20世纪以来中国中学数学课程中数学表征能力的发展趋势与启示——以几何为例

李 娜，张晋宇，沈 阳



20世纪以来中国中学数学课程中数学表征能力的发展趋势与启示——以几何为例

李 娜1，张晋宇2，3，沈 阳1

（1．华东师范大学 数学科学学院，上海 200241；2．华东师范大学 教师教育学院，上海 200062；3．上海市“立德树人”数学教育教学研究基地，上海 200241）

依据20世纪以来中国各年代的中学数学课程标准（大纲），采用文本分析法，从表达交流、操作转换和建模应用3个水平构建数学表征能力的水平分析框架．分别对初、高中数学课程标准中的平面几何、立体几何教学内容进行分析，进而探讨20世纪以来，数学表征能力在中国不同时期中学数学课程标准中的发展趋势以及获得的启示．结果表明，在数学表征能力方面，中国中学几何课程标准对操作转换的要求逐步上升，对表达交流的要求相对稳定，而对建模应用水平关注较少，课改后期开始才得到一定重视．

数学表征能力；中学数学；课程标准；教学内容；几何

众所周知，数学表征能力是学生数学核心能力之一，也是许多国家数学教育课程改革中备受关注的核心能力之一．从2000—2018年，PISA评估框架中表征能力一直是将其作为评价学生数学能力的重要指标之一，而且2018年的框架尤其强调数学表征能力的重要性．目前，很多研究者围绕教师的教学、学生的学习、问题解决以及水平划分等方面对数学表征能力展开了相关的研究[1-4]．中小学数学课程标准是中小学教师教学和学生学习的最重要的依据，但未发现围绕20世纪以来数学课程标准文本中数学表征能力发展趋势的相关研究．以平面几何和立体几何为例，探讨20世纪以来，数学表征能力在中国不同时期中学数学课程标准中的发展趋势以及启示．

1 研究设计

1.1 概念界定

表征在《辞海》中两种含义：其一为提示、阐明，其二为事物显露外在的征象[5]．如果说《辞海》中“表征”的解释包罗万象，那么加了学科色彩的“数学表征”的内涵将进一步缩小．《数学教育百科全书》讲述了数学表征的3层含义，其中教育界最常见的解释为：“数学表征是可见的或有形的产物，例如图表、数轴、图形、具体对象或操作的排列、物理模型、数学表达式、公式和方程、或者计算机（器）屏幕上的描绘——编码、代表或体现数学思想或联系．”[6]美国《学校教育原则与标准》（2000）对数学表征有如下解释：“术语‘表征’既指过程又指结果．换句话说，是指用某种形式表达数学概念或关系的行为，也指行为本身．”[7]而PISA则将其定义更加具体化，即“包括图像、表格、图表、图片、方程式、公式和具体材料”[8]．

从形式上来看，数学表征的形式是静态的，而相对于前者，数学表征能力是动态的．徐斌艳（2013）将数学表征和变换能力作为6个数学核心能力之一，并将其定义为：“用某种形式，例如书面符号、图形（表）、情景、操作性模型、文字（包括口头文字）等，表达要学习的或处理的数学概念或关系，以便最终解决问题．”[9]PISA中对数学表征能力的定义在逐步更新和发展，但其在2018年评价框架中基本延用之前的定义，即“表征能力需要选择、解释、转换和使用各种表征来捕获情境的数学本质、解决问题或展示自己的作品”[8]．这里将数学表征能力界定为数学表征（包括符号表达、图形图表、操作模型和情境）之间的动态操作，以表达交流、操作转换和建模应用各种表征来呈现、解决数学或现实问题．

1.2 分析框架

美国的《学校教育原则和标准》（2000）将数学表征能力按要求分为3个维度：第一，“创造和利用各种数学表征来组织、记录和交流数学观念”；第二，“选择、应用和互换各种数学表征方法解决问题”；第三，“应用表征模拟并解释物理的、社会的和数学中的现象”[7]．Niss[10]（2003）将数学表征作为八大数学能力之一，并列举出3条表征数学实体（对象和情境）能力的要求：其一，理解和利用（解码、解释、区分）数学对象、现象和情境的不同种类的表征；其二，理解和利用同一实体的不同表征之间的关系，包括了解它们的相对优势和局限性；其三，选择和切换表征．PISA2018的数学评估框架依据3个数学过程对数学表征进行了维度划分，即以数学方式表述情境，运用数学概念、事实、程序和推理，解释、应用和评估数学结果[8]．

