20世纪以来中国数学课程标准中数学建模内涵的发展

黄 健，鲁小莉，王鸯雨，徐斌艳



20世纪以来中国数学课程标准中数学建模内涵的发展

黄 健1，鲁小莉2，3，4，王鸯雨1，徐斌艳1，4，5

（1．华东师范大学 教师教育学院，上海 200062；2．华东师范大学 数学科学学院，上海 200241；3．上海市核心数学和实践重点实验室，上海 200241；4．上海市“立德树人”数学教育教学研究基地，上海 200241；5．华东师范大学 课程与教学研究所，上海 200062）

采用主题质性文本分析法，综合梳理中国1902—2018年小学、初中、高中的数学课程纲领性文本（教学大纲、课程标准）中数学建模的内涵．研究发现：长期以来，中国数学大纲中没有“数学建模”的提法，1996年的高中大纲中首次出现“数学模型”一词；大纲（课标）对“数学建模”过程的描述从不完备的“四阶段循环模型”逐步发展成“七阶段循环模型”；21世纪以来，高中课标对“数学建模”的重视程度与具体要求显著高于义务教育阶段，但缺乏情感态度的描述．基于这些发现，文章最后提出了关于数学建模教与学实践的启示．

中国数学课程；数学建模；质性文本分析法；核心素养

数学在现代社会中被广泛应用，“数学建模”在过去的三十多年里逐渐成为数学教育的中心话题之一[1]．数学建模提供了将数学应用到其它领域的途径．学生把非数学领域中的实物或问题，映射（或翻译）到数学领域中，并运用数学方式寻求答案，然后解释和评估这些答案是否能解决非数学领域的问题，从而提升应用数学的能力[2]．

1 文献综述

1.1 不同研究视角的数学建模

数学建模虽然一直被广泛应用，但目前对其并无一致公认的定义[3]，不过各个领域对它的理解并不会有太大的偏差．Henry O. Pollak用是否涉及现实背景，区分了数学建模与一般的数学问题解决[4]．因此，若将整个世界划分为现实世界和数学世界，那么数学建模便可以将两个世界打通并建立联系．建模就是联结数学的“两张脸”（two faces），即现实的数学和抽象形式化的数学[5]．

把数学建模看作一种现实世界到数学世界的映射求解过程，则数学建模有典型的四阶段循环（图1）[6]．但是，如果更细致地关注数学建模过程中参与者心理状态的变化，就会发现“现实问题”和“数学模型”之间还存在一个关键的中间状态——“现实模型”，这便是Blum[7]提出的五阶段建模循环（图2右）．更进一步地，把客观存在的现实情境和主观对现实情境的理解（情境模型）细分为两个状态，则有了2007年Blum等经过几次修订而提出的七阶段建模流程框架[8]（图3）．该框架中，建模过程包含6个状态（States）和7个环节（Stages）．

图1 四阶段建模循环模型

图2 “03高中”数学建模框架与五阶段建模循环模型

图3 七阶段建模循环模型

基于七阶段建模循环模型，研究定义数学建模能力表现为：“面对某个综合性情景，能够理解并建构现实情境模型，会将该模型翻译为数学问题，建立数学模型，然后会用数学方法解决该数学问题，再根据具体的情境，解读与检验数学解答，并验证模型的合理性．”

对于数学建模能力的评价，丹麦KOM项目将其作为综合能力的一部分进行定义与测评；英国与澳大利亚研究小组则从建模能力与技能的学习潜力开发数学建模能力评价工具；德国通过测试数学建模各子能力去综合评估数学建模能力；澳大利亚的研究则认为数学建模能力中需要包含元认知的部分[9]．

在教育领域的数学建模研究也逐渐形成了许多不同的国际视角．Kaiser对学校中数学建模的最新观点进行了分类，研究视角包括[10]：应用建模（realistic or applied modelling）、理论建模（epistemological or theoretical modelling）、教育建模（educational modelling）、情境建模（contextual modelling or model eliciting perspective）、社会文化建模（sociocritical and sociocultural modelling）、元认知建模（cognitive modelling as metaperspective）等．“应用建模”观点强调务实主义，认为建模的目的在于应用数学而非发展数学，“理论建模”观点则恰恰相反，他们强调科学与人文主义，认为数学建模不只是解决实际问题，更重要的在于为数学概念与算法的发展服务．“教育建模”观点则有两派，其中“教学建模（didactical modelling）”观点强调在建模教学中应该注重发展学生各种能力，而“概念建模（Conceptual modelling）”观点则认为，建模的教学应该是为数学概念学习服务的．“元认知建模”视角更加关注的是学生数学建模过程中认知与情感的变化．

