基于Hertz接触理论的叶片-机匣碰摩模型

赵 洋， 华一雄， 张执南， 柴象海

(1. 上海交通大学 机械与动力工程学院， 上海 200240; 2. 中国航空发动机集团 商用航空发动机有限责任公司， 上海 200241)

为了满足航空发动机对整体结构紧凑、气动效率高、耗油率低等结构性能方面的要求，叶尖间隙通常被设计得非常小[1]，但这种设计同时也提高了叶片和机匣之间发生碰摩的概率.由于航空发动机转速高、叶尖线速度大，一旦发生碰摩现象，可能会导致转子系统失稳，进而造成重大安全事故[2].因此，对于航空发动机叶片-机匣碰摩现象的研究具有重要的现实意义.

国内外学者从不同角度建立了各种碰摩模型以表征叶片-机匣碰摩现象.Padovan等[3]将叶片简化为等截面的悬臂梁，考虑叶片的一阶模态弯曲，推导出叶片与刚性机匣碰摩时的法向碰摩力模型，并给出了考虑多叶片同时发生不同碰摩时的计算公式.刘杨等[4]基于Hertz接触理论的非线性碰摩力模型建模并进行数值模拟计算，研究了不同刚度下的故障转子系统动力学响应，发现在碰摩刚度较大时Hertz模型能更好地表征碰摩现象.Jiang等[5]基于文献[3]提出的模型，在假设机匣变形为刚性的前提下，考虑叶片旋转导致的离心刚化影响，将转速参数加入表达式中，修订了旋转叶片-机匣法向碰摩力模型.Ma等[6]从能量守恒的角度出发，建立了一种新型叶片-机匣碰摩模型，对比了各结构参数对侵入量的影响，并通过实验验证模型的可行性.赖少将等[7]通过建立热结构耦合碰摩模型，分析了叶片-机匣碰摩时的摩擦热分布，发现在实际工程问题中,需考虑摩擦热效应对叶尖表面损伤的影响.

由于叶片-机匣之间的碰撞可以看作柔性体与致密弹性体或者柔性体与柔性体之间的接触[8]，所以在建模时除了需要考虑叶片-机匣碰摩过程中叶片和机匣的弹性变形外，还要同时考虑摩擦热效应导致的热变形.综上所述，现有的叶片-机匣表征模型均存在一定的局限性，即假设机匣为刚性体,且忽略了叶片形状及局部接触时的接触力和变形之间的非线性关系.针对上述问题，本文推导出一种新的叶片-机匣Hertz(BC-Hertz)碰摩模型.该模型考虑了碰摩力在接触区域内的非线性变化，从而使其能够适用于不同的机匣碰摩情况.在此基础上通过热固耦合仿真，分析摩擦热效应对碰摩产生的部件径向形变量的影响.

图1 叶片-机匣碰摩示意图[6]Fig.1 Schematic of blade-casing rubbing[6]

1 叶片-机匣碰摩模型

叶片-机匣碰摩示意图如图1所示.其中，Rd为轮盘半径；L为叶片长度；ω为转子角速度；ub为叶尖位移；Ft为切向碰摩力；ucr为机匣径向位移；ubr为叶尖径向位移；δ为碰摩侵入量.现提出如下假设：

(1) 将叶片-机匣碰摩过程简化为准静态接触过程，发生碰摩时叶片-机匣的动能以及应变不再改变；

(2) 忽略碰摩过程中轴向压缩势能的影响；

(3) 轮盘为刚性体，叶片为悬臂梁，叶片材料各向同性；

(4) 各材料参数不随温度而改变；

(5) 忽略叶片-机匣在挤压过程中的阻尼效应.

1.1 叶片弹性变形

将叶片看作悬臂梁，则叶尖的弯曲势能应满足

(1)

式中：E为叶片的弹性模量；I0为叶片惯性矩；ε,h分别为叶片厚度及宽度.

叶片的离心势能表达式为

(2)

式中：A0为叶片横截面面积；ρ为叶片的材料密度.

叶尖法向碰摩力Fn和切向碰摩力Ft所做的功采用库仑摩擦模型来描述，则叶尖碰摩力所做的功为

(3)

由弯曲导致的叶尖径向位移ubr表达式为

(4)

1.2 叶片-机匣接触理论

基于Hertz理论，两弹性体碰撞所引起的法向碰摩力满足

(5)

式中：kh为Hertz接触刚度系数，由转子-静子部件的材料特性和几何尺寸所确定；μ1和μ2分别为转子和静子的泊松比；E1和E2分别为转子和静子的弹性模量；R1和R2分别为转子和静子在接触区域的曲率半径.

1.3 摩擦热效应

考虑切向碰摩力的热效应，对部件接触区域进行热固耦合分析，提出如下假设：

(1) 忽略热辐射以及热对流引起的热损失；

(2) 碰摩的摩擦热全部转化成温度的变化；

(3) 材料均为各向同性；

(4) 摩擦因数不随温度发生变化.

基于上述假设建立模型.柱坐标系下准静态热传导方程为

(6)

(7)

kμ为摩擦因数.

1.4 叶片机匣变形

对于纯弹性碰摩模型，叶片-机匣碰摩侵入量为两者纯弹性径向位移的总和，满足

δ=ubr+ucr

(8)

考虑摩擦热效应时，碰摩侵入量为弹性和热应变下径向位移的总和，即

(9)

2 叶片-机匣Hertz模型

2.1 叶片-机匣碰摩模型对比

针对叶片-机匣碰摩现象，本文只考虑纯弹性形变，建立了一种新的BC-Hertz碰摩模型.根据式(4)、(5)和(8)，对侵入量与法向碰摩力、碰摩刚度、旋转角速度、叶片厚度等参数间的关系进行分析.基于Ma等[6]的实验结果，对比验证BC-Hertz模型与Jiang模型[5]、Ma模型[6]的准确性.其中，叶片厚度ε分别取3 mm(薄叶片)和5 mm(厚叶片)，转速为 1 000 r/min.

