数学理解在初中数学概念教学中的运用

杜成智

摘   要 数学概念的学习历来受到学术界和教学界的重视，数学理解也是近年来数学教育研究领域的热点，将数学概念教学和数学理解相互结合，探讨基于数学理解的数学概念教学新模式，具有重要的理论意义和实践价值。本文以理论研究和教学实践相结合的方式，探讨数学概念的理解及相关的教学方法，试图为推进初中数学概念教学水平的提高提供理论支撑。

关键词 数学理解  数学概念  教学研究

数学概念的理解不仅是数学教育的重要目标，更是当前数学教育，特别是中小学数学教育中面临的突出问题。中小学数学教育的许多失败尝试均源于不适合的教学和学习方式，主要表现为师生的数学活动囿于常规和机械，难以激发自主的、高级的思维形式，从而沉溺于反复的灌输和练习之中，而缺乏最有效的思考。因此，强化数学概念教学研究、提高学生的数学概念理解水平具有现实性与紧迫性。

一、數学理解与数学概念理解

1.数学理解的界定

现代认知心理学认为，理解实质上是学者将信息输入、进行编码，再结合自身的经验和理论知识，构建内部的心理表征，进而获得心理意义的过程。因此，数学定义可以理解为：“若某一个数学含义或方式已成为网络知识的一部分，那么，它就被理解了”。一般情况下，理解首先让学习者认识到数学的表象，然后构建心理表象，再以此为基础构建新的知识构架，不再坚守传统的认知。数学理解并不是一瞬间的任务，而需经过长期的知识重组，因此，这是一个动态的发展过程。在理解数学对象时，应让学生亲自动手。学生在操作过程中可以客观地认识到数学的外在形象，让其在头脑中建立数学对象，然后刻画数学对象的真实面貌，这才能说他真正做到数学理解。

2.数学概念的理解

理解数学概念对数学学习而言无疑是十分重要的。Hiebert与Carpenter认为，数学概念和学习者已有的知识网络存在更强和更多的联系，就认为数学概念是被彻底理解了。李士铸先生则认为，学生对一个概念在心理层面组织和建构起认知结构，并随之成为学习者知识网络的重要节点，就认为数学概念是被理解的。综上所述，数学概念的理解，从心理学层面而言是要建立恰当的心理表征，从实际教学层面而言，掌握数学概念的本质，也就是概念本身的内涵和外延，从文字层面的领会、从具体例子的验证、从限制条件方面加深认知、从运用中不断拓展延伸，都是理解概念的具体做法。就数学概念教学而言，加深学生的数学概念理解无疑是最重要的目的。

二、基于数学理解的数学概念教学研究的意义

1.有助于激发学生的学习兴趣

理解性数学教学注重数学创造力的培养，并将其作为教学的根本宗旨。著名数学教授加达默尔认为，理解并不是简单的复制，而是在内化过程中的创造。从某种意义上讲，数学理解的过程本质上是一种数学创造的过程，数学学习的价值在于理解，在于学生积极参与经历知识的再创造，从而进一步促进学生对数学知识的理解和接受。同时，理解上的自由性和创造性，可以将学生从传统灌输式教学的桎梏下解放出来，无限激发学生的潜能和素质，使他们产生创造和成功的体验，使枯燥的数学教学变得更具趣味性，提高学生的学习兴趣，这也是初中数学课程改革的重要目标和价值体现。

2.有助于提高初中数学课堂教学效果

初中数学内容无论是在广度还是深度上都是小学数学不能比拟的。如果初中数学教师不能改变传统的应试教育理念，抛弃满堂灌和题海战术，就不可能为学生构建起良好的数学视野。但是，由于传统理念根深蒂固，数学教师在教学中往往会走进忽视概念教学的误区，造成学生在认知、理解和掌握数学知识方面存在诸多问题。因此，对数学理解视野下的数学概念教学进行研究，将数学概念教学与培养学生核心数学素养相互融合，不仅有利于调动学生的学习兴趣，还可以在提高数学教学质量方面达到事半功倍的效果。

