高中数学数列解题中需要具备的几种数学思想

蔡艳

在有关数列问题的解题过程中，教师要引导学生运用数学思想方法.学生只有能够根据习题的特征、需求、性质找到适合解决习题的数学思想，才能又快又准地将解决问题.

一、归纳总结数列公式，完成数列的计算

对于一道数列问题，其给出了一组数，却没有明确这组数是不是数列，或者给出了一组数列，却没有说明这组数具体是什么数列.给出了数或数列以后，便要求学生完成数或数列的计算，对这种问题，学生往往不知从何处入手.在做这样的习题时，教师要引导学生学会归纳总结问题的特征，分析出这组数或数列属于哪种数列，然后应用相应的公式来解题.

例1 求数列1，3+5，7+9+11，13+15+17+19，…的前n项的和.

该题给出了一个数列，并给出了一个这个数列的首项，但没有说明它是怎样的数列.如果学生要计算前n项的和，就要根据数列中数与数的变化规律，分析它是怎样的数列，并且分析出它的公差或公比.通过观察这组数列的变化，可以发现题目要求的是自然数的奇数和.在这组数据的前n项中，共有1+2+…+n=12n（n+1）个奇数，依此公式可知最后一个奇数为12n（n+1）×2-1=n2+n-1.该数列前n项和可以看作首项为1，末项为n2+n-1，公差为2的等差数列的和.应用等差数列求前n项和的公式来计算，得Sn=14n2（n+1）2.

二、应用数列的函数性质，分析数列问题的极值

对于一道数列问题，其给出了首项及第n项，要求求出数列前多少项之和最大，并求出最大值.解这类问题时，教师要引导学生了解，数列是一种特殊的函数，具有函数的性质，因此可以应用求函数极值的思想来分析数列问题.

三、应用数列的图像性质，分析数列的数学关系

有一些数列习题，它没有明确给出数列的每一项，只是给出了每项之间的抽象的数学关系，然后要求根据这些数学关系来分析另外的项的数学关系.因为这类习题没有给出具体的数字，所以通常难以应用数列公式解答.此时，教师要让学生意识到，既然数列拥有函数的性质，函数有图象性质，那么这意味着数列也有图象性质.学生可以依照文本描述的数学关系来画函数图象，然后在函数图象中分析数学关系.

对于这道题，学生难以直接应用数列公式来判断项与项之间的关系.为了明晰数列项与项之间的关系，可以绘制函数图象（如圖1）.根据已知条件，绘制出粗略的函数图象，由S5S8构成的函数图象可知，Sn的图像是一个开口向下的抛物线.视等差数列前n项和公式为函数，Sn为函数因变量，n为函数自变量，由图1可知d<0，a7=0，S9

教师要通过习题教学，引导学生在学习数列知识时，让学生掌握归纳思想、函数思想、数列思想这三种数学思想的应用方法.教师开展这样的教学活动，一方面，能让学生熟悉数学思想的适用特征及应用的方法;另一方面，可引导学生应用数学思想解决各种数列问题.