图2所示为法向碰摩力与侵入量的关系.对比结果表明：对于薄叶片，Jiang模型，Ma模型，BC-Hertz模型与文献[6]的实验结果均吻合较好；而对于厚叶片，Jiang模型与实验结果误差较大，BC-Hertz模型在侵入深度较小时与实验结果误差较小，而在侵入深度较大时也具有较好的一致性.由于Jiang模型考虑机匣为刚性体，当叶片厚度较小时，叶片刚度与机匣刚度相比而言其值较小，机匣的变形不明显，所以在薄叶片的情况下误差较小；当叶片厚度增加时，叶片刚度变大，机匣变形不能忽略，而BC-Hertz模型和Ma模型均考虑了机匣变形对法向碰摩力的影响，所以在厚叶片的情况下也与实验结果吻合较好.

图2 法向碰摩力与侵入量的关系Fig.2 Normal rubbing force under different penetration depth

2.2 工况参数对碰摩力的影响

在发动机叶片-机匣碰摩过程中，Fn与kμ、δ、kh及ω之间的变化关系如图3～6所示.由图可知，Fn随kμ的增大而减小，随kh、ω及δ的增大而增大.

图3 法向碰摩力与摩擦因数和侵入量的关系Fig.3 Normal rubbing force under parameters of penetration depth and friction coefficient

在不同侵入深度下，kμ和kh与Fn之间的关系分别如图3和4所示.由图3可见：Fn及其曲线斜率随kμ的增大而逐渐减小，即Fn变化趋缓；当kμ=0.1～0.2 时，Fn降幅明显；当kμ>0.2 时，Fn降幅减小.另外，当δ较大时，Fn受kμ影响显著；当kμ较小时，Fn受δ影响显著.

由图4可见：随着kh的增大，Fn增大，而其曲线斜率逐渐减小，即Fn变化趋缓，并趋于定值；当δ较大时，Fn受kh影响显著；当kh较大时，Fn受δ影响显著.

图4 法向碰摩力与刚度系数和侵入量的关系Fig.4 Normal rubbing force under parameters of penetration depth and stiffness coefficient

图5 法向碰摩力与侵入深度和旋转速度的关系Fig.5 Normal rubbing force under parameters of penetration depth and rotation speed

图6 法向碰摩力与刚度系数和旋转速度的关系Fig.6 Normal rubbing force under parameters of stiffness coefficient and stiffness coefficient

在不同ω下，δ和kh与Fn之间的关系分别如图5和6所示.由图5可见：当ω增加时，Fn增大，且随着ω增加，Fn增幅变大；当δ较大时，Fn受ω影响显著；当ω较大时，Fn受δ影响显著.

由图6可见：当kh较大时，Fn受ω影响显著；当ω较小时，Fn几乎不受kh的影响；当ω较大时，Fn受kh影响显著.

3 摩擦热效应

假定叶片和机匣之间的热分布权重系数为 0.5，在Abaqus软件中建立仿真模型，对叶片进行热固耦合分析.设叶片转速ω=3 000 r/min，法向碰摩力Fn=1 kN，摩擦因数kμ=0.2，叶片厚度ε=3 mm.叶片的摩擦热效应材料参数如表1所示，其中：λ为热导率；α为膨胀系数；C为比热容.

表1 摩擦热效应材料参数表Tab.1 Parameters for calculating friction thermal effect

图7 叶片应力云图(Pa)Fig.7 Mises of blade (Pa)

图8 叶片径向变形量(m)Fig.8 Radial deformation of blade (m)

纯弹性和考虑热效应下的叶片应力分布如图7所示.由图7(a)可知，纯弹性载荷下叶片的最大应力发生在叶根背部；由图7(b)可知，考虑摩擦热时的最大应力发生在碰摩接触区域.纯弹性和考虑热效应下的叶片径向变形情况如图8所示.由图8(a)可知，纯弹性变形下的最大径向变形量为 3.13 μm；由图8(b)可知，考虑摩擦热效应下的最大径向变形量为 3.56 μm.因此，在分析碰摩模型中径向形变量与碰摩力、转速等因素的关系时，摩擦热效应的影响不可忽略，并且需考虑摩擦热效应对叶片材料结构的影响.

4 结论

基于Hertz接触理论推导了叶片-机匣碰摩模型，相比于现有模型，该模型考虑了叶片弯曲变形、旋转特性对碰摩力的影响以及在发生碰摩时法向碰摩力与变形量的非线性关系；通过对比其他学者的模型及其相关实验结果，验证了BC-Hertz碰摩模型的准确性.基于BC-Hertz模型可获得法向碰摩力与不同参数的三维曲面图，并可分析不同参数对法向碰摩力的影响；建立叶片热固耦合仿真模型，对比了纯弹性碰摩模型和热碰摩模型的差异.主要结论如下：

(1) 当摩擦因数增加时，法向碰摩力逐渐减小，且曲线斜率逐渐减小；当摩擦因数在 0.1～0.2 之间时，法向碰摩力降幅明显；当摩擦因数大于 0.2 时，法向碰摩力降幅减小.

(2) 当刚度系数变大时，法向碰摩力增大，且曲线斜率逐渐减小，法向碰摩力的增幅逐渐减小；当刚度系数达到一定程度后，法向碰摩力趋于固定值.

(3) 摩擦热效应将在接触区域附近产生较大的热应力，增大部件的径向位移，在实际工程中应考虑叶片-机匣碰摩产生的摩擦热对叶尖间隙以及叶片材料结构的影响.