1.2 不同国家课标的数学建模

进入21世纪，伴随着数学建模在数学教育研究中的发展，各国与各地区也陆续启动的数学课程改革都将学生数学建模思想的形成以及数学建模能力的培养作为数学教育的重要目标之一．在德、美、英、法、芬兰、澳大利亚等发达国家，都把建模或模型列入其课程标准之中．例如颁布于2003年底的德国数学教育标准明确提出，数学建模能力是学生应该发展的六大数学能力之一．2010年美国出台的《美国州际核心数学课程标准》（，简称CCSSM）[11]将数学建模视为问题解决的一种方式，是高中数学六大核心内容之一，与数学实践一起构成高中数学两大核心概念[12]．2010年澳大利亚课程评估和报告局（ACARA）发布的高中数学课程标准意见草稿中建模被列为基本的数学活动[13]．瑞典现行的课程标准里陈述：教育的一个目的是发展学生设计和使用数学模型的能力，以及批判地评价条件、机会和不同模型的局限[14]．在中国，《普通高中数学课程标准（2017年版）》将“数学建模”列为中学生六大数学核心素养之一（数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析），这也是中国基础教育阶段性结果[15]，可见数学建模已经成为中国数学教育重要的培养目标．

那么，中国数学课标中“数学建模”的发展历程是怎样的呢？具体而言，1902—2018年中国数学课程纲领性文本（教学大纲、课程标准）中对数学建模有何描述与要求？

2 研究设计

2.1 研究对象

研究对象为“中国1902—2018年小学、初中、高中的数学课程纲领性文本”．在纲领性文本的版本选择上，1902—2000年的数学课程纲领性文本选自人民教育出版社课程教材研究所出版的20世纪课标汇编本，2000年以后的课程标准均选自中华人民共和国教育部制定，且由人民教育出版社、北京师范大学出版社于2001、2003、2011和2018年出版的义务教育阶段和普通高中阶段的课程标准（具体如表1所示）．

表1 研究对象

2.2 质性文本分析法

由于资料皆为文本材料，所以主要采用的研究方法是文本分析法（text analysis）．经典文本分析法是20世纪40年代发展起来的一种系统的研究方法，其本质上是建立在创造类别和根据这些类别分析经验材料的思想基础上的[21]．Pool[22]总结了文本分析的3个具体目标：描述文本；从文本中推断前因（antecedents）；从文本中推断影响效果（effects）．随着时间的推移，文本分析法也演变出了定性文本分析与定量文本分析，其区别在于，经过编码后，定量文本分析中的统计数据将代替言语数据成为研究者关注的重点，而定性文本分析中对文本本身的表述依旧是感兴趣的．Kuckartz将基于编码的文本分析法分成了主题定性文本分析（thematic qualitative text analysis）、评价定性文本分析（evaluative qualitative text analysis）、构建式文本分析（type-building text analysis）3种类别．为了更加贴近文本具体表述的含义，编码过程主要采用主题定性文本分析方法．

2.3 数据分析

2.3.1 文本筛选

首先，对文本进行初步的筛选工作．将1902年起的所有中国数学课程纲领性文本进行筛选和删减，并做好整理和记录工作，即筛选出与“数学建模”有关的表述，要求摘录的词条（段落）中必须包含“模型”或“建模”的表述．如从《普通高中数学课程标准（2017年版）》（简称“17高中”）的“课程内容”中提取段落“……理解用函数构建数学模型的基本过程；运用模型思想发现和提出问题、分析和解决问题……”

具体来说，由两名研究者对所有文本中与“数学建模”相关的词条进行摘录并编制成表，摘录内容相互补充，最终确定所有文本中再无与“数学建模”相关的表述．之后，对摘录词条进行二次“过滤”：一来去除课标中来自“附录”部分的词条；二来去除不符合“数学建模”定义的词条，如1952年《小学算式教学大纲（草案）》中所表述的“……几何挂图、几何物体模型（正方体、长方体）等实物教具……”里的“模型”为实物模型，与研究定义不符．由此，得到有效词条共160条，具体分布如表2所示．

表2 文本筛选词条数

2.3.2 编码与分析

更具体的，考虑到摘录的词条若来源于“前言”“课程目标”等文本中非内容要求部分，其文字描述较为宏观，不够具体，因此不考虑作为编码内容处理，仅用于直接的文本分析．由此，筛选出内容要求部分的词条共128条，其中仅有一条来源于20世纪文本（1996年版高中大纲），同样不作为编码处理．故此，将21世纪4本数学课程标准中得到的词条进行编码．按照主题定性文本分析的步骤（图4），采用归纳与演绎法结合的方式构建编码框架．

