“四基”：中国特色数学教育体系的核心理念

程 靖，鲍建生



“四基”：中国特色数学教育体系的核心理念

程 靖1，2，3，鲍建生1，3

（1．华东师范大学 数学科学学院，上海 200241；2．上海市核心数学和实践重点实验室，上海 200241；3．上海市“立德树人”数学教育教学研究基地，上海 200241）

“四基”是中国特色数学教育体系的核心理念，它从中国数学“双基”教学的传统中发展而来，主张重视数学基础知识、基本技能、基本思想，以及基本活动经验，进而谋求学生的全面发展．“四基”模块是强调学生主体参与的教学模型，是构成数学核心素养的细胞．掌握“四基”需要勤奋艰苦的学习，“四基”教学模式强调技能与思想、记忆与理解、巩固与反思、基础与创新的紧密结合．

中国数学教育；双基；四基；核心素养

中国的中小学数学课程兼具基础性与发展性[1–2]，然而，在打基础和求发展这一对关系上，流光溢彩的上层建筑往往掩盖了朴实无华的基础．在数学核心素养备受关注的当下，反思基础教育中基础与发展的关系，显得尤为紧要．

21世纪以来，中国数学教育改革中提出了“四基”教学理念[3]，一方面拓展了传统的数学“双基”教学理论[4]，另一方面为学生核心素养的形成构建了基石．“四基”数学教学模式正在以其鲜明的中国特色逐步走向世界．

1 “四基”教学模式的形成

“四基”，是基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验4者的简称[3]．“四基”数学教学模式，是使学生在具备数学“四基”的基础上谋求进一步的发展．“四基”数学教学决非忽视学生的发展，恰恰相反，打好基础的目的就是为了获得更切实、更有效率的全面发展．

1.1 “四基”是数学“双基”教学的拓展

中国实行数学“四基”教学模式，有其独特的文化背景和教育传统[4]．中国的农耕文化，强调精耕细作，不违农时．儒家文化主张勤学苦练、顺从经典．科举文化要求学生熟悉经典，代圣贤立言．民间流传的教育格言，如“熟能生巧”“台上一分钟，台下十年功”，等等，大多包含着重视基础的基因．

中国的现代数学教育，最初是从国外引进的．辛亥革命以来，学校的学制、数学课程的设置多半参照英美，教育理念上受杜威的进步主义教学影响很大．但是，中国数学教育对于各种教育理念采取兼收并蓄的方针．数学教育秉承古希腊理性文明的宗旨，拒绝实用主义的倾向．可以说，从徐光启、陈建功、傅种孙，到今天的姜伯驹，是一脉相承的[5]．

建国初期，中国数学教育受苏联学派的影响，注重数学的严谨性，使得中国数学课程上了一个台阶．由于1958年的教育革命，以生产劳动代替教学，按工农业生产需要编制数学课程，严重破坏了数学课程的系统性．1963年的《全日制中学数学教学大纲（草案）》中，总结了建国以来正反面的数学教育经验教训，及时地强调数学基础知识和基本技能的教学[6]，数学“双基”教学模式开始形成．“文革”结束以后，反思忽视基础的错误倾向，重新重视“双基”数学教学，在1986年的《全日制中学数学教学大纲》中，明确出现了数学“基础知识”与“基本技能”的提法[6]，数学“双基”教学理念在大纲中正式确立[7]．

20世纪80年代，由徐利治先生倡导而发展起来的“数学思想方法”研究，逐步形成了数学“基本思想”的概念[8]．新世纪以来，由于关注学生的主动参与，又提出了数学“基本活动经验”的概念．这两者与“双基”一同构成了“四基”[3]，于2012年在《义务教育数学课程标准（2011年版）》中得以正式提出[1]．

由此可见，“四基”数学教学模式并非只是一些口号和理论设想，而是浸透了无数数学教育工作者汗水和智慧的宝贵结晶，也是全球视野下对数学教育“中国道路”的一次深刻反思[9]．