综上，3者均将数学表征能力划分为3个维度，美国的《学校教育原则和标准》（2000）与PISA2018的维度划分有异曲同工之妙，而Niss的维度划分与前两者划分有些不同，未明确提出应用的要求，但3者的要求均有在交叉维度中出现．为方便此次课程标准（教学大纲）几何教学内容的文本分析，得出数学表征能力的分析框架如表1所示．此分析框架为三级：第一级为表征水平，将表征能力分为表达交流、操作转换和建模应用3类；第二级为内涵，表达交流水平分为符号表达、图形，操作转换水平对应操作模型，建模应用水平对应情境应用；第三级为样例，举例说明其对应更为具体的数学表征，而且，将符号表达进一步界定为书面符号（文字），操作模型进一步分为公理（定理/性质）和计算（方法）．

表1 数学表征能力分析框架

1.3 研究对象

研究对象来源于《20世纪中国中学数学课程标准·教学大纲》中的中学部分课程标准或教学大纲、2001年和2011年出版的《义务教育数学课程标准》中的初中部分、以及2003年和2017年出版的《普通高中数学课程标准》．由于涉及的文本年限跨度较大，内容较多，这里将仅从平面几何和立体几何两科目来探讨数学表征能力在中学数学课程标准（教学大纲）对应教学内容模块中的发展趋势．为简便起见，后文将课程标准或教学大纲简写为课标或大纲．

1.4 研究方法

采用文本分析法，其编码流程分为3个阶段，即初步形成编码表—效度检验—使用编码表及信度分析．第一阶段：通过阅读文献确立3个表征水平指标及对应内涵，利用分析框架形成编码表，两个成员再分别选用相同的3个课标的几何教学内容进行文本分析，在文本中寻找对应的关键词，修正内涵，并进一步确定关键词样例，初步形成一致的编码表和关键词选取原则（根据分析框架的内涵和样例选择最合适的分类，其中若关键词有多种含义，至多填入两种样例分类）．第二阶段：第三个未参与的成员使用此编码表随机选取除之前选定的课标进行编码，检验此编码表的有效性，若有效则进入第二阶段，否则进一步修正分析框架的第三级指标，二次编码和验证，直至有效．第三阶段：第一作者使用编码表对几何各部分内容文本的关键词进行检索、分类、计数统计．请第三作者随机选取3个课标，按照编码表依次对平面几何、立体几何编码表进行词频统计，汇总为高中和初中两个阶段，计算得到内部一致性分别为0.964和0.941．因此，编码结果具有较高的信度和效度．

2 研究结果

20世纪的中学数学课程标准（教学大纲）是从1902年开始存在的．但是，从1923年起，中学数学课标才呈现具体的教学内容．因为依据上述分析框架对数学课标的教学内容模块进行分析，所以接下来将仅呈现1923年之后的结果并予以分析．

2.1 平面几何

2.1.1 初中

如图1所示，从变化趋势来看，表达交流水平和操作转换水平波动较大，二者变换趋势大体一致，均表现为逐渐上升，但建模应用水平波动很小；从数量上来看，操作转换水平最多，表达交流水平次之，建模应用水平最少．

图1 基于编码的初中数学课标平面几何教学内容

（1）第一阶段（1923—1951）．

初始时期，由于课标刚刚加入具体教学内容，未进一步充实，所以课标教学内容的描述更加侧重表达交流水平．1932年开始，课标增加了实验几何单元，同时强调几何应注重直观；并将“训练学生关于计算及作图之技能，养成计算纯熟准确，作图美洁精密之习惯”[11]列为课程目标之一．这些均体现了课标对于操作转换水平的重视在不断增加．抗战胜利后，为适应社会需求，1948年教育部重新修订课标，教学内容较之前更加具体．而新中国成立后，教育部通过座谈会的方式发现数学教材编排不合理、学生负担过重，并于1950年颁发了精简纲要草案，精简教材中不必要或重复的内容，故而知识数量降低．