3.改变学生的数学观和教师的数学教学观念

初中数学概念在初中生数学学习中具有重要意义，不仅是学生学好数学的基础，还是进一步掌握数学基本理论，了解数学规律的前提，也是数学教学中进行数学能力培育、形成科学态度的重要前提。基于数学理解的初中数学概念教学需要对传统的师生和生生关系进行重构。如果在数学教学过程中，所有学生对数学概念的理解完全相同，那么个体之间的交流也就失去了意义。只有不同的个体对数学概念存在不同的认知，才是交流的基础和前提。因此，数学理解需要每个参与学习的个体进行充分的思考和分析，并通过一定反思形成与众不同的理解，这显然是对传统追求高度一致性答案的数学概念教学理念的颠覆，有助于重塑学生的数学观和教师的数学教学观。

三、基于数学理解的初中数学概念教学的具体措施

1.操作阶段阐明概念产生的必要性和科学性

鉴于数学概念的抽象性以及与实际生活的紧密联系，在概念学习的操作阶段，有必要设置真实的生活情境，使学生通过实际情境感受概念的本质特征，而不能依靠教师单纯的理论讲解。脱离生活实际和实践经验的讲解，无论如何精彩，在学生的数学概念的理解和建构方面也会显得苍白无力。因此，学生数学概念的理解必要有充足的实际情境，同时要指导学生充分地动手操作、动脑思考，强调学生通过一系列的操作活动获取对数学概念的认知，在潜移默化中使学生理解数学概念的科学性和必要性。

在操作阶段，一方面要注意操作素材的选择。要根据数学概念所对应的生活领域确定哪些素材可以作为教学素材使用，同时要考虑选用的素材中所包含的数学概念是否符合教学的需要，是否契合教学目标的需求。此外，教学素材的选择要具备可操作性，便于在课堂教学中开展，可以使学生通过操作活动体会到相关的数学概念。另一方面，要选择好操作的方式。选择方式要有助于调动学生的思维，使学生积极思考，形成对概念的直观感受。具体而言，操作的形式不仅包括学生的动手操作，还包括教学模型的使用以及图形的观察和图表的计算。在概念的操作阶段需要注意以下两点：第一，在新概念教学中，教师要给予学生充足的操作材料和操作时间，让学生能够通过足够的思考完成对概念的感知和理解;二是教师设置的操作任务要符合学生的能力和认知水平，过高或过低都不利于调动学生的参与和思考。

2.过程阶段在思考中体验数学概念的形成

过程阶段是学生对操作阶段获得事实的进一步思考。操作阶段获得的仅仅是数学概念的感性认识，仍属于外部活动的刺激。要想使学生形成真正的数学概念，还必须依靠学生自己进行积极主动的建构。因此，在概念教学的过程阶段，教师要利用梯次设置、不断深入的问题来激发学生的思考，学生通过对操作阶段感性认识的反思和描述，通过总结和提炼，最终得出数学概念。这一过程主要可以分为以下三个步骤：首先是反思操作活动，在这一步不仅要对操作的素材进行特征方面的反思，也要对操作过程的经历和体会以及获得的收获进行反思，进而形成对数学概念的全方位、多角度的感受，并尝试利用生活化的语言进行描述。其次是对上一步骤得到的生活化语言描述进行进一步的提炼和加工，将其转化为数学化的语言，促进数学概念的抽象化发展。最后是将数学语言进一步提炼，成为数学概念。

3.对象阶段在提炼中抽象数学的概念

在過程阶段得到数学概念之后，数学概念要由过程向对象转化。但是，教师在教学过程中不要急于求成，可以及时关注学生在数学概念学习过程中的最近发展区，通过一系列数学问题和正反两方面的例子进行循序渐进的引导，实现学生对数学概念理解的螺旋式上升。数学概念教学的对象阶段的建立是一个漫长的过程，并不能一蹴而就，需要反复对前面的两个阶段进行反思和再思考，对已经得到的概念在细节方面不断探究和补充说明。具体而言，将数学概念作为独立对象理解一般可以采用如下方法：一是概念的辨析比较。通过举出正例和反例对数学概念进行深入辨析，加深学生对数学概念的深入理解。例如，在一次函数概念引入之后，让学生辨别下列函数是不是一次函数，理由是什么？