1.2 全面发展离不开夯实的基础

中外数学教育的历史一再表明，一旦忽视基础，失去了必要的均衡，基础教育就不得不付出沉重的代价．欧美发达国家的基础教育，长期存在着忽视“基础”的倾向．

二次大战结束以后，由于苏联卫星率先上天，曾在一些欧美发达国家出现过“新数学运动”．当时的数学教育改革，为了提高数学课程的理论水平，把大量抽象难懂的“集合语言”“二进制”“群环域等数学结构”等内容列入小学数学课程．试验的结果是脱离学生实际，以失败而告终．从而在1970年代不得不提出“回到基础”的口号．“回到基础”是一个回溯，但人们对回到基础与简单地回到过去并没有仔细区别．到20世纪70年代末，人们开始意识到“回到基础”又是一次失败．机械练习使学生的思考能力和解题能力停留于低水平，基本功也并未见长[10]．换句话说，中小学数学教学内容虽然摒弃了“形式主义”的抽象内容，却又走上了“无限制地降低难度”，过度提倡“数学日常生活化”的不当举措．一些迷恋“进步主义教育”的数学教育工作者，重新实行“儿童中心主义”的教育理念，一切以学生的兴趣、快乐为依归，以“创设儿童日常生活情景”作为数学教学的唯一目标．然而，许多数学基础知识和基本技能，并非都能激发起儿童的兴趣，如背诵九九表，做大数的除法，分数的加减法，整式、分式、根式运算，超经验无理数等，都是相当枯燥乏味的内容．一旦在这些关节点上放松了，许多数学概念理解不了，数学运算做不下去，数学基础不过关，数学发展也就谈不上了[11]．许多欧美发达国家在国际数学测试中始终表现不佳，根源即在于此．

反观中国学生的表现，正是数学“四基”教学模式带来了中国学生数学成绩的大面积丰收．从1990—1991的IAEP2国际测试[12]，到晚近的PISA测试[13]，中国学生在几乎所有的基础教育国际数学测试中，成绩一直位居前列．这些测试，不仅反映了学生掌握基础知识和基本技能的情况，也在一定程度上考察了学生的运用数学知识解决实际问题的能力．整体地说，中国数学教育的优势在于学生的基础扎实，以及与此相适应的发展水平．

美国数学教育在1990年代有“数学战争（Math. War）”的说法，争论的焦点之一就是美国学生的数学基础是否稳固．2008年，全美数学教师委员会（NCTM）发布题为《幼儿园学龄前到八年级数学课程焦点：寻求一致性》的文件，确定了学生必须掌握的关键数学技能与知识，即“课程焦点（Curriculum Focal Points）”，其目的是帮助学校把数学的重点放在基本技能上[14]．2006年，布什总统任命一个“国家数学咨询委员会（National Mathematics Advisory Panel）”，任务是帮助总统和教育部长在科学研究的基础上构建最好的美国数学教育．该委员会于2008年最后提出的报告标题是“为了成功的基础（Foundations for Success）”，仍然把未来改革的成功放在打好基础之上[15]．为什么会这样？其实就是因为主流教育观念忽视了基础，所以不得不强调基础．

这一点，从英国教育部宣布将向中国学习的报道中也可以看出来．英国要做的就是要像中国小学生一样，让孩子们多做练习，提高运算速度；引进华东师范大学出版社的《一课一练》教学辅导书，作为模仿的模板．实际上，英国教育当局所希望看到的局面，无非是让英国小学生都有一个坚实的数学基础[16]．

英国对“中国数学教学模式”的理解，注意到了基础的重要性，那是对的．但是，如果认为“中国教学模式”不谈发展，也是片面的认识．随着中外数学教育经验的不断交流，中国数学“四基”教学模式也在不断发展．打基础并非只是一味地傻练．谁也不愿看到在花岗岩的基础上盖一所茅草房，其目标是在坚实的基础上谋求发展，让“打基础”和“求发展”紧密结合．这方面还有大量的工作要做．向一切先进的数学教育理论与实践学习，永远是教育工作者努力追求的目标．

2 “四基”模块的存在形式

2.1 “四基”是不可分割的

数学“四基”，是以认知模块的形式呈现出来的，其模型是如图1所示的立方体[3]：

第一维度，数学基础知识的积累过程；

第二维度，数学基本技能的演练过程；

第三维度，

图1 “四基”模块[3]

