20世纪以来中国初中数学课程标准中推理论证能力的变化及启示

郑 欣，程 靖



20世纪以来中国初中数学课程标准中推理论证能力的变化及启示

郑 欣1，程 靖2，3，4

（1．华东师范大学 教师教育学院，上海 200062；2．华东师范大学 数学科学学院，上海 200241；3．上海市核心数学和实践重点实验室，上海 200241；4．上海市“立德树人”数学教育教学研究基地，上海 200241）

针对中国1923年至今，初中阶段的数学课程纲领性文件进行内容分析，发现其中关于数学推理论证的能力目标出现了4次“高峰”；并结合史料分析，解释了合情推理和论证推理在百余年教育思潮变化中呈现的“钟摆”现象；进而指出，在建立具有中国特色的数学课程体系的过程中，需要谋求合情推理与论证推理之间的平衡．

推理论证；数学课程标准；“钟摆”现象

1 引言

推理是发展思维或论证的过程，数学推理是关于数学对象的推理，同时也是运用数学对象的推理[1]．一方面，数学推理对数学概念的理解、运用数学思想、程序的灵活性以及重构某些已经理解但遗忘了的数学知识来说，必不可少[2]．另一方面，数学推理帮助人们达到诸如说服自己相信特定数学主张、将某些数学思想整合成更连贯的整体等目的．可见数学推理作为连接思想与方法的桥梁，对数学学习来说占有重要的地位．

世界各国现行的数学课程标准不约而同地将推理论证能力作为培养学生数学能力的重要指标之一．美国的《州际核心数学课程标准》将推理融入其8条数学实践标准中，要求学生能够“抽象化、量化地进行推理”“构建可行的论证并批判他人的推理”“以及在不断推理中寻求表征规律”[3]．新加坡教育部将推理作为数学问题解决的一个重要过程．国际学士学位评估目标和澳大利亚F-10数学课程关键思想均将推理作为关键词[4]．在中国，推理同样备受重视，2018年出版《普通高中数学课程标准》，将逻辑推理素养列为数学学科核心素养之一．

回溯历史，1922年“北洋政府”进行学制改革，颁布《学校系统改革案》．所规定的“新学制”是中国现代学制系统的开端，而数学课程标准是中国数学教育课程改革历史演变的直接体现．因此，依据自1922年新学制改革至今的初中阶段数学课程标准及教学大纲，采取“文本分析”（content analysis）的研究方法，围绕如下两个内容进行：一是建构数学推理论证能力目标的分析框架；二是研究近百年内初中数学课程纲领性文本中数学推理论证能力目标的变化及背后的原因，试图找到数学推理论证能力在不同年代纲要文件中的发展规律．

2 数学推理论证能力的概述

国际上关于数学推理的内涵可谓众说纷纭，学者们从不同角度进行了阐发．如Brodie认为数学推理是一条“路径”，具体而言，是两个想法或数学概念之间构建的一条，用以论证或解决问题的路径[5]．而Lithner则认为数学推理是一种“思维过程”，它是推理者基于数学经验，在问题解决过程中产生想法或结论的思维过程，这种思维过程只需对推理者来说合理，不必严格符合逻辑[6–7]．此外Ball和Bass认为推理是数学的“基本技能”，对于诸如理解数学概念，灵活运用数学思想和程序，以及重新构建曾经被理解但被遗忘了的数学知识等目的来说都是必要的[8]．

《义务教育数学课程标准（2011版）》从合情推理和演绎推理两方面共同阐述数学推理论证能力的内涵：合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等手段推断某些结果，演绎推理是从已有的事实和确定的规则出发，按照逻辑推理的法则证明和计算[9]．《普通高中数学课程标准（2017版）》将其综合叙述为从一些事实和命题出发，依据规则推出其它命题的素养[10]．相似的，美国的《州际核心数学课程标准》既提出了对合情推理的要求：学生能够根据数据进行归纳推理，并结合数据背后的情境做出合情推断；同时也提出了对论证推理的要求：学生能够理解并使用给定的假设、定义和已知的结论来构建自己的论证[3]．

