核心素养背景下初中统计与概率教学的思考

[摘  要] 文章通过对近两年福建省中考统计与概率类型题的详细分析，深入解读日常教学过程中如何更好地把握课本，并且结合数学核心素养的标准对教学提出了思考和建议.

[关键词] 中考;统计与概率;概念;核心素养

新课程标准对统计与概率模块的教学要求，是学生能够理解随机事件发生的可能性，体会樣本与总体的关系，体会频率与概率的关系，并在实际学习过程中经历数据收集、数据整理和分析的过程等. 只有在这样的过程中，学生才能构建对于统计与概率的基本概念，并掌握它们的意义和求法，会绘制图表，并进一步懂得它们常见的错误类型及改正方法.

下面我们结合最近几年福建省中考统计与概率类型题的详细分析，同时结合初中数学核心素养的观念对相关问题进行解读.

对题目的分析

题目1  （2018福建卷第22题）甲、乙两家快递公司揽件员（揽收快件的员工）的日工资方案如下：甲公司为“基本工资+揽件提成”，其中基本工资为70元/日，每揽收一件提成2元;乙公司无基本工资，仅以揽件提成计算工资，若当日揽件数不超过40，每件提成4元，若当日揽件数超过40，超过部分每件多提成2元. 图1是今年四月份甲公司揽件员人均揽件数和乙公司揽件员人均揽件数的条形统计图.

（1）现从今年四月份的30天中随机抽取1天，求这一天甲公司揽件员人均揽件数超过40（不含40）的概率;

（2）根据以上信息，以今年四月份的数据为依据，并将各公司揽件员的人均揽件数视为该公司各揽件员的揽件数，解决以下问题：①估计甲公司各揽件员的日平均揽件数;②小明拟到甲、乙两家公司中的一家应聘揽件员，如果仅从工资收入的角度考虑，请利用所学的统计知识帮他选择，并说明理由.

分析  本题取材于当今社会的热门话题：快递公司揽件员的日工资方案. 甲、乙两家公司方案不同，甲公司工资方案属于简单的一次函数关系，乙公司属于分段函数，自变量取值范围在40为分界点，所以在阅卷的过程中有一部分学生采用设函数解析式来回答本题，也是情理之中的. 本题如果从函数的角度去看，也是一道相当有价值的题目，以上是从题目条件方面去分析的.

如果我们从题目的问题入手分析就会发现，统计与概率的味道就凸显出来了. 第（1）小题中，“30天中随机抽取1天”以及“超过40（不含40）的概率”，问题非常清晰，背后隐含的考点：这是一个“随机事件”，求该事件发生的概率. “甲公司揽件员人均揽件数超过40（不含40）”指令要求非常明确，观察横坐标，只有41，42符合，甲公司（即黑色部分）分别为3天、1天，满足条件的有4天，而总数据条件也非常明显，是“30天中”，从而该事件发生的概率，就可以根据定义得到答案.

第（2）小题①问，采用了“估计”这个专业术语，再加上“各公司揽件员的人均揽件数视为该公司各揽件员的揽件数”，不难发现背后隐含的考点是用样本去估计总体的思想. “日平均揽件数”背后也隐含着一个专业术语“平均数”，在条形统计图中，准确地说隐含着“加权平均数”的概念. 回归课本我们发现，现行人教版八年级下册112页对加权平均数的定义严格来说是不够完整的，是基于初中学生能够理解的方式来进行表达的. 课本随后给出了加权平均数的计算公式，结合公式给出定义：“叫作这n个数的加权平均数”. 从严格意义上来看，加权平均数是指不同比重的一组数据的平均数，具体来说，加权平均数就是“把一组数据按照合理的比例来进行计算”，也就是“将各个数值乘以相对应的权重值，然后相加进行求和得到总体值，最后除以总的单位数”. 其实现行人教版配套教师教学用书对加权平均数还有进一步解读，“统计中常用平均数有算术平均数、调和平均数、几何平均数等. 算术平均数分为简单平均数和加权平均数两种形式. 在统计学上，简单算术平均数主要用于处理没有分组的原始数据，而加权平均数只能用于已经整理归类分组后的数据”. 我们进一步研究不难发现加权平均数的大小不仅受各组数据值大小的影响，而且受各组数据值出现的频数大小的影响.

基于这样的分析，如果在授课过程中我们以这样的思维角度去备课，对知识点进行深入思考和研究，然后在教学中引导学生明白背后的这些道理，那么他们对于条形统计图类型已经整理后的数据，求平均揽件数，就不难发现是求这一组数据的加权平均数，进而得到答案. 即①甲公司各揽件员的日平均件数为=39件. 真正的难点在于学生对核心概念的理解，错误往往是学生对概念背后所隐含的条件不清楚而产生的，在中考答题的时候出现千奇百怪的答案也就不足为奇了，这是我们在以后的教学中应该借鉴的.

