一类系伪Smarandache函数与混合型简数根函数方程的解
2019-07-11张明丽申江红
张明丽,高 丽,申江红
(延安大学数学与计算机科学学院,陕西延安716000)
1 相关引理
引理1[8]当n≥2时,有φ(n) 引理2[3,4]:由简数定理知, 引理4[10]:对于素数p与k≥1,有 φ(pk)=pk-pk-1。 引理5[10]:对于任意的正整数n,将伪Smarandache函数Z(n)定义为最小的正整数m,同时满足 引理6[10]:对任意素数p≥3,Z(p)=p-1。 延安大学校级科研计划资助项目(YD2014-05) 作者简介:张明丽(1994—),女,陕西定边人,延安大学硕士研究生。 引理7[10]:对任意素数p≥3及k∈N+,Z(pk)=pk-1;当p=2时,则有Z(2k)=2k+1-1。 引理8[10]:Z(n)非加性函数,即Z(n+m)不恒等于Z(n)+Z(m),且Z(n)也非积性函数,即Z(nm)不恒等于Z(n)Z(m)。 定理1 对于任意的正整数n,混合函数方程: Z(n)=sim(φ(n)) 仅有正整数解n=1,3,5,7,10。 证明:对于混合函数方程 Z(n)=sim(φ(n)) (1) 由引理1,主要分以下两种情形讨论: 情形一:当0 情形二:当n≥3时,φ(n)为偶数,由引理2知,此时 1.当φ(n)≡0(mod9)时,令φ(n)=18l(l∈N+),此时sim(φ(n))=sim(18l)=9,即Z(n)=9。 1.1 当n为奇数时,由引理3—引理8,我们分为以下几种情况进行讨论: i)n=p,且p≥3为素数,Z(p)=p-1=9,即p=10与其为素数矛盾,故此时(1)无解。 ii)n=ps,p≥3为素数且s>1,Z(ps)=ps-1=9,即ps=10(不存在),故此时(1)无解。 iii)n=p1s1pss2…ptst,(其中p1s1p2s2,…,ptst均大于等于3,si≥1,0≤i≤t,t≥2),如果Z(n)=9,根据Z(n)的定义,既满足定义又满足n|45的只有n=45,而sim(φ(45))=sim(24)=6,与前提条件矛盾,故此时(1)无解。 1.2 当n为偶数时,我们分为以下几种情况进行讨论: i)n=2α,且α≥2时,Z(2α)=2α+1-1=9,即2α+1=10(不存在),故此时(1)无解。 ii)n=2αps,p≥3为素数且α>0,s≥1,如果Z(n)=9,根据Z(n)的定义,既满足定义又满足n|45的只有n=45(为奇数)与条件矛盾,故此时(1)无解。 iii)n=2s0p2s1p2s2…ptst,(其中p1s1,p2s2,…,ptst均大于等于3,si≥1,0≤i≤t,t≥2),如果Z(n)=9,根据Z(n)的定义,既满足定义又满足n|45的只有n=45(为奇数)与条件矛盾,故此时(1)无解。 2.当φ(n)≡r(mod9)且0 2.1 当l为奇数时,由于r=1,即Z(n)=1时,n=1归类于情形一,下面依次讨论r=3,5,7的情况。 当r=3,Z(n)=3时,n=2,6, sim(φ(2))=sim(1)=1, sim(φ(6))=sim(2)=2, 经验证可知此时(1)无解。 当r=5,Z(n)=5时,n=15, sim(φ(15))=sim(8)=8, 经验证可知此时(1)无解。 当r=7,Z(n)=7时,n=4,14,28, sim(φ(4))=sim(2)=2, sim(φ(14))(不存在), sim(φ(28))=sim(12)=3, 经验证可知此时(1)无解。 2.2 当l为偶数时,r=2,4,6,8,下面依次进行讨论。 当r=2,Z(n)=2时,n=3, sim(φ(3))=sim(2)=2, 此时式(1)有解n=3。 