小学数学建模教学中数学语言的转换

卢清荣

数学建模是学生的核心素养之一，是学生“对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养”[1] 。它的内涵包括“面对某个综合性情景，能够理解并建构现实情境模型，会将该模型翻译为数学问题，建立数学模型，然后会用数学方法解决所提数学问题，再根据具体的情境，解读与检验数学解答，并验证模型的合理性”[2] 。数学建模过程包括模型准备、模型形成、模型应用和模型拓展。数学语言转换就是“在数学问题解决过程中，保持数学问题的某些不变性质，改变信息形态，将要解决的问题进行数学转化，使之达到由繁到简，由未知到已知，由陌生到熟悉的目的”[2]。如果学生在数学建模过程中能准确、灵活地转换数学语言，就能顺利分析问题和解决问题，有效促进思维的发展和深化，有效培养他们的核心素养。否则，学生就难以阅读、理解、思维和表达，更谈不上提升数学核心素养。因此，教师要引导学生在建模过程中灵活转换数学语言，逐渐培养并提升他们的数学核心素养。

一、模型准备中转换数学语言

模型准备就是教师根据教学需要恰当创设情境，组织学生从中抽取数学问题，为后续建构数学模型奠定基础。模型准备时，教师可以创设童话情境、游戏情境、生活情境、比赛情境、问题情境……如果教师能用情境有效激活学生已有的知识经验和数学活动经验，就能促使他们在模型准备中迅速输入信息并灵活转换数学语言;如果学生能根据情境中的数学信息抽象出数学问题，就说明他们已经基本厘清所要解决的问题。学生有了明确的建模方向，就为他们发展数学建模素养提供了可能。

教学钉子板上的多边形时，教师指出钉子板上相邻两个钉子间距离是1厘米后，用皮筋在上面任意围了一个多边形，让学生说说多边形的面积。有的学生尝试数皮筋所围的方格数，有的学生尝试把多边形分割成规则图形，有的学生不知所措……学生忙碌中，教师随口说出答案。等了好一会儿，才有学生认可了教师答案的正确性，也有学生猜测教师可能早就知道所围多边形的面积了。于是，教师让提意见的学生到钉子板上围一个多边形，师生进行比赛。师生商议用点阵图代替钉子板后，学生一画出多边形，教师就轻松地说出正确结果并赢得了比赛。学生很惊讶，他们怀疑老师有解决问题的秘密“武器”。

皮克定理是点阵中顶点在格点的多边形面积计算模型。教师创设师生比赛情境激活了学生探究欲望。学生数方格或计算多边形面积的过程是他们读懂图形语言并转换为符号语言的过程，他们先把实物表示的图形语言转换为点阵图表示的图形语言，再转换为符号语言表示多边形面积。分割计算面积比较慢，而且还有小部分图形可能因为不规则而无法准确计算，寻找数学语言转换新方向就变成学生的迫切希望。比赛情境引发学生积极转换数学语言的兴趣，他们不但了解了皮克定理模型的知识背景，而且唤醒了已有的知识经验和数学活动经验，为后续转换数学语言，形成数学建模素养奠定了基础。

二、模型形成中转换数学语言

对小学生而言，数学模型形成过程是提出假设并加以验证的过程。假设就是学生根据已有认知或直觉大胆提出自己的想法;验证就是学生对自己或同学提出的假设用实验、举例或证明等方法判断其正确性。假设通过验证就成为模型，如果无法通过验证就要提出新假设再验证。数学语言转换能帮助学生在假设和验证过程中进行正确判断和说理。教师要鼓励学生大胆假设后通过测量、实验、操作、交流、抽象、概括等方法经历数学模型“再创造”的过程。

教学平行四边形面积时，教师出示一个平行四边形（图1），让学生猜测它的面积是多少。有的学生用5×4计算，有的学生用4×3计算，有的学生用5×3计算。教师引导学生用面积1平方厘米的正方形纸片在图中有序摆放，他们发现20个小正方形铺成的图形比平行四边形大，随即否定了5×4的假设;发现12个小正方形无法铺满平行四边形，随即否定了4×3的假设;15个正方形是否正确呢？学生切分小正方形并摆拼，数出平行四边形的面积。教师追问有没有更简洁的方法，学生发现可以把平行四边形转化为长方形，在动手操作和小组交流中，他们根据长方形与平行四边形的对应关系——长方形的长=平行四边形的底、长方形的宽=平行四边形的高，进而推导出平行四边形面积=底×高，用字母表示是S=a×h，顺利形成了平行四边形的面积模型。