第（2）小题②问，问题“仅从工资收入的角度”，背后隐含的信息就是告诉我们计算工资收入，但是题目“利用所学的统计知识”限制了我们解决问题的工具，明确告知所学统计知识，如：总体、个体、样本、平均数、方差、标准差、众数、中位数、频数、频率等. 而结合本题条件，甲公司揽件员的日平均工资为“基本工资+揽件提成”，即基本工资为70元/日+每揽收一件提成2元，需要用到第①问的日揽件平均数39，可以直接计算每天的平均收入，70+39×2=148元，也可以计算每月总收入：70×30+39×2×30=4440元. 而乙公司的收入计算方式，相对难度就大了一些. 因为有“日揽件数不超过40”和“日揽件数超过40”两种情况，根据条件收入分别为：4元、6元. 而由①问的分析我们知道，条形统计图最核心的问题是“权”，揽件数为38，39，40的权重分别为7，7，8，就可以计算揽件总数，每件收入是4元;而揽件数为41，42的权重分别为5，3，计算揽件总数，每件收入是6元. 这样就可以计算最后的月总收入，当然如果计算日平均揽件数，也可以得到日平均收入. 这样就可以对比得到的甲乙两家公司的工资收入，从而帮助小明做出选择.

通过以上的分析，我们发现审题能力是解决问题的一个关键，我们不仅仅要读懂文字面上的含义，还要透过文字发掘背后所隐含的信息，这是一种非常重要的数学素养. 在研究中我们发现2016年后很多数学专家在研讨初中数学核心素养的问题，我们一直认为初中学生通过数学学习培养他们阅读、思考、表达三种能力是我们数学教学的目的. 阅读是一个非常重要的素养，通过阅读，能够获取我们所需要的信息，然后对所获取的信息进行加工，内化为学生自己的东西，并通过思考，转化为可以用语言（口头和书面）进行表达[1]，这就是我们理解的数学素养. 在这个背景下，我们再看另一道关于概率统计的问题.

题目2  （2017福建卷第23题）某高校进行共享单车活动，每用单车一次，租金为0.5元. 现为了提高使用率，规定在一天内，对多次用单车予以优惠，每天第二次用单车起，每多用一次减0.1元，如表1.

（1）求a，b;

（2）共享单车租赁公司为了了解是否盈利，从该校5000名学生中抽样调查了100名学生每天用单车情况，情况如表2. 若该共享单车租赁公司每天要付成本5800元，问该公司是否盈利，并说明理由.

分析  本题背景过了一年多来看依然十分新颖，共享单车已经成为城市发展过程中十分重要的一个角色，审题能力、阅读理解能力依然是考查的基本. 第（1）小题的题面信息：“每用单车一次，租金为0.5元”“每多用一次减0.1元”，问题是求a，b的值，再结合表格中所列举的“0.5，0.9”，其实隐含的信息就是在解读题面“每次0.5元，每多用一次减0.1元”，所以不难得到，每天用3次付租金为：a=0.5+0.4+0.3=1.2元，每天用4次付租金为：b=0.5+0.4+0.3+0.2=1.4元. 每天用5次付租金题目条件已经给出了，目的是为了帮助学生检验前面3次和第4次用车所付的租金是否正确.

第（2）小题，题设直接就出现“抽样调查”，隐含了对总体、样本、样本的容量、频数等概念的考查，经过整理后的数据以表格的形式出现，其实类似于条形统计图，权重对最后的数据分析有很大的影响. “5000名学生中抽样调查100名学生”，背后隐含的信息是需要用样本去估计总体的思想，所以需要计算样本的平均租金，很明显需要使用加权平均数的公式进行计算得到1.1元，然后用这个平均数去估计总体的情况，进而求出租金收入5000×1.1=5500元，最后跟“共享单车租赁公司每天要付成本5800元”较比得出所需要的结论.

经过研究对比，我们可以发现近两年福建省统考的统计题综合程度高，考查的知识点与能力要求较强. 这两题所考查的知识点都含有概率、加权平均数、条形统计图，同时考查了学生的运算能力、推理能力，以及学生对数据分析、应用意识及统计与概率的思想的掌握情况. 《新课程标准》（2011版）在课程设计思路中有对统计与概率进行详细的描述，“数据分析观念包括：①了解生活中一些问题，我们应当先做调查研究来进行数据收集，然后通过科学的分析就能够弄清楚数据中蕴涵的信息，最后对要研究的问题做出判断;②了解对于同样的数据，我们可以有不同的分析方法，要求我们能够根据问题的背景以及我们的需求选择合适的方法;③通过数据分析去真正体验随机性. ” [2]

基于此，在核心素养的观念下我们可以进一步解读统计与概率的内容对于培养初中学生的数学核心素养应包括以下三个互相关联的要素：一是要有大数据意识. 要了解生活中的问题，可以并需要用数据来描述和刻画，为此应当先做抽样调查或者普查，然后收集数据，最后通过分析做出判断. 二是能够选择适当的方法搜集和分析数据. 要了解对于同样的数据可以有不同的分析方法，我们需要懂得根据问题的背景选择合适的方法，不同的统计方法没有简单意义上的“对”与“错”，只有“好”与“不好”. 三是能够通过数据分析的过程去体验随机性. 数据的随机性主要有两层含义：一是对于同样的事情，每次收集到的数据有可能是不同的;二是只要有足够的数据，我们就可能从中发现规律.