总之，虽然学界对数学推理论证的内涵没有统一的定论，但学者们的观点基本上是相似的，数学推理必须是在数学领域中的应用，且是数学对象之间的推知或联系，这种推知或联系的过程可以是严格证明，也可以是合理猜测．基于上述分析，将数学推理论证能力定义为：通过对数学对象（数学概念、关系、性质、规则、命题等）进行逻辑性思考（观察、实验、归纳、类比、演绎），从而做出推论；再进一步寻求证据、给出证明或举出反例说明所给出推论的合理性的综合能力[11–12]．

3 研究过程

3.1 研究设计

研究整体上分为3个阶段．（1）原始编码框架的形成；（2）正式编码框架的形成；（3）研究结果的生成．

如图1所示，第一阶段，首先基于已有研究，形成分析框架；然后通读选定的课程纲领性文本；最后形成原始的编码框架．第二阶段，先使用原始的编码框架进行试编码，当编码框架对文本不适用时，修正编码框架并返回重新试编码，通过这样不断修正的循环过程形成修正后的编码框架；随后对修正后的编码框架进行信度分析，若信度分析不通过，在排除编码者自身原因的前提下，回到本阶段最初，重新修正编码框架，直至通过编码信度分析，得到最终编码框架．第三阶段，依据正式编码框架进行全文本编码，生成研究结果．

图1 研究流程

3.2 文本的确定

依据研究问题，确定文本为中国自1922年起至今的初中数学课程纲要、课程标准及教学大纲．其中1922—2000年的数学课程纲领性文件选自人民教育出版社课程教材研究所编写的《20世纪中国中小学课程标准·教学大纲汇编（数学卷）》，共包含2部课程纲要，12部教学大纲，7部课程标准．如1923年刊布的《初级中学算学课程纲要》、1941年刊布的《修正初级中学数学课程标准》以及1952年出版的《中学数学教学大纲（草案）》．2000年后的课程标准则包括中华人民共和国教育部制定的2001及2011版义务教育数学课程标准．为方便表达，下文统称课程纲领性文件，如有必要则另行说明．

3.3 分析框架

依据已有研究[12]，并结合课程纲领性文件中内容要求的特点，从数学推理论证维度构建了分析框架（如图2）．考虑数学推理的类型，将其分为合情推理和论证推理两大类，并作为一级指标．然后将合情推理和论证推理的子类别作为二级指标（如表1）．

3.4 编码规则与编码框架

3.4.1 编码规则

编码遵循如下规则：同版本课程纲领性文件中若涉及多个方案，则参照方案一，如1951年《中学数学科课程标准草案》分第一案和第二案，则参照第一案；由于课程纲领性文件中存在对各级指标的叙述，因此各级指标均可用于编码，如2011年《义务教育数学课程标准》提到“推理能力的发展应贯穿于整个数学学习过程中”[9]，可将其编码为数学推理论证总指标；编码最小单位为短句，以逗号为标准；编码参照框架的各级指标，若含有多重含义，则可多次编码，如2011年《义务教育数学课程标准》提到“合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推断某些结果”[9]，提到合情推理、归纳和类比等关键词，可同时编码合情推理一级指标、归纳及类比二级指标．

图2 课程标准及大纲中数学推理论证分析模型

3.4.2 数学推理论证能力编码框架

编码框架如表1所示，包含总指标及下设二级指标．总指标即数学推理论证能力．一级指标依据数学推理论证的定义将总指标分类为合情推理及论证推理．合情推理是用于猜想发现的，即根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程；论证推理是用于严格证明的，根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等），按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程．在一级指标的基础上，结合文本的阅读，分类得到二级指标．合情推理包含观察、实验、归纳及类比；论证推理包含分析推理、演绎推理、关系推理及反证法．

3.5 编码一致性检验

为判断编码数据的可靠性，在阶段二，对最后一次修正所得的编码框架进行双人一致性检验．随机抽取了7个年份的课程标准，由两名编码者在研究者向其说明分析框架后，分别单独进行编码．经检验两人一致性为90.9%．存在分歧的地方，经过两位编码者协商，能够达成一致．

