借力微专题，探索高三数学差异教学复习课型

黄寒凝 张海峰

摘 要：在长期的教学实践中，发现教学中差异始终存在，不仅学生的知识基础、兴趣爱好、学习能力等存在差异、教材本身知识难度要求也存在差异.在以提高学生数学能力，培育学生核心素养为目标的高三复习课中，关注教材知识难度差异，对部分符合学生认知结构的、层次分明的、比较系统的知识板块进行微专题突破，能帮助学生构建相对有效的解题思路与策略，在一定程度上减少差异，促进每个学生在原有基础上得到更好的发展.

关键词：差异教学；微专题；导数；单调区间；分类标准

笔者多年任教高三一个平行班、一个实验班，面对能力差异明显的两个教学班，想要完全消除差异是不可能的.但经过长期的差异教学探索，笔者发现在关注学生的知识能力差异的基础上，同时关注教材知识难度差异，对部分符合学生认知结构的、层次分明的、比较系统的知识板块进行微专题突破，设置层级清晰的课堂教学目标，加强课堂教学素材选择的递进性，可以在很大程度上缩小差异，推动班级整体进步.下面以微专题《利用导数求含参函数的单调区间》为例，呈现如何构建一节高效的高三数学差异教学复习课型.

一、结合实测，确认实效性强的微专题

函数与导数考查的最核心部分是以凹凸函数为载体考查函数的单调性问题，从而进一步探究函数的零点、极值、最值等问题.因此利用导数研究函数的单调区间成为研究函数的“先行部队”，是高考考查的一个热点、难点问题，更是我们高三一轮复习的重点内容.学生已经能初步应用导数工具研究单调性，并具备基本的分类讨论思想，但是导数一般是压轴题，由于对分类讨论的标准模糊不清，加上时间不够，导致学生解题信心不足，往往得分率偏低，实测下来得分差异性比较大.因此选择此微专题，起承上启下的作用，利于学生掌握对含参函数零点、极值、最值等图象特征的分析，实效性较强.

二、详析差异，设置层级清晰的课堂教学目标

此专题产生最大差异的地方就在于学生对含参函数单调性的分类讨论标准模糊不清，因此本节课核心在于如何揭示解题的本质，引领学生自然地产生讨论的分类标准.结合教材分析与学生的学情分析，本节课设定以下三个教学目标：

（1）强化导数与函数单调性的关系（陈述性知识），掌握求含参函数单调区间的解题步骤，形成解题的微策略（程序性知识）；

（2）引导学生经历分类讨论标准的形成过程，培养学生分类与整合、数形结合、化归与转化的数学思想方法；

（3）揭示数学解题的本质，提高学生数学抽象、直观想象与逻辑推理等核心素养.

其中（1）中的陈述性知识部分是属于基本知识要求，而程序性知识又分四个梯度逐级递进，此目标可通过课后练习评价反馈达成；（2）（3）中的能力目标与素养目标是渗透式要求，通过阶段性评估反馈达成.

三、精选素材，注重以学生为主体的课堂生成

1.回顾知识，提出课题（从2018年全国1卷21题高考题的背景引入）

例题1.求函数f（x）=2x- -3lnx的单调区间.

【设计意图】从低起点的高考问题出发，符合学生的认知结构，让学生课题起点一致，后进生有信心积极参与到教学中.同时引导学生共同回顾用导数求函数单调区间的基本步骤：

（1）确定函数f（x）的定义域；

（2）求导数f ′（x）；

（3）在定义域内解不等式f ′（x）>0，所得解集为函数f（x）的增区间；

（4）在定义域内解不等式f ′（x）<0，所得解集为函数f（x）的减区间.

揭示利用导数求函数单调区间的本质就是解不等式，函数单调区间的分界点就是f ′（x）=0的根，而不等式f ′（x）>0（或f ′（x）<0）的解集即f ′（x）图象在x轴上方（或下方）對应的x的取值范围，用流程图体现求函数的单调区间的过程，直观明了，逻辑清晰，消除陈述性基础知识差异对教学效果的不利影响.

引出课题：那如果函数是一个含参函数呢？让我们一起进入今天的微专题：《利用导数求含参函数的单调区间》.

2.典例分析，形成解题策略

例题2.已知f（x）=ax2-bx+lnx（a，b∈R），

（Ⅰ）当a=0时，求函数f（x）的单调区间；

（Ⅱ）当b=0时，求函数f（x）的单调区间；

（Ⅲ）当b=2a+1时，求函数f（x）的单调区间.

【设计意图】第（Ⅰ）问属于第一梯度题目，从导函数为形如一次的带参函数入手，具有基础性、针对性、典型性，虽然简单但渗透数形结合思想与初步渗透分类讨论思想，讨论标准易于发现，学生跳一跳即可摘得果子.

解：（Ⅰ）当a=0时，f（x）=-bx+lnx，定义域为（0，+∞），f ′（x）=-b+ = ，令g（x）=-bx+1，

引导性设问：是否有根？根g（x）=0？圯x= 是否在定义域内？

（1）当b≤0时，g（x）=-bx+1≥0，即f ′（x）>0，所以函数f（x）的单调增区间为（0，+∞），无单调减区间；

（2）当b>0时，g（x）=0？圯x= ∈（0，+∞），如图，由f ′（x）>0即g（x）>0得0 ，所以函数f（x）的单调增区间为（0， ），单调减区间为（ ，+∞）.