图4 主题定性文本分析的流程

第一步，构建主题类别（一级编码）并进行第一阶段编码．根据数学建模的“两张脸”，确定了“数学与建模”和“实际与建模”两大主题，前者是纯数学领域的处理，如利用数学知识构建或求解模型等，后者是与现实之间的联系，如数学化、应用于实际等．另外，蔡金法与徐斌艳[23]提出，数学情感是数学核心素养，具有重要的作用和价值，基于此，将“情感态度”作为第三大主题．

两名研究者分别基于三大主题对所有数据进行第一阶段双盲编码，事后对照，一致性达到95.8%．值得注意的是，每一词条内容并非只有一个编码（主题），根据其包含的内容，可能被同时分到两个主题中．

第二步，根据数据归纳出大主题下的小类别（二级编码），从而确定初步编码框架．每个大主题下随机选取50%的数据进行初步归类，由两名研究者背对背归纳后共同商讨互相补充确定最终编码框架（如表3所示）．

“数学与建模”主题下的词条表述中，强调数学知识对数学建模应用价值的主要有两类：一是运用数学知识建模或将数学知识运用到模型中；二是模型求解过程中运用到相关数学知识．这两者是有显著差异的，前者强调了数学知识在数学建模中的作用，后者则更强调数学知识在模型求解过程中的作用．另外，课标中也有类似“概念建模”的观点，提到利用数学建模活动促进对数学概念的理解和知识的学习．综上，在该主题下得到“数学的模型”“求解模型”“帮助数学学习”3个二级编码．

在“实际与建模”主题下，由于词条描述与数学建模七循环（图3）所描述的环节具有良好的对应，因此根据Blum七大建模步骤建立了4个二级编码（不包括建立模型与模型求解步骤，且将解释转录合并到验证模型中）．词条中还包含了许多整体概括性的表述，将其单独归为“解决实际问题”编码．综上可得到该主题下的5个二级编码．

需要说明的是，前两大主题中，只有“帮助数学学习”与“解决实际问题”这两个编码不属于数学建模七循环的环节，这两者体现的是课程中数学建模教与学的理念．

“情感态度”主题下的二级编码直接采用归纳分类法，从该主题下的词条表述可发现其包含了“提高兴趣”与“改善态度”两个方面．

第三步，根据生成编码框架对所有数据进行编码．先由两名研究者采用双盲方式分别对所有摘录词条内容进行编码，事后检验两人一致性为91.4%，其中存在分歧的地方两位编码者也经过了协商，最终达成了一致．

3 研究结果

3.1 数学建模的演变

从表2数据可以直接看出，长期以来，中国课标中并没有“数学建模”或“数学模型”的提法．

直到1996年，国家教委出版的《全日制普通高级中学数学教学大纲（供试验用）》（简称“96高中”）首次将原来“……使学生更好地理解与掌握知识，学会运用数学知识解决简单的实际问题”的表述改为“……使学生更好地掌握基础知识，增强用数学的意识，能初步运用数学模型解决某些实际问题”，虽然仅仅改了寥寥数字，却首次提到了“数学模型”一词．可见此时的数学建模是从大纲一直以来便存在的“解决实际问题”中演化而来的．

表3 编码框架

很快，义务教育阶段也在2000年的《九年义务教育全日制初级中学数学教学大纲（试用修订版）》（简称“00初中”）中提到了“建立数学模型”，区别于之前的“运用数学模型”，可见大纲中对数学建模有了更高的要求．

虽然这一阶段（1902—2000）教学大纲中“数学模型”的出现只是零星点点，且还没有明确给出定义，但对其过程的描述却已经初步形成，基本符合Freudenthal垂直数学化的描述，同时也符合数学建模典型四阶段（图1）中“现实问题数学化为数学模型，再求解得到数学结果”的过程，不过还缺失了“解释现实”与“反馈模型”的环节．

21世纪开始（2001—2017），数学课标替代了数学大纲，其中数学建模内容的改变也尤为明显，对数学建模过程的描述紧随国际研究脚步，从不完备的“四阶段循环模型”逐步走向完备的“七阶段循环模型”．

《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》（简称“01义务”）进一步完善了数学建模过程，指出：“从具体的问题情境中抽象出数学问题、使用各种数学语言表达问题建立数学关系式、获得合理的解答、理解并掌握相应的数学知识与技能的有意义”，“让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程．”此时的数学建模过程已经有了“解释、应用与拓展”阶段，即包含四阶段过程中的4个状态和3个步骤（缺少“验证”步骤）．

