论研究不多，有许多问题有待研究。本文根据多参数C0-半群和连续线性泛函的概念，给出了多参数C0-半群拓扑与弱多参数C0-半群拓扑的定义，并得到了它们的一些性质，从而推广了多参数C0-半群的理论。

1 预备知识

设(X,‖·‖)为Banach空间，(X,‖·‖)′为X的共轭空间，B(X)表示X上的有界线性算子全体。

定义1[8]设I∈B(X)为恒等算子，若(X,‖·‖)上的多参数算子族{T(t1,t2,…,tn)}t1,t2,…,tn≥0⊆

B(X)满足：

(1)T(0,…，0)=I；

(2)T(t1,t2,…,tn)T(s1,s2,…,sn)=

T[(t1,t2,…,tn)+(s1,s2,…,sn)]，

t1,t2,…,tn,s1,s2,…,sn≥0；

引理1[9]设E是线性空间，A，B是E上的两族拟范数，则由A确定的拓扑弱于由B确定的拓扑的充要条件是：对于每个q∈A，必存在p1,p2,…,pm∈B以及正数c1,c2,…,cm，使得对一切x∈E下式成立：

q(x)≤c1p1(x)+c2p2(x)+…+cmpm(x)。

2 多参数C0-半群拓扑

对∀t1,t2,…,tn≥0，令Pt(x)=‖T(t1,t2,…,tn)x‖,x∈X，则利用多参数C0-半群的定义，对∀x,y∈X及t1,t2,…,tn≥0有

(1)Pt(x)≥0；

(2)Pt(x+y)≤Pt(x)+Pt(y)；

(3)Pt(αx)=αPt(x),α≥0。

事实上，Pt(x)=‖T(t1,t2,…,tn)x‖≥0；

Pt(x+y)=‖T(t1,t2,…,tn)(x+y)‖=

‖T(t1,t2,…,tn)x+T(t1,t2,…,tn)y‖≤

‖T(t1,t2,…,tn)x‖+‖T(t1,t2,…,tn)y‖=

Pt(x)+Pt(y)；

Pt(αx)=‖T(t1,t2,…,tn)(αx)‖=

‖αT(t1,t2,…,tn)x‖=

α‖T(t1,t2,…,tn)x‖=

αPt(x)。

即Pt(x)是X上的一个拟范数，从而由拟范数族S={Pt:t1,t2,…,tn≥0}可以诱导出一个局部凸向量拓扑，记为τ。

定义2 由上述拟范数族S={Pt:t1,t2,…,tn}诱导的X上的局部凸向量拓扑，称为多参数C0-半群拓扑，相应的局部凸线性拓扑空间记为(X,τ)。

定理1X上的多参数C0-半群拓扑弱于由范数所诱导的局部凸向量拓扑。

证明因为对∀t1,t2,…,tn≥0及x∈X，有：

Pt(x)=‖T(t1,t2,…,tn)x‖≤

‖T(t1,t2,…,tn)‖·‖x‖，

由上式并且根据引理1，得证。

定理2 设{T(t1,t2,…,tn)}t1,t2,…,tn≥0是非退化的多参数C0-半群，则{T(t1,t2,…,tn)}t1,t2,…,tn≥0诱导的多参数C0-半群拓扑τ是分离的。

证明由于{T(t1,t2,…,tn)}t1,t2,…,tn≥0是非退化的，即若对∀t1,t2,…,tn有T(t1,t2,…,tn)x=0，那么必有x=0。所以对∀x≠0有：

从而对∀x≠y，即x-y≠0，必存在s1,s2,…,sn≥0使得Ps(x-y)=3d>0，令V={x:Ps(x)≤1}，则x的邻域x+dV与y的邻域y+dV彼此分离，即多参数C0-半群拓扑τ是分离的。

定理3 设t1,t2,…,tn,s1,s2,…,sn≥0且t1≥s1,t2≥s2,…,tn≥sn，则由拟范数Pt(x)=‖T(t1,t2,…,tn)x‖诱导的局部凸向量拓扑弱于由拟范数Ps(x)=‖T(s1,s2,…,sn)x‖诱导的局部凸向量拓扑。