表1 数学推理论证能力编码框架

4 初中阶段数学推理论证的变化及分析

4.1 从各级指标看推理论证的词频变化

从推理论证总指标的角度看，词频出现过4次较大波动．如图3所示，1923—2011年共23版纲要中，初中阶段数学推理论证的词频分别在1941年、1963年、1988年以及2001年出现阶段性峰值，分别是24次、45次、118次和194次．峰值过后，出现较大幅度的回落．

图3 初中阶段课程纲领性文件中数学推理论证词频

图4进一步比较了合情推理与论证推理的词频．不难发现，两者比重也经历了多次变化．在“29版暂行标准”中，合情推理的词频相比论证推理仅占25%．此后自1932—1950年间的6版课程标准中，合情推理所占比重高于论证推理，并不断增大，在1950年达到历史最大值，占比80%．此后在“51版标准草案”中下降至47.37%．自此，直到1982年，合情推理的词频占比总体上呈不断下降趋势，于1982年达到历史最低水平，仅11.76%．1982年后，合情推理比重呈稳定提升的趋势，至2011年达45.45%．

观察合情推理与论证推理的二级指标发现，两者具有相似特征．如图5、图6所示，1929—1986年间，所有二级指标在课程标准中出现的频数均未超过5．其中的1963—1986年间，所有指标均陷入低谷．在“88版大纲”中，对观察、归纳、类比及关系推理的关注有所提升．1990年出现回落现象，此后各指标在课程纲领性文件中的体现不断加强，尤以观察最为突出．值得一提的是，在建国前的课程纲领性文件中均有提及对实验的教学要求，但自1950—2000年的50年间，课程纲领性文件对实验的要求只字未提．在“2000版大纲”中重提关于实验的教学要求．

图4 历年课程纲领性文件中合情推理与论证推理词频比较

图5 历年课程纲领性文件中合情推理二级指标词频

图6 历年课程纲领性文件中论证推理二级指标词频

4.2 从4个历史时期看推理论证能力目标的变化

中国的数学课程在不同的历史时期表现出不同的特点，从1923年至今，大致经历了4个阶段：第一阶段是民国时期；第二阶段是1949年到改革开放前的新中国初期；第三阶段是从改革开放到中国“义务教育法”颁布；第四阶段是中国实行义务教育制度之后．在这4个不同的历史时期中，中国数学课程中的推理论证能力目标也表现出不同的特征，相应的史料在一定程度上印证了上述词频分析的结果．

4.2.1 第一阶段

在1941年以前，数学课程被称为算学．算学乃根据与日常经验不相违背之公理与定义用严密之论理方法推出定律公式法则定理问题等，以研究数及形的应用和理论的一种学问[13]．其中的“论理”指“logic”，就是今天说的“逻辑”，当时的学者大多不用音译，他们认为音译在英文固然恰当，但在德法文并不恰当[14]，因此将“logic”一词翻译为“论理”．当时在普通高中设置了论理学课程．论理学“简单言之，可曰思考之科学．再进而详释之，则为研究思考作用之形式及法则，而获得正确的知识起见，以论定必当遵守之规范为目的之科学也”[15]．其教授的内容包含人类思想的分析、科学方法要旨、归纳法、演绎法等．论理方法包含了论理学课程中所介绍的观察、实验、分析、假设、演绎等种种方法．算学依赖极为严密的论理方法逐渐发展．即利用大前提和小前提推导出结论，先以公理和定义作为前提，推出公式和定理等，经过证明后的公式和定理，又作为依据，按照规则推理．学生论理的能力就是运用上述方法的能力．论理能力与数学推理论证能力相比较，在方法上有很大的相似之处，因此将论理能力作为推理论证能力的发端．1923年刊布的，由胡明复负责草拟的《初级中学算学课程纲要》将“以数学的方法发展学生论理的能力”[16]写入课程目的中．这是近代以来，推理论证能力在中国课程纲要中的首次登场．

1941年，算学更名为数学，在《修正初级中学数学课程标准》中提出“培养学生分析能力、归纳方法”[17]等教学总目标；同年，根据第三次全国教育会议提出“为适应抗战建国之需要”[18]的决议，教育部公布《六年制中学数学课程标准草案》，将“提示学生说明推证之方式”[18]列入教学目标．数据显示，1941年推理论证能力的比重在课程标准中有一定的提升．