课标虽然在教学内容模块未有涉及建模应用水平，但其它模块有体现相关内容．由于抗战背景所致，实施方法均提出了关于军事方面的具体应用，如测量、测绘等．而且教学目标也强调了数学与日常实际生活的联系．

（2）第二阶段（1952—2000）．

总体来说，课标的教学内容在适应中国国情的探索过程中逐步成熟．“52大纲”与中国之前的大纲相脱离，以苏联最新的十年制数学教学大纲为蓝本，采取“先搬过来，再中国化”方针，只修改和补充完全不符合中国情况的内容，故大纲的教学内容数量和前面未能保持一致的趋势．并且，该大纲注重系统地研究几何图形的性质，以解答计算题和作图题，因此操作转换水平大幅提升．学习苏联时期，3个大纲中的几何教学要求都有提到要“运用所学知识解决实际问题”，但仅“56大纲”增加了一些有关生产技术的教学内容，与建模应用水平相对应．

1960年，教育部送呈的“关于修订中、小学数学教学大纲和编写中、小学数学通用教材的请示报告”指出，“根据中国和兄弟国家的教学经验，初中学完平面几何是可能的”[11]．相应地，从1963年开始，中国高中课标的平面几何教学内容全部移入初中，因此该年大纲的教学内容大幅度提升．同时，其教学要求指明要掌握平面几何的基础知识，“解答平面几何的证明题、计算题和作图题，进行简单的测量，以适应参加生产劳动和进一步学习高中数学、物理、化学等科的需要”[11]，这也对应着表征的3种水平．

1986年开始，为配合义务教育的实施，中国在颁发义务教育课标的过渡期以及实施阶段，均秉承减负的理念．如1986年大纲针对1978年大纲的教学内容做了适度调整，遵循“适当降低难度，减轻学生负担，教学要求尽量明确、具体”[12]的原则；1990年对“86大纲”的修订说明指出“减去过多的内容，降低过高的要求”[11]．

（3）第三阶段（2001至今）．

第三阶段，处于新世纪课程改革时期，其主要特征为：与前一阶段相比，由于教学内容和教学要求混编的呈现方式进一步细化了教学内容，表达交流水平和操作转换水平均显著增长．特别地，教学内容更多以操作要求的形式展现．而且，教学内容也加入了些许应用，建模应用水平有小幅增长．

“01课标”设置了“空间与图形”以取代欧几里得几何体系．演绎几何相对减少，实验几何大幅增加，尤其新增大量变换几何内容，更多地与操作转换水平相对应．虽然课标与实际生活联系更加密切，要求从实例中探索、感受和认识图形[13]，但其关于解决实际应用问题的要求还是最少，即教学内容较少强调建模应用水平．

相对于“01课标”，2011年版将“空间与图形”改为“图形与几何”．而且教学内容仍在增多，其中，表达交流水平增长幅度最大．该课标从学生发展的角度出发，删除了一些重复、脱离学生生活需要或学习有困难的内容，如梯形等；增加了相关内容的补充，如概念等进一步细化，对应的表达交流水平进一步凸显[14]．同时，该课标也增加了与图形证明相关的选学内容，以便为学生提供更多深入学习几何的机会，操作转换水平也相应增加．

2.1.2 高中

如图2，从整体上看，高中平面几何变化趋势与初中不同，表达交流和操作转换均呈下降趋势，但操作转换水平曾出现大幅增长的区间，波动更大．同时，与初中有所相似的地方是，除前两个教学大纲之外，操作转换水平的数量一直高于表达交流水平，而且建模应用水平一直数量最少，仅有小幅度波动．

（1）第一阶段（1923—1949）．

该阶段初期处于摸索阶段，教学内容在不断减少，从1932年开始趋于稳定．其主要特征体现为：随着课标表述愈发简洁，表达交流和操作转换相应的教学内容在逐步下降的过程中趋于稳定，二者的变化折线也由紧密相邻到逐渐分化．

图2 基于编码的高中数学课标平面几何教学内容

此阶段课标增加了大量知识，写法却较之前精简，概念和定理少有进一步展开．但教法要求强调了几何证明及作图，这也可能导致操作转换高于表达交流．1948年课标改动较多，删减了作图方法和部分定理，增加了部分图形．建模应用水平在此阶段体现很少．从1932年开始，提到了“基本轨迹及其应用”，可以作为建模应用水平的雏形；在抗日战争阶段，教学要求增加了军事应用，如作图和测量等．

