碰撞过程“熵”的变化探究

孟祥鹏

摘 要： 物理学中有诸多简单而完美的公式，都深刻准确地体现自然科学规律。动量守恒定律、能量守恒定律以及热力学系统中的熵的概念就是很好的例子。基于思考在动力学系统是否有熵的概念，关注一个典型的碰撞过程，构造了动力学中的“熵”的概念。在此基础上，进一步讨论了不同恢复系数时，碰撞过程中熵的变化情况，得出系统熵时增加的结论，并将这个结论拓展至其他的实例中。

关键词： 碰撞;熵;恢复系数;动量守恒;能量损失

中图分类号： TB      文献标识码： A      doi：10.19311/j.cnki.1672-3198.2019.13.095

众所周知，碰撞中的动量与能量守恒。动量是质量与速度的乘积。而能量则是本文的要点，在碰撞过程中能量是一定守恒的，但机械能只有在恢复系数为零且无摩擦力作用时才守恒。这便构成了熵变的条件。

熵在一个孤立的系统中毫无疑问是增加的。在碰撞中，机械能的损失量可为热能、势能、声能、光能等。而在众多能量中热能是一种无序的能量，所以可用熵来描述。

在明确了这些概念的前提下，本文接下来将会从能量、动量和熵三个角度入手，讨论在不同恢复系数下两个物体发生碰撞的过程中，两个物体所组成的系统动量、能量与熵的变化情况。

1 对动量守恒、能量守恒、熵的增加的介绍

1.1 碰撞过程中的动量及动量守恒

动量（Momentum），也称为线性动量，是物体质量乘以速度积。动量守恒定律（Law of conservation of momentum）是指一个特定系统不受外力或外力之和为零，则系统总动量不变的结论。这便是动量守恒定律。

因此，可以列出的动量守恒定律表达式为：

mv1+mv2=mv，1+mv，2 （1）

v1和v2都是发生作用前同时的瞬时速度，v1和v2都是发生作用后同时的瞬时速度。由这两个碰撞物体组成的系统可以看作为一个孤立的系统。动量和能量是守恒的。

恢复系数是反映物体在碰撞过程中变形恢复能力的一个参数。其定义为碰撞过程的前后两物体接触点的相对分离速度与相对接近速度之比。这个定义既适用于正向碰撞，亦适用于两个物体的斜向碰撞。恢复系数可以用表达式来表示为：

e= v，2-v1 v，1-v2  （2）

恢复系数e的取值范围为：0到1之间。根据e值的大小，碰撞可以具体地分为三类：

（1）非完全弹性碰撞（0

（2）完全弹性碰撞（e=1）：碰撞后，物体完全恢复到原来的形状，没有任何的能量损失。

（3）完全非弹性碰撞（e=0）：碰撞中的物体的变形无法恢复，其相对动能完全丧失。碰撞后，两个物体不分离地在一起运动。

1.2 碰撞过程中能量守恒和能量损失

在宏观物体碰撞中，理想状态完全弹性碰撞是不可能存在的。根据热力学第二定律，去碰撞另一个物体的能量必须比被碰撞物体的能量高，这样便形成了能量差。具有初速度的物体1向静止的物体2碰撞，系统的机械能的损失可用如下公式计算：

ΔE= 1 2 m1v20- 1 2 m1v21- 1 2 m2v22 （3）

式中：m为物体的质量，v0为碰撞前物体1的初始速度，v1和v2分别为碰撞后的物体1和物体2的速度。

由此可看出机械能的损失导致系统内放热，碰撞中的熵也随之会增加。便可从热力学的角度来解释碰撞中的一系列现象，其更可拓展为另外一些动量守恒模型中去，以得到一个普遍的结论。在这里，本文提出一个猜想：碰撞的两个物体所组成的系统是一个混乱程度不断加大的孤立系统。

1.3 热力学中学中熵和熵的增加

动量在碰撞中是守恒的，能量既不会由无至有，也不会从有至无。所以我们要在碰撞中使用能量守恒，把能量损失看作是热传递。

熵是热力学中用来表示物质状态的参数之一，用符号S表示，它的物理意义是度量系统混乱的程度。1865年，克劳修斯将新发现的状态函数命名为熵，用其增量表达熵为：

ΔS= ΔQ T  （4）

熵是解释物质状态的一个参数，熵变的规律：在一个孤立的系统，系统总是自发地使混亂度不断增加。进而使熵不断增加，这便是熵增原理。摩擦使部分机械能不可逆地转化为热，增加了熵。

