一类递推数列的通项公式及其应用

王福水

(重庆市第一中学 400030)

用递推公式表示的数列叫做递推数列.求解递推数列通项公式的常用方法有累加法、累乘法、待定系数法等不同方法，通常需要较高的变形、转化技巧.学习过程中，我发现在求数列的通项公式题目中很多都可通过转化归结为求如下一类递推数列的通项公式：

问题已知数列{an}的初始项a1，并满足

an+1=pan+dqn+kn+b，(n∈N*),

(1)

其中参数p,q,d,k,b为实常数.求数列{an}的通项公式.

文献[1-3]针对k=0,b=0情形进行了系列研究，而文献[4,5]还进一步对d=0情形进行了分析，但尚未发现所有情形下该递推数列的完整通项公式.因此，本文将首先推导出该数列的完整通项公式，再结合实例说明所得公式的应用，以达到举一反三、提高解题效率的目的.

1 通项公式推导

根据参数p的取值，我们分如下二种情形分别进行推导.

(一)p=1情形

此时递推数列(1)可变形为

an+1-an=dqn+kn+b，(n∈N*).

利用累加法可得

(2)

由(2)式即可导出此情形下递推数列(1)所确定数列{an}的通项公式.

(二)p≠1情形

同p=1情形类似，也分p≠q和p=q两种情况分别讨论.

①p≠q情形

此时可利用待定系数法由递推数列(1)构造出一个新的等比数列，再利用等比数列的性质求出数列{an}的通项公式，具体过程如下：

在递推数列(1)两边同时加上c1qn+1+c2(n+1)+c3，其中c1,c2,c3为待定系数，整理可得

如果

(3)

那么新数列{bn=an+c1qn+c2n+c3}就是一个等比数列，其首项为b1=a1+c1q+c2+c3，公比为p.由等比数列的通项公式可得

an+c1qn+c2n+c3=bn

=b1·pn-1=(a1+c1q+c2+c3)·pn-1

从而此情形下递推数列(1)所确定数列{an}的通项公式为

an=[a1+c2+c3]·pn-1+c1q(pn-1-qn-1)-

c2n-c3，(n∈N*).

(4)

②p=q情形

当p=q时，由前述推导过程知，通项公式(4)将不再适合此时的递推数列

an+1=pan+dpn+kn+b，(n∈N*).

(5)

但经过观察递推数列(1)和(5)，我们发现它们的形式是类似的，因此，应用类比的思想，我们假设递推数列(5)仍具有与递推数列(1)类似结构的通项公式.结合(4)式，我们推测递推数列(5)的通项公式具有如下形式

an=f(n)·pn-1-c2n-c3,

(6)

其中f(n)为待定系函数.

把(6)式代入(5)，得

f(n+1)·pn-c2n-c2-c3

=[f(n)+d]pn-(c2p-k)n+b-c3p.

由(3)式知c2p-k=c2和b-c3p=-c2-c3，从而f(n+1)=f(n)+d.再移项并利用累加法即可得

f(n)=f(1)+(n-1)d.

利用(6)式可知f(1)=a1+c2+c3.因此递推数列(5)所确定数列{an}的通项公式为

an=[a1+c2+c3+(n-1)d]·

pn-1-c2n-c3，(n∈N*).

(7)

事实上，对递推数列(5)我们也可利用常规的变形累加及错位求差法等技巧来求解其通项公式.具体地，对递推数列(5)两边同除以pn+1并移项则可变形为

利用累加法可得

(8)

综合公式(2)、(4)和(7)，我们可归纳总结得到递推数列(1)所有情形下所确定数列{an}的通项公式为

(9)

其中n∈N*并且c1,c2,c3由(3)式给出.

2 通项公式(9)的应用

例在数列{an}中，a1=1，an+1=pan+qn+1+2n+1，(n∈N*)，分别求(1)p=1,q=1；(2)p=1,q=2；(3)p=2,q=3和(4)p=2,q=2情形下{an}的通项公式.

解注意到题目所给的p,q四种取值分别对应了公式(9)中的四种情况，因此利用递推数列(1)中的参数符号并代入(9)式即可得

(1)当p=1,q=1时，an=n2+n-1，(n∈N*).

(2)当p=1,q=2时，an=2n+1+n2-4，(n∈N*).

(3)当p=2,q=3时，an=3n+1-3·2n-1-2n-3，(n∈N*).

(4)当p=2,q=2时，an=(2+n)2n-2n-3，(n∈N*).

3 结束语

本文对文献[1-5]中的相关结论进行了推广并给出了递推数列an+1=pan+dqn+kn+b的完整通项公式(9).若能熟记该公式，在解题中定能起到事半功倍的作用.特别值得提出的是，对p≠1且p≠q情形，比较本文利用类比思想提出的待定系函数法和常规的变形累加及错位求差法等技巧，我们发现待定系函数法更加简洁有效.因此，在数学课程学习中，我们也一定要放飞思想，敢于尝试，再小心求证并归纳总结，以此逐步提高我们的解题水平和逻辑思维能力.