（2）第二阶段（1950—2002）．

相比于第一阶段，该阶段的操作转换水平和表达交流水平进一步出现明显分化．同时，该阶段出现一段平面几何教学内容空白期（1963—1995）．

1950—1962年，操作转换水平显著高于交流表达．1950年精简纲要对证明和作图方法说明更加明确．与之前课标不同，经学习苏联后，大纲的知识单元划分得更加细致．而且“56大纲”增加了与实地测绘有关的教学内容，建模应用水平有所体现．

1996年，作为现代数学内容的一部分，平面向量首次列入中国高中大纲，这也一定程度上说明了中国中学数学在不断地向现代化发展[15]．或许由于平面向量刚刚引入，大纲还未提及建模应用，仅有“向量”和“向量的坐标表示”与表达交流水平对应，其余均为操作转换水平．这也可能是由于向量是几何转为代数的工具，除用于表示几何之外，更加注重工具性的使用．

（3）第三阶段（2003至今）．

此阶段课标教学内容与20世纪末保持一致，仍只有平面向量，但较之前，表达交流水平和操作转换水平都有不同程度的增长．后者内容多于前者，与“增加数学意识”的要求有一定关系[16]．同时，建模应用水平对应的教学内容再次出现，这也体现着高中数学课程标准制定组重视数学运用意识[17]．

2017年版课标与“03课标”的向量内容基本一致，虽然向量的概念及表示在“加细”说明，但由于向量本身的工具性，教学内容对其操作转换描述更多．值得一提的是，向量应用作为单独课时，尤其提到用以解决力学问题．

2.2 立体几何

2.2.1 初中

如图3所示，从1932年起，初中课标才有渗透少量的立体几何内容．其中，除1948年外，表达交流水平一直存在于各时期课标教学内容中，相比之下，操作转换水平对应的教学内容在1963—2000年出现空白期；而建模应用水平在新世纪课标中才有体现．

图3 基于编码的初中数学课标立体几何教学内容

（1）第一阶段（1923—1949）．

初中课标的立体几何仅体现在实验几何中，包含“空间几何图形”和“立体面积及体积之度量”，分别对应表达交流水平中的1项图形和操作转换水平中的2项计算；而抗战胜利后，1948年修订的课标仅剩余“简易立体面积及体积之计算”．

（2）第二阶段（1950—2000）．

与前一阶段相比，表达交流和操作转换水平的平衡状态被打破，均出现明显增长．1950—1956大纲中，实验几何内容被包含在算术学科，立体几何集中于“体”、“面”和“简单几何体”的体积计算公式．学习苏联大纲时期，课标又加入了几个简单几何体的表面积．除此之外，“56大纲”进一步要求制作包括立方体和长方体模型以及对应的展开图，与该大纲的算术课程中的几何教学方法提到的“利用图形、模型和常见的物理，让学生直观地认识各种几何图形”[11]相

呼应．

1963—2000年，初中课标仅包含表达交流水平．1963年起，初中算术课程取消，只讲授平面几何内容，该大纲仅在几何绪论中出现“体”和“面”与立体几何对应．而从1978年开始，教学要求新增“初步了解简单体的视图”[11]，注重培养学生的空间想象能力，与之对应的教学内容为“视图的初步知识”和“简单体的视图”[11]，并删去了几何绪论．“86大纲”又增加了“二视图”和“三视图”，进一步扩充了知识内容．1992年起，中国正式启用《九年义务教育全日制初级中学数学教学大纲（试用）》，发展学生的空间观念在该大纲中体现更加突出，分布在几何绪论、空间直线、平面的位置关系和视图3个部分．

（3）第三阶段（2001至今）．

“01课标”中，立体几何的教学内容集中分布于视图与投影．由于教学内容与具体要求混编，“视图”内容改为从操作的角度叙述，故而操作转换剧烈增长，表达交流相应减少．当然，这也可能与该课标几何体系发生改变，突出空间观念有关．2011年延续前一课标，将之前的“视图与投影”改为“图形的投影”，三视图的要求未变，删除了阴影、视点、视角盲区等内容，故而表达交流再次下降．但两课标的建模应用水平均体现了基本几何体的视图与展开图在现实生活中的应用．