受杜威“实用主义”教育思想的影响，该阶段中国数学课程更关注归纳方法及实验操作．如图4所示，纲领性文件内出现了合情推理比重大于论证推理的现象．

4.2.2 第二阶段

1949年新中国成立，中国数学课程的发展面临着两条道路，一是传承与发展原有的数学课程体系；二是另辟蹊径，建立一套新课程体系．在确定“一边倒”政策，宣布“以俄为师”，依靠苏联的帮助来进行各方面的建设[19]后，中学数学课程经历了短暂的过渡阶段，便舍弃原有数学课程，转向全面学习苏联数学课程模式．1952的《中学数学教学大纲（草案）》以当时苏联大纲为蓝本进行修订，提出教学应努力“发展学生逻辑的思维力和判断力”[18]．受希尔伯特形式主义数学哲学影响，在很长一段时间内，数学教学不断追求形式化演绎．因此该阶段纲要文本中，合情推理处于下降趋势．

1958—1961年间，中国数学教育反思了学习苏联的“少慢差费”[20]现象，并进行短暂的中国数学课程发展道路探索．1963年3月，中共中央总结了前期的经验教训后，在5月颁布的《全日制中学数学教学大纲（草案）》中明确提出了包含逻辑推理能力在内的三大能力．如图3所示，颁布的教学大纲中，推理论证能力的词频达到该阶段的最大值．

值得一提的是，“63版大纲”是一个高峰，与“63版大纲”配套的平面几何教材形成了完整体系，清晰地提出了分阶段培养学生逻辑推理能力的思想：阶段一培养判断能力；阶段二，培养简单推理论证的能力；阶段三培养对较复杂的证明题的分析能力，从而提高逻辑推理能力；阶段四通过各种证明方法的学习，继续提高逻辑推理能力[21]．这一体系中，论证推理显得格外突出．

4.2.3 第三阶段

为响应“四个现代化”建设的需求，实现数学课程现代化，教育部提出了“精简、增加、渗透”的课程制定原则．1978年颁布的《全日制十年制学校中学数学教学大纲（试行草案）》在“63版大纲”的基础上，将逻辑推理能力改为逻辑思维能力．因为逻辑推理能力容易与演绎推理等同，而逻辑思维能力就不仅包括演绎推理，也包括合情推理等[22]．图3同时反映出，该阶段对合情推理的关注开始逐渐上升．

受苏联数学教育的影响，中国数学教育一度盲目尊崇数学的“科学性”，追求数学的形式化定义．20世纪80年代以来片面强调数学的形式化逻辑，要求学生诵记数学的形式化定义以及规则．应试教育背景导致学生机械地学习知识点，忽略能力的培养[23]．在此背景下，推理论证能力的培养遭遇层层阻碍，也正因此为90年代中国尝试探索中国数学课程体系埋下伏笔．

1986年，全国人大通过了“中华人民共和国义务教育法”，规定国家实行9年制义务教育，小学和初中属于义务教育阶段．1988年颁布的《九年义务教育全日制初级中学数学教学大纲（初审稿）》强调培养学生良好的个性品质．在价值取向上由注重社会本位，向注重学生本位进行转变．这点解释了“88版大纲”出现了对推理论证能力关注的高潮．

4.2.4 第四阶段

义务教育法颁布后，中国进入尝试建立中国数学课程体系时期[24]．该阶段西方许多先进数学教育思想逐渐得到人们的认可，其中出现了“数学的非形式化”观念，引发了90年代数学教育研究关于“形式化与非形式化”的争议[25]．1992年颁布《九年义务教育全日制初级中学数学教学大纲（试用）》，体现了“淡化形式，注重实质”的精神[26]．“92版大纲”首次对逻辑思维能力的要求做出具体说明，一定程度上强调了合情推理，但在教学中应防止偏向．避免在教与学的过程中只满足于用某种方法（包括观察、实验和猜想）得到具体的解答却不进一步追究相应的解释，更不思考是否存在其它解法，以及能否做进一步推广[27]．