综上可得：当b≤0时，函数f（x）的单调增区间为（0，+∞），无单调减区间；当b>0时，函数f（x）的单调增区间为（0， ），单调减区间为（ ，+∞）.

【设计意图】第（Ⅱ）问属于第二梯度题目，从导函数为形如二次的带参函数入手，仍然在学生的最近发展区内，题目设置小坡度，利于学生步步登高，类比第一问的引导性提问，让学生自主探索参数的讨论标准，渗透方法的迁移，在一定程度上消除学生对函数模型切换的畏难心理差异.

（Ⅱ）当b=0时，f（x）=ax2+lnx，定义域为（0，+∞），f ′（x）=2ax+ = ，令g（x）=2ax2+1，（1）当a≥0时，g（x）=2ax2+1>0，即f ′（x）>0，所以函数f（x）的单调增区间为（0，+∞），无单调减区间；（2）当a<0时，g（x）=0？圯x=± （舍去- ），由f ′（x）>0得x> ，f ′（x）<0得0

综上可得：当a≥0时，函数f（x）的单调增区间为（0，+∞），无单调减区间；当a<0时，函数f（x）的单调增区间为（0， ），单调减区间为（ ，+∞）.

【设计意图】第（Ⅲ）问属于第三梯度题目，也是此类分类讨论的最经典问题，模型没有改变，导函数仍然是形如二次的带参函数，但是讨论的情况一下子多起来了，难度也一下子就上去了，此处是学生能力差异性较为明显的一个问题，究其原因其实是解含参的一元二次不等式不过关.找到是程序性知识缺失引起的差异，那消除差异的手段只能是回归复习相应的程序性知识.因此，要引导学生理解影响一个一元二次不等式解集的三大因素：一是二次函数开口方向；二是为二次函数是否有根；三是根的大小，再结合函数的定义域，增加第四个讨论标准：有几个根在定义域内，数学结合可得如下讨论分级图：

开口a<0a=0a>0，两根大小a= a> a<

例题3.设函数f（x）=x2-1+aln（x+1）（a≠0），求f（x）的单调区间.

【设计意图】例题3属于第三梯度题目，也是例题2的延续与强化，通过两道同型题设计，引导学生自主加工提炼成典型的数学模型，同时也让中等生有机会对程序性知识再实践应用，也是减少差异的有效手段。

3.课题实践，强化训练

例题4.讨论f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2（a∈R）的单调性.

【设计意图】变式训练属于第四梯度题目，通过前面问题的铺垫，学生整合了思想与方法，学以致用，借助信息手段在授课过程中录制微课，让学生有机会反复理解消化，缩小差异.

解：f（x）的定义域为（-∞，+∞），f ′（x）=（x-1）ex+2a（x-1）=（x-1）（ex+2a），经过探究，学生产生如下讨论分级图：

f ′（x）=0的根的个数a≥0a<0，两根大小a=- a>- a<-

4.课后反馈，及时评价

练习1：求函数f（x）=ae2x+（a-2）ex-x（a∈R）的单调区间.

练习2：求f（x）= x2+alnx-（a+1）x（a∈R）的单调区间.

四、提炼解题本质，点燃学生思想火花

求含参函数的单调性，核心是四个步骤，以问题为驱动引导我们产生分类讨论：

f ′（x）是什么类型的函数？？圯f ′（x）=0是否有根？？圯f ′（x）=0的根是否在定义域内？？圯定义域内的根大小关系如何？

本微专题的核心在于：（1）理解“利用导数求含参函数的单调区间”的本質就是解含参不等式，而解不等式通常是先研究对应的方程的根，因此围绕f ′（x）=0根的分布，结合函数图象自然就产生了分类讨论的标准，讨论时要注意分类须不重不漏，对参数的所有可能取值都要讨论到，对应结论相同时参数范围要合并，整个解题过程充分体现了分类与整合数学思想方法的应用；（2）整个解题过程把求含参函数的单调区间问题转化为解含参不等式问题，不断借助函数图象来研究方程的根、不等式的解集，充分体现了函数与方程、化归与转化及数形结合的思想方法在解题中的应用.

新课程改革提出，课程满足学生个性发展的需要，要能够促进每个学生的最大限度发展.虽然我们无法完全消除差异，但是结合每个学生的学习基础、年龄特征等挖掘教材、教法、教学环节中的教育因素，并加以细化、筛选、甄别，制订出分类、分层、有序的教学目标并进行差异化、针对性的教学是每个老师必须努力做到的.在高三这样追求复习效率的时间段，借力微专题形式打造差异教学的复习课模式，通过数学知识之间的有效整合，为学生认知发展设计合适的路径，让不同层次的学生实现不同思维层级的提升，让“差异”成为高三高效复习的助推手.

参考文献：

[1]孙枫.基于函数观点的数列概念教学[J].中国数学教育（高中版），2018（4）.

[2]程元元.借力函数思想深入理解数列不等式[J].数学教学通讯，2018（21）.

[3]陈岳鹏.透过函数图象看清数列背景：对一类数列问的解法探究[J].新课程，2018（1）.

注：本文系福建省教育科学规划教育教学改革专项课题“高中数学差异化教学行动研究”（课题立项编号：Fjjgzx17-06）的研究成果之一。

编辑 高 琼