2.2.2 高中

如图4所示，从变化趋势来看，操作转换水平波动最大，波峰波谷较多；相比之下，表达交流水平波动较单一，总体趋势为先上升后下降；建模应用水平仅有3次近乎与零刻度线贴合的波动．从数量来看，建国前，除个别课标外，表达交流水平对应的教学内容均高于操作转换水平，建国后，恰好相反；建模应用水平数量接近于零．

图4 基于编码的高中数学课标立体几何教学内容

（1）第一阶段（1923—1949）．

在1923年和1929年的课标教学内容中，立体几何在几何“空间部”单元呈现．1932年课标教学内容首次出现“立体几何”字样．此3个课标的教学内容全部以罗列图形为主，计算和定理次之，未涉及应用．特别地，1932年公布的正式课标增加了代数和三角部分的内容和课时，而几何课时每周减少一次，立体几何较之前删除了空间位似图和空间对称图等内容．

1941年六年制课标与1936年课标基本保持一致，区别是1936年课标为缓解学生学业压力，提出分两组方案教学，仅甲组包含立体几何，而1941年不再分组教学．两课标的立体几何教法要点均提出需注重空间性质及量法，因此偏重操作转换水平．而且，其教学内容包含“关于多面体及回转体之各种应用问题”，与建模应用水平相对应．

为适应抗战需求，1941年修订的高中课标，该立体几何课时每周缩短一小时，降低了对其教学要求，而且教法要点提出“使学生能将空间图形表示清楚”[11]，突出了对表达交流水平的需求．可能与初中算术中已讲授立体面积与体积有关，高中课标的求积计算只包含球．抗战胜利后，1948年修订课标与1941年修订课标在立体几何教学内容保持一致，仅提高了教学要求．

（2）第二阶段（1950—2002）．

与第一阶段相比，该阶段课标操作转换水平持续高于表达转换水平，未提及建模应用水平，但在教学目的均提及到与实际相联系．

从1950年开始，中国课标的教学内容对许多纲目进一步细化，图形和定理、面积与体积的计算数量均在增多，且后者比重稍多于前者．学习苏联时期，大纲均在说明模块中清晰地指出了几何的教学目的，对几何图形性质的系统研究和面积、体积的计算，对学生逻辑思维和空间想象能力的培养以及几何的实际应用与测量．与此对应的，教学内容除了包含直线与平面、多面体和回转体等立体图形外，性质、定理、求积运算等内容要远高于之前课标．

“63大纲”强调了基础知识和基本技能的重要性，而且立体几何的教学内容增加了多面体和旋转体的直观图、二视图等图形．“78大纲”中，直线和平面在空间的位置关系相关内容未有缩减，但对多面体和旋转体的要求仅剩“能解决有关柱、锥、台、球的一些计算问题”，教学内容未有进一步呈现，所以表达交流水平和操作转换水平这些都跌至前面的最低点．

1978—1995年，立体几何教学内容在各数学表征能力水平变化稳定．“80大纲”是在“78大纲”的基础上修订的，除了多面体和旋转体计算有进一步扩展外，部分几何体的概念、性质、画法也被列入，因此表达交流水平和操作转换水平都有增加．1996—2002年课标教学内容3个水平的分布保持一致．与之前大纲的区别在于教学内容再次精简，如几何体的表面积和体积计算只呈现在具体要求中．

（3）第三阶段（2003至今）．

新世纪课程改革开始，课标教学内容与教学要求混编，很多关键词由原来的静态转为动态，操作转换水平显著提升．2003年高中课标实行文理科不同教学内容，理科较文科多出“空间向量与立体几何”单元．而且，从2003年开始，建模应用水平对应的教学内容再次出现，如2003年课标的实习作业要求画建筑物的直观图和三视图，2017版课标有对几何体表面积和体积公式的实际应用等．

3 讨论与结论及启示

从平面几何、立体几何课程教学内容模块，对20世纪以来中国中学数学课程标准（教学大纲）中数学表征能力趋势进行梳理，可以初步得到以下结论．

（1）中国中学课标对数学表征能力的表达交流水平和操作转换水平一直比较注重，特别地，对于操作转换水平的关注一直处于增加的过程，而对表达交流水平的要求相对稳定．

（2）21世纪以前的数学课程标准（大纲）较少关注数学表征能力的建模应用水平，新世纪以后的课程标准在这方面有一定增长，尤其是2017年版高中课标将数学建模活动与数学探究活动单独作为一个主题．因此，与建模应用相关的数学表征能力将会受到越来越多的重视．