当r=4,Z(n)=4时,n=5,10, sim(φ(5))=sim(4)=4, sim(φ(10))=sim(4)=4, 此时式(1)有解n=5,10。 当r=6,Z(n)=6时,n=7,21, sim(φ(7))=sim(6)=6, sim(φ(21))=sim(12)=3, 此时式(1)有解n=7。 当r=8,Z(n)=8时,n=9,12,18,36, sim(φ(9))=sim(6)=6, sim(φ(12))=sim(4)=4, sim(φ(18))=sim(6)=6, sim(φ(36))=sim(12)=3, 此时式(1)无解。 定理2 对于任意的正整数n,混合函数方程: Z(n2)=sim(φ(n2)) 仅有正整数解n=1。 证明:对于混合函数方程 Z(n2)=sim(φ(n2)) (2) 由引理1,主要分以下两种情形讨论: 情形一:当n=1时,φ(n2)=1,此时 sim(φ(n2))=sim(1)=1, 而Z(n2)=1,故此时式(2)有解为n=1。 情形二:当n≥2时,φ(n2)为偶数,由引理2知,此时 sim(φ(n2))= 1.当φ(n2)≡0(mod9)时,令φ(n2)=18l(l∈N+),此时sim(φ(n2))=sim(18l)=9,即Z(n2)=9。 1.1 当n为奇数时,由引理3—引理8,我们分为以下几种情况进行讨论: i)n=p,且p≥3为素数,Z(p2)=p2-1=9,即p2=10与其为素数矛盾,故此时式(2)无解。 ii)n=ps,p≥3为素数且s>1,Z(p2s)=p2s-1=9,即p2s=10(不存在),故此时式(2)无解。 iii)n=p1s1p2s2…ptst,(其中p1s1,p2s2,…,ptst均大于等于3,si≥1,0≤i≤t,t≥2),如果Z(n2)=9,根据Z(n)的定义,既满足定义又满足n2|45的只有n=3,而sim(φ(32))=sim(6)=6,与前提条件矛盾,故此时式(2)无解。 1.2 当n为偶数时,我们分为以下几种情况进行讨论: i)n=2α,且α≥2时,Z(22α)=22α+1-1=9,即22α+1=10(不存在),故此时式(2)无解。 ii)n=2αps,p≥3为素数且α>0,s≥1,如果Z(n2)=9,根据Z(n)的定义,既满足定义又满足n2|45的只有n=3(为奇数)与条件矛盾,故此时式(2)无解。 iii)n=2s0p1s1p2s2…ptst,(其中p1s1,p2s2,…,ptst均大于等于3,si≥1,0≤i≤t,t≥2),如果Z(n2)=9,根据Z(n)的定义,没有既满足定义又满足n2|45的n,故此时式(2)无解。 2.当φ(n)2≡r(mod9)且0 2.1 当l为奇数时,由于r=1,即Z(n2)=1时,n=1归类于情形一,下面依次讨论r=3,5,7的情况。 当r=3,Z(n2)=3时,由于这样的正整数n不存在,故此时式(2)无解。 当r=5,Z(n2)=5时,由于这样的正整数n不存在,故此时式(2)无解。 当r=7,Z(n2)=7时,n2=4,即n=2, sim(φ(22))=sim(2)=2, 经验证可知此时式(2)无解。 2.2 当l为偶数时,r=2,4,6,8,下面依次进行讨论。 当r=2,Z(n2)=2时,由于这样的正整数n不存在,故此时式(2)无解。 当r=4,Z(n2)=4,时,由于这样的正整数n不存在,故此时式(2)无解。 当r=6,Z(n2)=6,时,由于这样的正整数n不存在,故此时式(2)无解。 当r=8,Z(n2)=8时,n2=9,36,即n=3,6, sim(φ(32))=sim(6)=6, sim(φ(62))=sim(12)=3,故此时式(2)无解。2 主要结论及其证明