在直观操作中发展学生的数学抽象素养——以“从拼长方形到二次三项式的因式分解”为例

丁银杰

(江苏省苏州市草桥中学校 215031)

因式分解是初中数学的重要内容之一，有着广泛的应用．《苏科版义务教育教科书·数学》将因式分解安排在七年级下册“整式乘法与因式分解”一章．教材共用4课时介绍因式分解概念和两种因式分解基本方法(提公因式法、运用公式法)，此外在“数学活动：拼图 公式”栏目适度拓展了因式分解，但未提及十字相乘法．

对于《义务教育数学课程课标(2011年版)》删去十字相乘法，很多学者和一线教师都颇有微辞．实际教学中，教师会根据学情用1到2个课时补充十字相乘法，以满足后续学习的需要．

相对于提公因式法和运用公式法的“机械算”，十字相乘法重在“灵活凑”，需要一定的开放、直觉思维作为支撑．常规教学一般从多项式乘法出发．从纯“数”的角度讲解十字相乘法，重点讲解形如x2+bx+c的二次三项式的因式分解，学生难以理解“十字交叉”的意义．

笔者以某次公开教学研讨课为契机，对十字相乘法进行了大胆的创新教学实践，借助于直观操作——“拼”长方形，数形结合，突破难点，帮助学生理解“凑”因式的数学原理，进而抽象出“十字相乘法”，从中发展学生的直观想象和数学抽象素养．

1 类比——寻求思路

G·波利亚曾说：“类比是提出新命题和获得发现取之不竭的源泉”，类比法是由两个或两类对象在某些方面的相同或相似，作出它们在其他方面也可能相同或相似的推理方法，属于合情推理．类比完全平方式可用正方形表征，获得一般的二次三项式可用长方形表征的猜想，这为一般的二次三项式的因式分解提供了解决问题的思路．

在教学的第一环节设计了如下的问题情境：

(1)如图1，A卡片是边长为x的正方形，B卡片是边长为y的正方形，C卡片是长为x、宽为y的长方形．

图1

请用A、B、C三种卡片分别拼一个面积为x2+2xy+y2、4x2+4xy+y2的正方形，并根据图形，写出多项式x2+2xy+y2、4x2+4xy+y2因式分解的结果；

(2)请尝试用A、B、C三种卡片拼一个面积为x2+3xy+2y2的正方形或长方形，并根据图形，写出二次三项式x2+3xy+2y2因式分解的结果．

本节课学生学习的起点是用完全平方公式把完全平方式分解因式，目标是学会用十字相乘法把二次三项式分解因式，这在认识上属于由特殊到一般．让学生明白“学什么”和“怎样学”是本环节的主要任务．

首先，通过拼正方形，直观表征完全平方式，赋予完全平方式“形”的特征，再根据部分与整体的关系，把完全平方式分解因式．

其次，给出x2+3xy+2y2，让学生“碰壁”(不能使用完全平方公式分解)，激发求知和探究欲望，明确本节课的学习主题——二次三项式的因式分解．在此基础上，引导学生类比，赋予二次三项式x2+3xy+2y2几何意义，将“数”转化成“形”，通过“形”的化零为整，拼出大长方形，再借助于“形”的直观回到“数”，把二次三项式x2+3xy+2y2分解因式，获得初步体验，为后续探究做好心理和认知准备．

2 操作——抽象方法

数学抽象是指抽取出同类数学对象的共同的、本质的属性或特征，舍弃其他非本质的属性和特征的思维过程．正如华罗庚所说的那样，“数缺形时少直观，形少数时难入微．数形结合百般好，隔离分家万事休．”图形的直观为方法的抽象提供了直觉支撑．

在教学的第二环节设计了如下操作与探究活动：

(1)操作与思考：

借助拼长方形，把下列二次三项式分解因式：

①x2+7xy+6y2；②x2+5xy+6y2；③3x2+7xy+2y2．

(2)归纳与抽象：

若ax2+bxy+cy2=(a1x+c1y)(a2x+c2y)(a、b、c、a1、a2、c1、c2均为正整数)，则a与a1、a2，c与c1、c2，b与a1、a2、c1、c2有怎样的数量关系？

本环节的核心任务是借助图形的直观，初步抽象出十字相乘法的一般方法，关键是借助A、B卡片分别拼成的两个小长方形(或正方形)帮助学生理解“拆两头”，借助C卡片拼成的两个小长方形理解“交叉相乘凑中间”的意义，体会“拆的自由”与“凑的约束”之间的辩证关系．

对于同一个二次三项式，由于拼长方形的方式不同，得到的图形也不同(图2是学生根据x2+5xy+6y2拼出的几种不同图形)．尽管这不影响因式分解结果，但不利于方法抽象，教师在学生拼图过程中要适时引导，让学生认识有序拼图的重要性(如将A、B、C三种卡片分别拼在长方形的左上角、右下角、左下角和右上角)．

图2

如图3-1，从“形”上看，面积为x2+7xy+6y2的长方形长、宽分别为x+6y、x+y，可分为4个小长方形(或正方形)：分别是边长为x的正方形(面积为x2)，长、宽分别为6y、y的长方形(面积为6y2)，与2个长、宽分别为x、y与6y、x的长方形(面积和为7xy)．从“数”上看，x2+7xy+6y2与其两个因式x+6y、x+y之间的数量关系可用图3-2表示．整个分解因式的思维过程可概括为“拆两头(x2=x·x,6y2=6y·y)，交叉相乘相加凑中间(x·y+6y·x=7xy)”．