数学基本活动经验本身并不构成一个单独的维度，而是充填在三维模块中间的粘合剂．事实上，数学教学是数学活动的教学．学生通过无处不在的数学基本活动获得的经验，与数学基础知识、基本技能、基本思想交织在一起，渗透在整个数学学习过程之中．

在一堂数学课的教学过程中，知识的获得、技能的训练、思想方法的提炼，互相交叉渗透．没有单纯的知识，也没有脱离知识的技能．至于数学思想方法，则建筑在知识和技能之上，同时具有其独立的价值．而学生获得的数学活动经验，则以上述“三基”为载体，贯穿于整个学习过程中．

数学“四基”是不能分割的．可是，早先的数学课程，只是列出基础知识的目录，如一元二次方程、正弦函数等，很少提及数学技能，不谈数学思想方法，更没有涉及学生的数学活动．其实，解一元二次方程，必然要获得解这一类方程的基本技能，以形成建模、化归、数形结合等数学思想方法，而这些都是在学生积极参与数学活动的过程中完成的．

“四基”教学模块，就是要提醒：随时随地把“四基”紧密地联系起来，不要相互割裂．

2.2 “四基”是学生认知过程的产物

另一方面，“四基”模块是学生认知过程的产物．事实上，“四基”中的数学基础知识、基本技能、基本思想，都属于数学内容，是学生要努力掌握的对象．至于数学活动，则具有学生参与的主体特性．这就是说，数学教学，就是不断地帮助学生构建“四基”模块的过程．如果说数学“双基”教学只是基于客观数学知识和数学技能重要性的描述，那么“四基”教学就是具有学生主体参与的教学模型．这是一个巨大的进步．

由于“四基”模块是学生建构的结果，必然具有个体特色．对它的研究，还需要深入展开．

3 “四基”教学模式的特征

数学“四基”教学理念指明了在实行数学教学时应当关注的焦点，它与中小学数学教师在实际课堂教学过程中所关注的“三维目标”非常契合．“三维目标”指的是：知识与技能，过程与方法，情感、态度与价值观．而“四基”模块的教学设计，无非是要理清本节课的基础知识和基本技能，提炼出本节课的基本思想方法，并且关注学生参与数学活动的过程．

由于数学教学的“三维目标”深入人心，并为广大一线教师普遍认同，因而数学“四基”教学也具有广泛的群众基础．可以说，现今每一节数学课的教学设计，都在很大程度上得到“四基”数学教学理念的引领．伴随着“三维目标”的推行，“四基教学”已经在中国课堂教学实践中扎根．那么，数学“四基”教学有哪些主要的特征呢？初步分析可得以下6点．

3.1 掌握“四基”需要勤奋艰苦的学习

基础训练往往是枯燥乏味的．正如学外语要背单词，学钢琴要先弹练习曲，学跳舞要练“搁腿”那样，打基础并不总会怎样有趣．数学基础的形成也不例外．

【案例1】背诵九九表．中国的小学数学教师，会要求所有学生流利地背诵“九九表”，绝无例外．即使在“文革”时期，教学秩序极度混乱，但是在教师的带领下，从大山里走出来的农民工，仍然能够背诵九九表．这就是传统的力量．

【案例2】因式分解．将一个正整数分解为它的质因数的乘积，没有“日常生活情景”与之匹配，学习起来没有多少趣味可言．但这是基本功．更进一步，初中阶段学习“因式分解”也是如此．为什么要学因式分解？开始学习时没有道理可言，要到以后学习解二次方程时才会体现出来．当学生一时不明白某些基础知识的重要性时，教师就应发挥主导作用，不能放任自流．当然，教师也可以做一些努力，例如说：“两个多项式相乘得到一个多项式比较容易，但是将一个多项式拆成两个非平凡的多项式相乘，则很困难”，正是“见时容易别时难”啊．这样“拟人化”的说法，可以增加打基础的趣味性．但因式分解等知识的超经验性，绝对不会和学生的日常生活需要发生什么联系．

3.2 强调数学基本运算的速度是为了赢得思维的高效率

数学“四基”教学强调数学运算要有一定的速度．提高运算的速度，是为更加高级的思维活动提供更大的空间．对于一些基本概念，要做到能够不假思索地在脑海里形成直觉．简单地说，就是“熟能生巧”．