（1）y=2x+1，（2）y=2x，（3）y=，（4）y=x（x+1），（5）y=0二是进行模仿训练。在数学概念教学中，教师经常会面临这样的困惑：对于一个数学概念，自认为已经讲解得十分清楚了，但是还有很多学生觉得似懂非懂。此时，教师可以通过示范和学生练习相结合的方式促进学生对概念的理解。例如，在介绍完一次函数的增减性后，教师可以通过具体的函数y=2x+1，向学生演示怎样通过图象判断其增减性，然后再让学生进行模仿操作，就能加深学生对概念的理解。三是变式训练。变式训练是指在保持数学概念本质属性的前提下，对部分非本质属性进行适当改变，从而达到巩固数学概念的目标。

4.图式阶段在抽象中建构综合的心理图式

在经历了操作、过程、对象三个阶段之后，学生通过新概念的学习和原有的心理图式进行整合，会在头脑中形成具有实际问题背景，经历抽象过程的完整的数学概念，能够建立起基于新概念的心理图式，并能将其应用于解决问题。对数学概念而言，虽然在定义中已经揭示了对象的本质属性，但是要做到对数学概念的本质属性的真正掌握，还要构建新概念与其他数学知识之间的联系，从而将其纳入自身的数学知识体系。因此，图式阶段的教学设计难点在于如何构建概念之间的联系，既要帮助学生构建数学概念之间的纵向联系，凸显数学概念的本质特征，又要帮助学生构建其概念之间的横向联系，将新概念进行内化，纳入自己的知识网络。

纵向联系是指数学概念体系中的概念之间的关系。在进行纵向联系的教学时一般可以通过概念的内涵和外延之间的放大或缩小获得这些概念之间的联系。例如在八年级数学教学中特殊平行四边形的概念教学中，一般可以通过以平行四边形为核心，对平行四边形、矩形、菱形和正方形这几个特殊图形之间的逻辑关系进行梳理。在平行四边形的内涵中添加一个角是直角，就可以得到矩形的概念，而添加一组邻边相等则可以得到菱形的概念;将对角线相等添加到菱形的内涵中，即可获得正方形的概念。其逻辑关系见图1。

横向联系是新概念与不同体系内的其他概念之间的联系。例如，在函数部分，函数与方程和不等之间的联系即属于数学概念的横向联系。这种联系在实际学习中发挥着十分重要的作用。在一次函数学习中，可以结合一次函数的图象判别二元一次方程组的解的情况。在数学概念的实际教学中，教师可以通过等价教学的思路，将不同的数学概念进行串联，以构建起概念之间的多种联系。例如，在讲解直线y=kx+1经过点A（2，3），试求k的值时，可以引导学生理解直线y=kx+1经过点A（2，3）也就是点A（2，3）在直线y=kx+1上，进一步理解为x=2，y=3满足解析式y=kx+1，这样就可以将学生未曾解答过的一次函数的问题转化为一元一次方程的问题，同时通过将方程的概念融入函数教学，促进学生在学习过程中尽快构建起方程与函数之间的横向联系。

因此，数学概念教学的图式阶段也是一个长期的过程，需要不断深入地进行教学和学习。但是，这种综合性的数学概念图式一旦在学生的头脑中形成，数学概念也会深入到学生的知识结构和思维当中，在遇到相关的问题时就能迅速作出判断并予以解决。

数学概念的学习历来受到学术界和教学界的重视，但是既往的数学概念教学重记忆、轻理解，教学效果得不到大幅提高。将数学概念教学和数学理解相互结合，探讨基于数学理解的数学概念教学新模式，具有重要的理论意义和实践价值。当然，要真正实现基于数学理解的初中数学概念教学，需要在教师合理利用各种教学手段开展初中数学概念教学，引导学生的主动思维和知识系统构建方面进行持续不断的研究。

参考文献

[1] 林武.数学概念教学的误区分析及对策研究[J].教育评论，2014（08）.

[2] 聂东明.数学概念教学中的交互模式与策略[J].教育理论与实践，2012，32（03）.

[3] 李士琦.数学教育心理[M].上海：华东师范大学出版社，2001.

[4] Ed Dubinsky.Understanding the limit concept：beginning with a Coordinate Process. The Journalof Mathematical 1 Behavior [J].1996.

[5] 周建华.数学概念教学中有效提问的量化研究[J].中国电化教育，2012（06）.

【责任编辑  郭振玲】