从第2小题第（2）问的解答过程也发现，按初中《新课程标准》中所述对基本统计量的要求，有一部分学生已经达标，同时也有了一定的統计意识，但在运用的过程中，对基本统计量的理解是否到位还存在问题. 而这个问题背后最根本的原因还是对于概念的理解，特别是统计相关概念在学生心里形成的系统观念. 通过学习概率与统计的知识，学生将其内化为属于自己的东西，构建自己的知识体系，这才是初中统计与概率教学真正意义上的目的，从而形成学生对于社会现象的分析、对世界的认识，这才是数学核心素养最核心的体现.

对教学的启示

结合上面对两道中考试题的深入分析，我们发现一份中考试卷除了选拔功能之外，更大的意义是对来年中考方向的指引和对一线教学的指导. 通过对一份试卷，甚至是一道题目的分析和反思，我们可以发现日常教学过程中存在的问题，借助这样的分析，可以进一步加深自己对教学的认知，形成自己的教学风格或者教学主张. 特别是对初三教学和复习都有特别大的指导意义，比如通过对以上两道概率与统计问题的分析，我们可以发现日常教学中的方向.

1. 审题能力培养是关键

比如题目要求“请利用所学的统计知识帮他选择，并说明理由”，在阅卷过程中有部分学生使用一次函数求出解析式，根据解析式来回答问题，他们忽略了“所学的统计知识”这样关键性的界定. 目前初中阶段所学统计知识基本包括：平均数、加权平均数、中位数、众数、极差、方差、各类统计图、样本估计总体等.

2. 概念教学是重点

对于题目要求学生选择合适的统计量进行说明，很明显考查学生对概念的理解，以及灵活应用的能力. 平均数、加权平均数之间的区别和联系，都需要在日常教学中让学生真正理解其来龙去脉，弄清概念的内涵和外延，而不仅仅是会背公式、背解题套路. 比如2018年福建中考第22题第（1）小问求概率的问题，在阅卷过程中发现一部分学生还是利用画树状图的方式来解决，为何会出现这种现象？背后传递出什么样的信息？我们在日常教学过程中如何才能避免学生出现类似的问题呢？其实这些问题都是非常有价值的，可以带给我们一线教师很多的思考. 然后沿着这个思路深入去做研究，去做数据对比，就会发现我们的教学还有很多可为之处.

3. 计算能力培养不容忽视

学生计算能力不足的问题在统计与概率题目中再一次凸显出来，由于题目所给数据比较多，计算量比较大，很多学生计算能力不足的问题就显露无遗了. 反思教学，从初一“有理数”单元开始，教师应该如何教才能够从源头解决学生计算能力不足的问题？比如在教学中很多“负负得正”这样的结论，我们应该如何正确解读？是让学生去背诵这样的口诀，还是从算理、算法入手，从概念入手，让学生经由自己的阅读，主动获取文本的信息，然后经过内在的加工，转化为自己的语言进行描述和表达. 我们还发现学生运算能力背后是对核心概念、算理、算法的理解和掌握.

4. 进一步挖掘考题的潜在价值

对于2018年福建中考第22题值得一线教师进一步挖掘其潜在的价值，由于本题所给出的数据较特殊，因此本题从平均数、众数，或是中位数三种角度得到的结果都是选择乙公司. 但在教学过程中我们可以引导学生从这三种不同的角度去解释问题时，仍需要从数据的实际意义去解释. 比如询问学生，用这三个数据进行对比，你认为有什么不同？为什么用平均数来说明比其他两数更合适？为什么本题不能用方差来解释？通过这样的深入分析和反思，使学生对概念的理解进一步加深，从而提升思维层次，取得更好的教学效果.

我们一直相信数学核心素养必须在实际教学中才能真正得到落实，比如统计与概率是互联网时代大数据背景下数学应用的一个重要体现，数据分析已经深入到现代社会的各个领域. 所以在日常教学活动中，培养学生数据分析素养的形成过程中，要注重学生养成通过分析数据发现规律，进而解决问题的习惯[3]. 特别是学生对于基本概念的理解，对于通过阅读题目挖掘文本背后所隐含信息的能力的培养都是十分重要的，只有这样我们才能真正做到通过数学培养学生核心素养的目的.

参考文献：

[1]丁耀星，段振富. “先学后导，合作探究”教学模式研究课题总结[J]. 中学教学参考， 2016（27）：6-8.

[2]中华人民共和国教育部. 义务教育数学课程标准（2011年版）[M]. 北京：北京师范大学出版社，2012.

[3]段振富，刘晓艳.  例谈建立轴对称模型解决数学问题[J]. 数学教学通讯，2014（1）：62-64.

基金项目：本文系福建省“十三五”第一批中学数学学科教学带头人培养对象科研课题《基于核心素养的初中数学单元教学设计研究》阶段性成果，立项编号：DTRSX2017012.

作者简介：段振富（1976-），教育硕士，中学一级教师，福州市骨干教师，从事中学数学课堂教学模式、中学生数学学法指导、小初衔接专题研究等.