2003年颁布的《普通高中数学课程标准（实验）》（简称“03高中”）突出了“培养数学建模能力”的重要性．从量上看，“03高中”中共有114个编码，比起之前的版本几乎多了100个左右．从表述上看，“03高中”首次给出了数学建模过程的框架图（图2左）．该框架基本符合Blum提出的五阶段建模循环（图2右）．相比于之前的课标，主要添加了“提出问题”和“检验”两个环节，使数学建模过程与国际接轨，成为一个循环过程．

《义务教育数学课程标准（2011年版）》（简称“11义务”）中，“模型思想”成为了义务教育数学素养的十大核心词汇之一（数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想、应用意识和创新意识）．其中提到，“从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果并讨论结果的意义．”可见此时义务教育阶段对数学建模过程的理解已经与高中课标相统一，所描述的过程基本符合“03高中”给出的框架图，即也是基本符合五阶段建模循环．

最新颁布的“17高中”将“数学建模”列为六大数学核心素养之一，对数学建模过程的描述也从“五阶段”提升为“七阶段”．“在实际情境中从数学的视角发现问题、提出问题，分析问题、构建模型，确定参数、计算求解，检验结果、改进模型，最终解决实际问题”的表述相比于“03高中”，从实际情境过渡到构建模型的阶段变得清晰完备了，尤其是多出了“从数学的视角发现问题”的过程，即对应了七循环模型中增加的“情境模型”状态——“简化或结构化现实情景，形成现实模型”．2007年Blum提出七阶段模型（图3），2017年中国课标也同步完善了对建模过程的理解，可见中国数学课标中对数学建模的理解是逐渐走向完备的．

3.2 数学建模的要求

3.2.1 普通高中与义务教育课标的比较

将21世纪以来数学课标中普通高中（“03高中”与“17高中”）的编码数据与义务教育（“01义务”与“11义务”）的编码数据进行对比（如图5所示），可见高中的所有编码量都要远高于义务教育，即数学建模在高中课标被提及得更为频繁，相应的教学要求也更高．

图5 高中与义务教育阶段的数据比较

从具体表述中也可以得到相同的结论．“01义务”的前言部分提到“让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程……”；“11义务”的课程目标也类似地提到“……体会模型的思想……”纵观义务教育阶段的两部课标，对数学建模部分的要求都不高，一般以“体验”“经历”的描述性词语为主，“11义务”虽然强调了“模型思想”，但也没有将其列为最主要的培养目标，仅仅要求在“体会”的程度上．相比之下，高中课标严格了许多，“03高中”便要求学生能够“选择有效的方法和手段收集信息、联系相关知识、提出解决问题的思路，建立恰当的数学模型，进而尝试解决问题”；“17高中”则明确指出数学建模的教学目标：“通过高中数学课程的学习，学生能有意识地用数学语言表达现实世界，发现和提出问题，感悟数学与现实之间的关联；学会用数学模型解决实际问题……”

3.2.2 普通高中阶段两版课标的比较

对高中课标中的编码数据进行对比（如图6所示），明显发现三大主题差异明显．从百分比上可以看出，“数学与建模”两者差异不大，“实际与建模”主题“17高中”明显高于“03高中”，但“情感态度”主题却是“03高中”占比更大．

图6 “03高中”与“17高中”的主题数据比较

“情感态度”主题“缩水”的现象是可以理解的．“03高中”与之前版本的主要差异之一在于提出了知识与技能、过程与方法、情感态度价值观有机结合的三维目标基本理念，因此“03高中”的诸多表述都会以其目标评价为基准，如“结合实际问题，感受运用函数概念建立模型的过程和方法，体会函数在数学和其它学科中的重要性”，因此更多地提到“情感态度”编码是必然的．而“17高中”主要强调的培养目标在于“数学学科核心素养”，且六大核心素养皆为数学核心能力，因此在许多表述中会忽视“情感态度”的目标，转而注重在素养培养上．如相关表述多为“正确运用统计结果解释实际问题，重点提升数据分析、数学建模、逻辑推理和数学运算素养”．

从具体数据（如图7）中，可见“17高中”更加强调建模与现实之间的联系，如“理解现实情境”“数学化”“解决实际问题”等编码上都是显著高于“03高中”．可以认为，“17高中”更加注重数学知识的应用性，也更加强调对现实世界的数学化过程．