提出假设时，学生把图形语言转换为符号语言，用三个算式分别表示平行四边形的面积;验证假设时，学生观察平行四边形包含面积单位个数的过程是把图形语言转换为新的图形语言的过程，同时否定了两种假设，肯定了第三种假设。教师的追问引导学生继续寻找新的数学语言转换方向，他们想到把平行四边形剪拼成长方形，实现图形语言的相互转换。根据两种图形的对应关系推导平行四边形面积公式的过程是把图形语言转换成文字语言的过程，最后把文字表示的公式模型用字母表示是文字语言转换为符号语言的过程。学生在猜测验证和合作交流中不断进行数学语言转换，最终顺利形成平行四边形面积公式模型。学生的数学建模素养在模型形成过程中得到了有效培养。

三、模型应用中转换数学语言

小学生学习数学的意义不只是掌握知识的多少，更在于能否灵活解决实际问题。学生如果能应用所形成的数学模型解决实际问题，并从中发现新问题、理解新知识、实现新认知，甚至自觉形成数学建模意识，就表明他们不但能真正理解并掌握所建构的数学模型，而且能初步感悟数学模型思想的价值，同时表明他们的数学建模素养得到了有效提升。

学生形成梯形面积模型后，为了帮助他们及时巩固应用，教师设计一些习题：

1.计算下列梯形的面积（图2）。

2.一块梯形菜地上底与下底的和是120米，高50米。如果每棵白菜要占地2平方分米，那么，这块菜地一共可以种多少棵白菜？

3.计算下面每个图形的面积（图3），说说你有什么发现？

学生解决第1题的过程，就是他们简单应用模型解决实际问题的过程，也是他们把图形语言转换为符号语言的过程;解决第2题的过程，是他们灵活应用模型的过程，也是他们把文字语言转换为符号语言的过程;解决第3题的过程，是学生沟通知识联系的过程（梯形面积公式可以变为三角形面积公式或平行四边形面积公式），也是数学语言转换的过程：先把图形语言转换为符号语言、再把符号语言转换为文字语言。他们从中发现数学模型不是孤立、零散的，而是相互联系，甚至可以相互转化的，梯形面积模型因此有了更深的意义，并由此变得结构化和系统化。有层次的练习引导学生把不同类别的数学语言进行不同层次转换，学生的数学建模素养在问题解决中得到有效提升。

四、模型拓展中转换数学语言

模型拓展就是教师引导学生对已经建构的数学模型适当改变，衍生出新的数学模型。教师可以根据教学需要和学情引导学生在模型应用中完成一些拓展性练习，帮助他们对所形成的数学模型进行适度拓展或重塑。有效的模型拓展不但能加深学生对已形成的数学模型的理解，而且能拓展学生的数学视野，使他们学会从不同角度理解并掌握数学模型，进一步培养他们的数学语言转换能力和数学建模素养。

学习间隔排列时，学生经过简单的模型应用，初步理解并掌握了所形成的数学模型“两种物体排成一行，两端物体相同时，两端物体个数-中间物体个数=1”后，教师出示了两道拓展练习：

1.小红把正方形和圆形一个隔一个地排成了一行。如果正方形有6个，圆形最少有多少个？最多有多少个？

2.圆形池塘周围一共栽了75棵柳树，如果每两棵柳树中间栽一棵桃树，可以栽多少棵桃树？

解决问题1时，学生形成一条直线上物体间隔排列的基本圖式，是他们灵活应用已有模型并形成新数学模型（两种物体排成一行，如果两端物体不同，它们的个数就相等）的过程，也是他们把文字语言转换为图形语言再转换为文字语言的过程。解决问题2时，学生经历了封闭图形用文字语言表达“外化”，语义转换为图形语言具像“内化”的过程，也是他们形成新的数学模型（物体首尾相连围成一圈，两种物体的个数相等）的过程。学生在解决实际问题的过程中灵活应用模型，甚至拓展、形成新的数学模型，有利于他们从更高的水平上重新认识模型，他们的数学语言转换能力和数学建模素养都得到了明显提升。

总之，学生在数学建模过程中有效进行数学语言转换，不但能充分感悟数学模型思想、体验数学建模价值，而且能切实提升数学语言转换能力。数学语言转换越充分，学生建模就越顺利，数学建模素养提升越自然。

参考文献

[1] 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）[S].北京：人民教育出版社，2018.

[2] 徐斌艳.数学学科核心能力研究[J].全球教育展望，2013（06）.

[责任编辑：陈国庆]