【案例3】运算速度的测量．中国曾有“初中生整式运算测试量表”以及“小学生数学基本计算技能测试量表”，用于测知被试者的运算速度与准确性，从而反映学习者对于数学基本技能掌握的熟练度[4]．

【案例4】同类项与学生活动．同类项的合并，是一种基本运算，也没有任何日常生活实际作为直接背景．但是在运算过程中必须做到快速识别、熟练操作．为此，上海市长宁区的周佩珠老师设计了学生的“找朋友”数学活动[17]．她将写有单项式的卡片发给学生，在课堂上组织学生找自己的同类项朋友．要求找到朋友的时间越短越好，力求将同类项的概念形成一种直觉．这是“四基”教学运用“拟人化”手法将枯燥的基础知识趣味化的又一实例．

3.3 数学知识和数学技能要提升为数学思想方法

徐利治所提倡的数学思想方法[8]，现已成为中国数学教师的共识，并进一步被列为“四基”之一．华罗庚倡导读书要先做笔记读厚，再总结消化读薄[19]．这也是要读者把握数学思想方法的精髓．

【案例5】对顶角相等．这是平面几何单元的起始命题．这一命题的正确性极其显然．还要不要证明？古希腊人认为要证明．就是将它置于“等量减等量，其差相等”的公理之上．这节“四基教学”的课，就要以突出公理化的逻辑证明方法为主线．届时建议引用《几何原本》译者徐光启有关此书“四不必”的著名评论，介绍古希腊理性文明的洗礼[18]．

【案例6】数形结合．笛卡尔坐标系将函数、方程和几何学的曲线图形连接起来，是一种“数形结合”．华罗庚有著名的诗句“数形结合百般好”[19]．在解题过程中，要大量使用数形结合的方法．尤其在中国的函数图象教学中，要求学生必须熟练掌握函数解析式各个部分在图象中的作用，把几何学与代数学紧密联系起来．

3.4 变式训练加强反思与巩固

晚近的一些教学理论，只关心学习过程的前半截，即“情景创设”和“探究发现”．对于如何巩固既有的知识、技能和方法，反思其中的智慧和美妙，则几乎不涉及，这是不正确的．认识过程不能只要前半段，忽视后半段．“四基”教学模式要求一定的重复练习，并且积累了大量的“变式训练”经验，形成了变式教学理论．

【案例7】教辅书．华东师范大学出版社《一课一练》向英国输出版权．实际上，世界各国的书店里都陈列有大量的“考试辅导书”，为何中国的“教学辅导书”独具风采？其实，就是由于“变式教学”理论的指导，化解了重复练习带来的枯燥，呈现出变式练习的发展与创新[20]．

3.5 理解原理与记忆算法不可偏废

理解数学原理的重要性，尽人皆知．容易忽略的是一些算法的记忆．中国有一个流行的说法是：“理解的要执行，不理解的也要执行，在执行中加深理解．”

【案例10】负负得正．负负得正的原理，很难用日常生活的事例加以解释[3]．但是必须执行，做得多了，也就慢慢理解了．分数除法的颠倒相乘也是如此．

3.6 基础与创新紧密结合

中国的数学“四基”教学不是简单地傻练，而是尽量使用各种先进的数学教学方法，使之具备某种创意，有利于学生的发展．仅靠熟练掌握已有的知识和技能无法实现创新，对于创新人才的培养还需重视其数学思想和活动经验的获得[21]．例如“四基”与开放题相结合，就是这样的例子．

【案例12】巨人的手．这是弗赖登塔尔的一个教学设计[3]．内容大意是说：外星人昨晚访问我校，留下一个巨大的手印．今晚他还会来，要看我们的数学教材．那么，他使用的书的长和宽是多少呢？这是一个可以用“四基”教学理念加以解释的经典设计：基础知识——图形的相似；基本技能——测量、按比例放大；基本思想方法——相似图形的比例不变性、数学建模；基本活动经验——实际测量、问题解决．