证明因为对∀x∈X有：

Pt(x)=‖T(t1,t2,…,tn)x‖=

‖T[(t1,t2,…,tn)-(s1,s2,…,sn)+

(s1,s2,…,sn)]x‖=

‖T[(t1,t2,…,tn)-(s1,s2,…,sn)]T(s1,s2,…,sn)x‖≤

‖T[(t1,t2,…,tn)-(s1,s2,…,sn)]‖·

‖T(s1,s2,…,sn)x‖=

‖T[(t1,t2,…,tn)-(s1,s2,…,sn)]‖·Ps(x)。

再根据引理1，定理得证。

3 弱多参数C0-半群拓扑

对∀t1,t2,…,tn≥0及x′∈(X，‖·‖)′，令Pt,x′(x)=x′[T(t1,t2,…,tn)x],x∈X，则利用多参数C0-半群的定义，对∀x,y∈X及t1,t2,…,tn≥0有

(1)Pt,x′(x)≥0；

(2)Pt,x′(x+y)≤Pt,x′(x)+Pt,x′(y)；

(3)Pt,x′(αx)=αPt,x′(x),α≥0。

事实上，Pt,x′(x)=|x′[T(t1,t2,…,tn)x]≥0；

Pt,x′(x+y)=x′[T(t1,t2,…,tn)(x+y)]=

x′[T(t1,t2,…,tn)x]+x′[T(t1,t2,…,tn)y]≤

x′[T(t1,t2,…,tn)x]+x′[T(t1,t2,…,tn)y]=

Pt,x′(x)+Pt,x′(y)；

Pt,x′(αx)=x′[T(t1,t2,…,tn)(αx)]=

αx′[T(t1,t2,…,tn)x]=

αx′[T(t1,t2,…,tn)x]=

αPt,x′(x)。

即Pt,x′(x)是X上的一个拟范数，从而由拟范数族S′={Pt,x′:t1,t2,…,tn≥0}可以诱导出一个局部凸向量拓扑，记为τ*。

定义3 由上述拟范数族S′={Pt,x′:t1,t2,…,tn≥0}诱导的X上的局部凸向量拓扑，称为弱多参数C0-半群拓扑，相应的局部凸线性拓扑空间记为(X,τ*)。

定理4X上的弱多参数C0-半群拓扑弱于多参数C0-半群拓扑，也弱于由范数所诱导的局部凸向量拓扑。

证明因为对∀t1,t2,…,tn≥0，x′∈X′及x∈X，有：

Pt,x′(x)=x′[T(t1,t2,…,tn)x]≤

‖x′‖·‖T(t1,t2,…,tn)x‖≤

‖x′‖·‖T(t1,t2,…,tn)‖·‖x‖，

根据多参数C0-半群拓扑的定义以及引理1，得证。

定理5 设{T(t1,t2,…,tn)}t1,t2…,tn≥0是非退化的多参数C0-半群且x′≠0，则{T(t1,t2,…,tn)}t1,t2,…,tn≥0诱导的弱多参数C0-半群拓扑τ*是分离的。

证明由于{T(t1,t2,…,tn)}t1,t2,…,tn≥0是非退化的，即若对∀t1,t2,…,tn有T(t1,t2,…,tn)x=0，那么必有x=0。所以对∀x≠0有：

从而对∀x≠y，即x-y≠0，必存在s1,s2,…,sn≥0使得Ps,x′(x-y)=3d>0，令V={x:Ps,x′(x)≤1}，则x的邻域x+dV与y的邻域y+dV彼此分离，得证。

定理6 设t1,t2,…,tn≥0，x1′，x2′∈X′，x′=αx1′+βx2′，其中α，β为任意常数，则由拟范数族{Pt,x′(x):t1,t2,…,tn≥0}诱导的局部凸向量拓扑弱于由拟范数族{Pt,x1′(x),Pt,x2′(x):t1,t2,…,tn≥0}诱导的局部凸向量拓扑。

证明因为对∀x∈X有：

Pt,x′(x)=

(αx1′+βx2′)[T(t1,t2,…,tn)x]=

αx1′[T(t1,t2,…,tn)x]+

βx2′[T(t1,t2,…,tn)x]≤

αx1′[T(t1,t2,…,tn)x]+

βx2′[T(t1,t2,…,tn)x]=

α·x1′[T(t1,t2,…,tn)x]+

β·x2′[T(t1,t2,…,tn)x]=

αPt,x1′(x)+β|Pt,x2′(x)。

再根据引理1，定理得证。