图3-1

图3-2

对于x2+5xy+6y2，拼成的长方形如图4-1，x2+5xy+6y2与其两个因式x+3y、x+2y之间的数量关系可用图4-2表示．

图4-1

图4-2

对于3x2+7xy+2y2，拼成的长方形如图5-1，3x2+7xy+2y2与其两个因式3x+y、x+2y之间的数量关系可用图5-2表示．

图5-1

图5-2

对于ax2+bxy+cy2(a、b、c为正整数)，不难结合图6-1，得出若ax2+bxy+cy2=(a1x+c1y)(a2x+c2y)，则a=a1a2，c=c1c2，b=a1c2+a2c1，各系数之间的关系可用图6-2表示．若只保留系数，图6-2可简化为图6-3．这样便抽象出具有“形”的背景的十字交叉相乘的“数”的结构，完成二次三项式因式分解一般方法——十字相乘法的初步构建．

图6-1

图6-2

图6-3

3 变式——提升能力

顾泠沅在分析、反思中国数学课堂时，认为变式教学是一种中国盛行的数学教学方法，满足了数学教学的两个目标：(1)通过使用概念性变式, 从多角度理解数学对象(概念和原理)；(2)采用过程性变式开展有层次的数学活动．

为了完备对十字相乘法的构建，体现十字相乘法的应用价值，在教学的第三环节设计了如下变式探究：

(1)一般地，若ax2+bxy+cy2=(a1x+c1y)·(a2x+c2y)(a、b、c为常数)，则a与a1、a2，c与c1、c2，b与a1、a2、c1、c2有怎样的数量关系？ 请说明理由．

(2)根据(1)中的各系数之间的数量关系，把二次三项式x2+2xy-3y2分解因式，请用A、B、C三种卡片拼一个面积为x2+2xy-3y2的长方形(允许图形有部分重叠)．

(3)用十字相乘法，把下列二次三项式分解因式：

①4x2+12x+9；②x2-0.5x+0.06；

③(s-t)2-2(s-t)-3．

在前面操作、抽象的基础上，学生不难回归“数”，利用多项式乘法，经历再次抽象，将直观拼图获得的抽象方法拓展到一般情形，完备对十字相乘法的认识与构建．

正是有了动手“拼”的经验，头脑中有了“形”的意象，眼中的“数”才具有灵动的意义．此时 “拆”和“凑”不再依赖实物操作，在思维的指引下，便可得到图7-1，即x2+2xy-3y2因式分解的结果为(x+3y)(x-y)．

图7-1

拼面积为x2+2xy-3y2的长方形意不在验证，而在进一步拓展学生的思维，以数御形，发展学生的直观素养．学生先前获得的经验是：当二次三项式各项系数皆为“+”号时，拼图过程是一个不断向外“扩张”的过程，当系数出现了“-”号时，图形可以适度重叠，向内“缩小”．如图7-2，在x2+2xy-3y2=(x+3y)(x-y)的启发下，先用1张A卡片、3张C卡片拼出一个大长方形，再用1张C卡片、3张B卡片拼出一个小长方形，然后用小长方形覆盖大长方形，这样大长方形未被覆盖部分的面积就是x2+2xy-3y2．

图7-2

此外，学生通过变式训练可以感受十字相乘法的普适性．二次三项式各项的系数可以是整数也可以是分数或小数;多项式只需是关于某一“主元”的二次三项式，“主元”可以是单项式或多项式．

如，多项式4x2+12x+9可以看作是4x2+12xy+9y2中字母y=1的特殊情形；若令s-t=x，则(s-t)2-2(s-t)-3可化为x2-2x-3．

变式训练还力求让学生感受十字相乘法的包容性．通过变式训练让学生明白运用公式法(平方差公式和完全平方公式)是十字相乘法的特例．

如，4x2+12xy+9y2=(2x+3y)(2x+3y)，4x2-9可看作4x2+0x-9．

4 反思

(1)情境与目标

教学情境是为落实教学目标而设计的引导性问题或操作活动．好的情境符合学情、遵循认知和教学规律，有利于教学目标的实现．在本节课的教学中，设计了拼长方形的问题情境，较之直接从因式分解与整式乘法的关系，从纯“数”的角度去探究，拼长方形的问题情境直观性和操作性强，能调动学生多种感官参与认知，整个过程摸得着、看得见、说得清、想得通，大大降低了探究的难度，有利于教学目标的达成．这一设计很好地体现了数学实验的“手脑协同，启思明理”的教学主张．

(2)直观与抽象

直观想象和数学抽象都是应着力发展的数学学科核心素养，两者有着密不可分的天然联系，图形的直观与直觉思维为数学抽象提供素材，数学抽象是直观想象的高度概括．根据儿童思维发展理论，小学生的思维以具体形象思维为主要形式，到了初中阶段，逐步过渡到以抽象逻辑思维为主要形式，但抽象思维水平仍然较低，对数学知识的理解离不开直观形象的支撑．从图形的直观抽象出具有“形”的特征的“数”的结构，不仅符合学生的认知心理，而且有力促进了学生数学抽象素养的提升．正是因为“数”的结构固着了“形”的特征(上下两行分别对应长方形的长和宽)，十字相乘法教学中的典型错误(根据图6-2，将因式分解的结果写成(a1x+c2y)(a2x+c1y))显著减少了．

本节课的教学绝不仅仅是十字相乘法技能的传授，拼图情境贴近学生心理，降低了思维难度，操作探究提供足够的直观支撑，拉长了思维过程，有利于学生在直觉思维的参与下，不断抽象，完成十字相乘法的自主构建．