国内外优秀的数学教育成果，正在不断地充实数学“四基”教学．这些案例表明，数学“四基”教学是丰富多彩的．

4 “四基”是构成数学核心素养的细胞

《普通高中数学课程标准（2017年版）》指出：数学教学应当帮助学生获得6项核心素养，分别是数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算，以及数据分析[2]．“数学核心素养”是数学“四基”教学所要追求的目标．每一种数学核心素养，都是学生在一堂堂数学课的学习中逐步积累形成的，不外乎由某些“知识、技能、思想和数学活动经验”所构成．

人体的细胞是构成各个器官的基础．虽然脑细胞和心脏细胞都是细胞，但功能不同，因而体现出特有的器官功能．“四基”模块也是一样．

“四基”模块的性态千差万别，丰富多彩．每个“四基”模块都有自己的鲜明特色，为形成某些数学核心素养服务．例如，最简单的认识20以内自然数的“四基”模块，它可以呈现为“物体个数”的抽象特性，也可以呈现为现实计数问题的建模特性．反过来，“数学抽象”这一基本素养则是包括自然数抽象模块在内的无数具备抽象特性的“四基”模块彼此叠加、组合、交融、升华的结果．

“四基”教学所产生的效果，就是今日广大教育工作者希冀学生能够形成的数学核心素养．因此，数学“四基”教学是中国数学教育的核心理念．

5 “四基”教学理论需要系统化研究

中国学生为什么基础扎实？这是如何做到的？国内外的同行会问，中国学者自己也需要反思与研究，给出科学的结论．数学“四基”已逐渐成为近年来中国数学教育研究的重点与热点话题[23]．以下列出诸多需要进一步研究的问题．

● 什么是数学基础？需要给出一个清晰的轮廓描述．

● 什么是数学“基础知识”？

● 什么是数学“基本技能”？计算速度重要吗？它如何为高层次的思维活动提供更大的空间？

● 如何制定科学的测试量表？

● “四基”模块的形成机制是怎样的？

● “四基”教学模式的认知心理学基础是什么（如，记忆与理解、熟能生巧等）？

● 如何对“四基”模块进行分类？

● 不同“四基”模块之间是怎样组合与链接的？

● “四基”与其它数学教育理论（如，“数学化”“问题解决”等）的关系如何？

● 收集、评论一些精致的“四基”模块案例．

● 将解题提升到数学思想方法的高度，其独特的创新性在哪里？

● 学生的数学活动，怎样为基础知识和基本技能的学习插上腾飞的翅膀？

● 学习的巩固环节为何不可缺少？变式练习怎样避免枯燥的重复？

● 启发式讲解仍然是基本的教学手段吗？

● 师生互动是合作学习的一种吗？

● 如何将开放题与四基结合，获得教学效率的提升？

● 超经验数学内容的学习，怎样依赖于数学情景的创设？

广大研究者应该大胆而慎重地概括自己的经验．不要把一切的成功都归结于学习西方教育理念．只有深入解剖自己，弄清内在的机制，中国数学教育才会有自己的话语权．

6 后记

文章初稿由已故数学教育家张奠宙先生拟定，其中许多观点与案例曾刊载于先生多年来所发表的文章、书刊当中，另一些观点则是先生近年来思考所得，并多次与研究者交流研讨．

谨以此文深切缅怀张奠宙先生，并呼吁更多的研究者投入数学“四基”教学研究，将具有中国特色的数学教育理论与实践呈现在广阔的国际数学教育交流平台上．

[1] 中华人民共和国教育部．义务教育数学课程标准（2011年版）[M]．北京：北京师范大学出版社，2012：1．

[2] 中华人民共和国教育部．普通高中数学课程标准（2017年版）[M]．北京：人民教育出版社，2018：2．

[3] 张奠宙，郑振初．“四基”数学模块教学的构建——兼谈数学思想方法的教学[J]．数学教育学报，2011，20（5）：16-19.