研究还发现，上述结果与时代背景密切相关，其知识内容及体系在不断适应社会和个人发展的过程中变化着．

20世纪50年代，中国教育开始进入全面学习苏联阶段，将苏联十年制学校数学教学大纲改编为中国新大纲．该大纲教学内容的结构较中国之前大纲更加严谨，着重了对知识与技能的系统学习和逻辑思维的训练，因此，数学表征能力主要体现在操作转换和表达交流上．

20世纪80年代，随着改革开放时期的到来，中国的教育开始全面进入复苏和发展阶段．课标的修订过程立足于中国的国情，在实践中不断吸取经验[18]．课标更加强调基础知识和基本技能．而且，为减负，课标推出因材施教，分科教学或增加选学内容模块，有益于学生的个性发展．

为适应新世纪的迅速发展，中国先后分别颁发了两次《义务教育数学课程标准》和《普通高中数学课程标准》．随着许多国家将数学表征能力列为学生的数学关键能力之一，数学表征能力在中国课标中也愈发得到重视，并且一直呈现增长趋势．特别地，建模应用水平在课标的教学内容中一直体现较少，但2017年版高中课标将数学建模活动和数学探究活动作为4个主题之一．这一举措展现了课标对建模应用的重视程度以及单独发展中学生建模能力的必要性．目前，新的义务教育数学课标修订在即，建模活动也很大程度上适合被增入新修订的课标中．

通过研究，可以得到如下启示：（1）在许多国家的中学数学课程标准和数学表征能力的相关文献中，数学表征能力被列为学生数学核心能力之一，因此中国中学数学课程标准也应对数学表征能力的内涵、行为表现提出明确的要求；（2）强调“双基”教学是中国数学课程的传统，在保持传统的同时，应该大力提倡数学应用、数学探究和数学建模活动，特别是即将修订的义务教育数学课程标准，也需提出明确的课程及教学要求．

致谢：特此感谢华东师范大学教师教育学院徐斌艳教授、数学科学学院范良火教授和鲍建生教授在文章写作过程中给予的指导和帮助．

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The Development Trend and Enlightenment of Mathematical Representational Competency in Mathematics Standards of Middle School in China since the 20th Century——Taking Geometry as an Example

LI Na1, ZHANG Jin-yu2, 3, SHEN Yang1

(1. School of Mathematical Sciences, East China Normal University, Shanghai 200241, China;2. College of Teacher Education, East China Normal University, Shanghai 200062, China;3. Shanghai Research Base for School Mathematics Education, Shanghai 200241, China)

According to the Chinese mathematics syllabi of middle school in different eras since the 20th century, the paper used text analysis method to construct an analytical framework of mathematical representational competency based on related research, which contained three levels, i.e. (1) expression and communication, (2) operation and transformation, and (3) modelling and application. Based on the framework, we then analyzed the content of plane geometry and solid geometry in Chinese mathematics syllabi for middle school respectively, and further discussed the developmental trend of the competency in Chinese middle school mathematics syllabi since the 20th century and the enlightenment. The results showed that Chinese middle school mathematics syllabi gradually paid more attention to operation and transformation, whereas the request for expression and communication remained relatively stable. Compared with them, the syllabi showed less attention to the modelling and application, though the situation was slightly better than before.

mathematical representational competency; mathematics in middle school; syllabus; course content; geometry

2019–03–16

教育部人文社会科学重点研究基地重大项目——中国学生数学素养测评研究（16JJD880023）；上海高校“立德树人”人文社会科学重点研究基地——华东师范大学数学教育教学研究基地项目（A8）

李娜（1994—），女，辽宁辽阳人，博士生，主要从事数学教育研究．

G423.07

A

1004–9894（2019）03–0036–06

李娜，张晋宇，沈阳．20世纪以来中国中学数学课程中数学表征能力的发展趋势与启示——以几何为例[J]．数学教育学报，2019，28（3）：36-41．

[责任编校：周学智、陈隽]