2 构建碰撞过程中“熵”的概念

在熵中已知熵变的表达式（4），在碰撞这一物理过程中，我们要找出一个物理量来表示热能变化量和温度，根据类比得出热能变化量可以用机械能损失来表示，而温度可用动量表示，其表达式为：

mv1-mv末 + mv2-mv末  2  （5）

来类比（4）式中的T。对这一个物理量我们要用一个希腊字母来表示。则碰撞中的熵可以用这个表达式来表示：

ΔSk= ΔEk φ  （6）

带入化简之后，得：

ΔSk= 2v2末-v21-v22 v1-v2  （7）

使用上式时，还需注意两件事：（1）该式仅仅限于两个物体完全非弹性碰撞和非完全弹性碰撞中。（2）当两个物体初速度相同时，为最终态（因为并不会发生碰撞过程，熵无穷大）。当两个物体初速度为零时，可看出上述式子分母为零，相当于最终状态。当两个物体速度相差过大的时候，会导致熵变趋近于零，说明整个系统的碰撞过程会比较持久，熵会缓慢增加，而且根据（7）式可以预知，熵增的速度会越来越快，因为分母会越来越小，分子变化不显著。两个速度相差过大的时候，会导致熵变趋近于零。

本文接下来使用了一个事例来具体分析并论述在不同恢复系数下碰撞中的熵的变化。需要注意的是，本文考虑系统内部摩擦和热释放，不考虑空气阻力。摩擦力做功全部转化为热能。

3 具体实例分析及拓展

3.1 竖面双球摆

在一个竖直平面内，用两根绳系住两个质量相等的球。如图1，将一个球抬到高度为h1的地方，将1球下落到2球高度，发生相互碰撞。当他们互相经过的时候，两个物体必须有分子与分子碰撞。这便是碰撞过程生热的原因。

3.1.1 完全弹性碰撞

两物体发生完全弹性碰撞时，两个物体交换速度。但由于分子间摩擦力的作用，两个物体每次以一个极小值改变各自的速度。最后导致了两个物体速度都为零。在这里，我们假设物体发生再次碰撞前速度的方向发生改变但大小不变，且假设这个过程没有能量损失。经计算可列如下式子：

ΔEk=∫Ek0dEk= 1 2 mv2-0=mgh1 （8）

亦可知=m 2gh1 由此可求出在完全弹性碰撞时的熵变为：

ΔSk=  gh1 2   （9）

则由上式可知在完全弹性碰撞中的熵变是一个正值，进而可知在完全弹性碰撞中熵是增大的。

3.1.2 完全非弹性

本文研究非完全碰撞的一次碰撞的前后物体的熵变。当两个物体发生完全非弹性碰撞时，可列表达式如下：

mv=2mv，v，=  2gh1  2   （10）

故可列机械能变化量为：

ΔEk= 1 2 mv2- 1 2 2mv，2= 1 2 mgh1  （11）

故可列出熵的表达式是：

ΔS= ΔEk φ =  2gh1  4   （12）

由于φ在此表达式中为一个常量故不再赘述。由此可看出，熵变在完全非弹性碰撞中也是一个正值。可看出熵在完全非弹性碰撞中也是增加的。

3.1.3 非完全碰撞

在非完全碰撞中两个物体会不完全的损失机械能。此时在非完全弹性碰撞中必须引入恢复系数这个物理量才能描述一个非完全弹性碰撞的过程。已知非完全碰撞时，恢复系数介于0到1之间。所以必须自行规定一个合适的恢复系数来对应非完全碰撞的表达式。首先要知道恢复系数的表达式（2）。

恢复系数为零时，分数上面为零则为交换速度，符合完全弹性碰撞的表达式。当恢复系数为1时，则分数上下为变化量，故可化简为1，符合完全非弹性碰撞的表达式。由此可列出非完全弹性碰撞的机械能损失量表达式：（此时只研究一次碰撞过程）。

ΔEk= （1-e2）m1·m2 2m1+2m2 （v1-v2）2 （13）

进一步可求出熵变为

ΔSk= （1-e2）（v1-v2）2 2（v1+v2）  （14）

由上式可知，在非完全弹性碰撞中熵变是一个正值。可看出熵在非完全弹性碰撞中也是增加的。

3.2 “熵”增结论和拓展

可以看出熵变在碰撞中是一个恒正的值，熵在碰撞中是增加的。这个系统只会不断无序下去。直到所有机械能都转化为热能。这可以让人联想到一种叫热寂的假说，即宇宙的熵会不断增加，直至全宇宙中只留有热能。

依照熵的定义，宇宙大爆炸似乎有点瑕疵。宇宙可以看作一个孤立系统。其熵应不断增大。但宇宙最初的状态便是高温状态，为什么会向低温状态改变呢？本文设想的为宇宙最初的状态只有很小的体积和很少的原子量。热能因为原子量的极度匮乏而造成不了很高的熵，进而使得温度减少。

4 结论

碰撞中的能量守恒和动量守恒是研究碰撞的重要手段。在碰撞中，机械能发生着不同形式的转化。本文就机械能轉化为热能为研究的基础，从而进一步研究了碰撞过程中的能量守恒和能量转换，独树一帜地构建了碰撞过程中“熵”的概念，并从不同的恢复系数来具体说明了碰撞中的熵变。本文的主要内容是构造碰撞过程中熵的概念。并根据传统中“孤立系统的熵是增加的”的认知，本文对具体实例的熵增过程进行了分析和论述，证实所构造的概念是符合传统认知的。本文还参考了热寂的相关理论，对宇宙最初状态的熵变做出假说。

参考文献

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