[4] 张奠宙．中国数学双基教学[M]．上海：上海教育出版社，2006：1-6，200．

[5] 张奠宙．中国数学教育拒绝实用主义——从徐光启、傅种孙到姜伯驹[J]．教育科学研究，2014（12）：5-9．

[6] 课程教材研究所．20世纪中国中小学课程标准·教学大纲汇编（数学卷）[M]．北京：人民教育出版社，2001：434-440，526-528．

[7] 朱雁，鲍建生．从“双基”到“四基”：中国数学教育传统的继承与超越[J]．课程·教材·教法，2017，37（1）：62-68．

[8] 徐利治．数学方法论选讲[M]．3版．武汉：华中科技大学出版社，2000：1．

[9] 张奠宙，于波．数学教育的“中国道路”[M]．上海：上海教育出版社，2013：227-228．

[10] 聂必凯，郑庭曜，孙伟，等．美国现代数学教育改革[M]．北京：人民教育出版社，2010：15-17．

[11] 陈近，黄秀萍．中美数学教学异与同（二）——国际数学教育专家吴仲和教授访谈录[J]．教学月刊（小学版）数学，2016（9）：4-7．

[12] 范良火，黄毅英，蔡金法，等．华人如何学习数学[M]．南京：江苏教育出版社，2005：12-14．

[13] 高凤萍．PISA数学素养测试对中国基础数学教育的启示[J]．数学教育学报，2015，24（5）：63-66．

[14] 童莉，宋乃庆．彰显数学教育的基础性——美国数学课程焦点与我国“数学双基”的比较及思考[J]．课程·教材·教法，2007，27（10）：88-92．

[15]  National Mathematics Advisory Panel. Foundations for success: The final report of the national mathematics advisory panel [R]. U.S. Department of Education: Washington, DC, 2008: 11-12.

[16] 范良火，倪明，徐慧平．从《上海数学·一课一练》引入英国小学透视中英数学教育的差异[J]．数学教育学报，2018，27（4）：1-6，67.

[17] 周佩珠，施庆一．以课堂的认知性活动促进学生健康发展[J]．江苏教育，1990（1）：30-31．

[18] 张奠宙．徐光启在数学上有功也有过[J]．数学教学，2016（9）：50．

[19] 王元，陈德泉，计雷，等．华罗庚科普著作选集[M]．上海：上海教育出版社，1984：181．

[20] 黄荣金．变异理论下的数学课堂研究[M]．南宁：广西教育出版社，2010：48，185．

[21] 顾沛．数学基础教育中的“双基”如何发展为“四基”[J]．数学教育学报，2012，21（1）：14-16．

[22] 张奠宙，戴再平．中国数学教学中的“双基”和开放题问题解决[J]．数学教育学报，2005，14（4）：5-12．

[23] 曾峥，杨豫晖，武金艳．数学“四基”的研究现状及展望[J]．数学教育学报，2017，26（2）：66-70．

“Four Basics”: TheCore Concept of the Mathematics Education System with Chinese Characteristics

CHENG Jing1, 2, 3, BAO Jian-sheng1, 3

(1. School of Mathematical Sciences, East China Normal University, Shanghai 200241, China; 2. Shanghai Key Laboratory of PMMP, Shanghai 200241, China;3. Shanghai Research Base for School Mathematics Education, Shanghai 200241, China)

“Four basics” was the core concept of the mathematics education system with Chinese characteristics. It developed from a good tradition of mathematics teaching in China known as “two basics”, advocates attaching importance to basic mathematics knowledge, basic skills, basic ideas, and basic activity experience, and seeks the all-round development of students. The “four-basics module” was a teaching model that emphasizes the participation of students, and was the cell that constitutes the core mathematics competencies. Forming the “four basics” requires diligence and perseverance. The “four basics” teaching model emphasizes the close integration of skills and ideas, memory and understanding, consolidation and reflection, and also foundation and innovation.

Chinese mathematics education; two basics; four basics; core mathematics competencies

2019–03–16

教育部人文社会科学重点研究基地重大项目——中国学生数学素养测评研究（16JJD880023）；上海市核心数学与实践重点实验室（18dz2271000）；上海高校“立德树人”人文社会科学重点研究基地——华东师范大学数学教育教学研究基地项目（A8）

程靖（1975—），女，上海人，讲师，博士，主要从事数学教育研究．

程靖，鲍建生．“四基”：中国特色数学教育体系的核心理念[J]．数学教育学报，2019，28（3）：2-6．

G423.07

A

1004–9894（2019）03–0002–05

[责任编校：周学智、陈汉君]