4 讨论与结论及启示

从1996年大纲首次出现“数学模型”一词发展至今，课标对“数学建模”过程的描述也逐渐完备．相对而言，中国高中课标对“数学建模”的重视程度与具体要求都显著高于义务教育阶段，但在数学建模能力的培养、实践和评价等方面仍有较大的发展空间，这一研究对未来的教学实践带来了不少启示．

图7 “03高中”与“17高中”的编码数据比较

4.1 全面培养数学建模各子能力

近年来，数学课标对数学建模的要求越来越高，但一直以来建模过程中的“检验”与“应用”步骤还未得到充分的重视．从编码数据中可以看到，最新的“17高中”在这方面虽然已有了一定的提升，但相比于其它建模环节，这两个步骤依旧是“短板”．Kaiser对数学建模的评价正是从数学建模过程的各个环节出发进行子能力评价的，如理解现实问题和构建现实模型的能力、从现实模型中创建数学模型的能力、在数学模型中解决数学问题的能力、在真实模型或真实情况下解释数学结果的能力等[24]．可见数学建模各环节的全面发展是需要给予重视的，这一点值得中国建模教育借鉴．

4.2 重视建模对数学知识的帮助

中国课标中对数学建模的描述更加偏向于“实用建模”的观点，强调建模是应用数学知识的重要途径，“数学的模型”编码数据也同样支持该观点．而对数学建模“帮助数学学习”的功能还不够重视．这种“概念建模”的观点发展于早期的科学与人文主义[25]，区别在于其不要求学生借助数学建模创造出更多数学知识，而是希望学生能通过数学建模活动巩固和深化已有的知识，甚至构建自身更为完备的数学认知结构．因此，在未来的教学实践中，教师们可以更加关注建模对数学知识的促进性，不仅为建模而建模，而应该结合具体的教学内容，更大程度地发挥建模活动的价值．

4.3 关注数学建模能力的评价

“03高中”虽设置了数学建模与数学探究内容，但没有提出具体评价要求[26]，“17高中”虽然给出了数学建模能力的3个水平，并建议多元评价建模能力，但还不够具体．中国研究领域对于学生建模能力的评价也甚少详究[27]，在后续的实践中，研究者与教师们可以从国外研究中适当借鉴，形成适合中国实际的数学建模教学评价体系．如德国数学教育标准按照数学化的复杂程度将数学建模能力划分为3个水平，但与中国课标不同之处在于，其教育标准中对不同建模能力水平给出了相应的评价题目，以检验学生到达哪一水平[28]．这一评价功能是中国课标所不具备的，因此，实践中的数学建模评价还需要研究者们进一步关注．

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Mathematical Modelling in Mathematics Curriculum Standards in China since the 20th Century

HUANG Jian1, LU Xiao-li2, 3, 4, WANG Yang-yu1, XU Bin-yan1, 4, 5

(1. College of Teacher Education, East China Normal University, Shanghai 200062, China;2. School of Mathematical Sciences, East China Normal University, Shanghai 200241, China;3. Shanghai Key Laboratory of PMMP, Shanghai 200241, China;4. Shanghai Research Base for School Mathematics Education, Shanghai 200241, China;5. Institute of Curriculum and Instruction, East China Normal University, Shanghai 200062, China)

Employing the thematic qualitative text analysis, this study reviews mathematical modelling in the mathematics curricular syllabi / standards at primary, middle and high school levels in China from 1902 to 2018. The results indicated that 1) the notion of mathematical modelling had not been found in the Chinese mathematics syllabi until 1996 in the high school syllabus; 2) the description of the modelling process in the curricular syllabi / standards had been changed from a “four-stage modelling cycle” to “seven-stage modelling cycle”; and 3) since the 21st century, high school curricular standards paid more attention to mathematical modelling than those for the compulsory education stage, but lacked requirements in affective aspects. Based on these, this paper ended with implications for the teaching and learning of mathematical modelling.

Chinese mathematics curriculum; mathematical modelling; qualitative text analysis; core competency

2019–03–16

教育部人文社会科学重点研究基地重大项目——中国学生数学素养测评研究（16JJD880023）；上海市核心数学与实践重点实验室（18dz2271000）；华东师范大学2017年度青年预研究——中学数学教师专业学习的理论与实践研究（41300201012222060）

黄健（1994—），男，广东潮州人，硕士生，主要从事数学课程与教学论、数学教育中的数学建模研究．

G423.07

A

1004–9894（2019）03–0018–06

黄健，鲁小莉，王鸯雨，等．20世纪以来中国数学课程标准中数学建模内涵的发展[J]．数学教育学报，2019，28（3）：18-23．

[责任编校：周学智、张楠]