2001年颁布《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》将逻辑思维能力更改为推理能力，并作为数学思想提出．同时引发了中国数学教育界关于“生活应用和推理证明”间的争议[25]．争议形成了鲜明对立的观点，一方认为“01版课标”相较以往的课程纲领性文件来说，在水准上有所降低，具体表现为用生活经验替代了推理证明，使数学失去了灵魂[28]；另一方则认为相比旧课程，形式化的演绎证明被淡化，但强调了用于科学发现的合情推理，水准不是降低而是提高[29]．图3显示，合情推理及论证推理相关内容的词频均在“01版课标”上达到该阶段顶峰．结合图4可见，自1992年起，合情推理比重稳步提升，合情推理与论证推理两者不断地趋向于平衡．

5 讨论

纵观百余年课程纲领性文件，无论是推理论证的总体发展趋势，或合情推理和论证推理间的关系，均呈现出课程发展的“钟摆”现象．归根结底，这些现象反映的是中国数学教育研究，在不同时代背景下受教育思潮影响，而产生“唯理论”和“经验论”两种不同数学哲学观的争锋．

唯理论将数学作为一种“绝对真理”[30]，注重数学的严谨性和抽象性；经验论强调数学的“可误”，注重数学的探索性与实用性．教师的数学哲学观在很大程度上影响自身教学活动方式．若教师持有绝对的唯理论数学哲学观，则倾向于将知识作为客观事实传授给学生，而非将学习作为一种探索性活动；若教师具有绝对的经验论数学哲学观，那么教学可能忽视数学思维的严谨性和知识的系统性．因此在数学教学中片面强调数学理论或应用数学并不合适．

在唯理论与经验论的较量中，部分学者持中立态度，且都不约而同地倾向拟经验主义数学哲学观——认为数学是一门经验科学，同时承认数学是一个假设—演绎系统；数学知识是可误的，且数学知识创造理论．拟经验主义对开发数学教育模式而言是一个“空筐结构”，能够衍生出不同的教育模式[31]．而这些教育模式的基本是做到兼顾唯理论和经验论，即考虑唯理论和经验论之间的平衡．据此，就培养学生推理论证能力而言，既要重视合情推理，又要兼顾论证推理，不可偏颇．

6 结论与启示

研究基于近百年各版本数学课程纲领性文件，以数学推理论证中的合情推理和论证推理为研究对象进行编码分析；并通过史料还原历史语境对数据进行解释．上述4个历史阶段中，合情推理和论证推理在百余年“躁动”的教育思潮下左摇右摆，复刻了教育的“钟摆现象”．而解决该问题的路径在于寻求合情推理与论证推理间的平衡点，探索具有中国特色的数学课程体系．

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The Changes and Enlightenment of Reasoning-and-Proving Competency in Mathematics Curriculum Standards of Junior Middle School in China since the 20th Century

ZHENG Xin1, CHENG Jing2, 3, 4

(1. College of Teacher Education, East China Normal University, Shanghai 200062, China;2. School of Mathematical Sciences, East China Normal University, Shanghai 200241, China;3. Shanghai Key Laboratory of PMMP, Shanghai 200241, China;4. Shanghai Research Base for School Mathematics Education, Shanghai 200241, China)

Employing the content analysis method, this study reviewed mathematical reasoning-and-proving competency in the mathematics curricular programmatic documents at junior high school levels in China since 1923. The results showed that there are four “peaks” in the ability of mathematical reasoning-and-proving competency. Based on the analysis of historical documents, this paper explained the “pendulum phenomenon” of plausible reasoning and proving in the changes of educational trend of thought over the past hundred years. Then pointed out that to establish the mathematics curriculum system with Chinese characteristics, the balance between plausible reasoning and proving was needed.

reasoning-and-proving competency; mathematics curriculum standards; the pendulum phenomenon

2019–03–16

教育部人文社会科学重点研究基地重大项目——中国学生数学素养测评研究（16JJD880023）

郑欣（1992—），男，福建厦门人，博士生，主要从事数学课程与教学论研究．

G423.07

A

1004–9894（2019）03–0024–06

郑欣，程靖．20世纪以来中国初中数学课程标准中推理论证能力的变化及启示[J]．数学教育学报，2019，28（3）：24-29．

[责任编校：周学智、陈隽]