透过全等思想看中考题中的线段关系
2019-07-01宫庆军
宫庆军
(山东省淄博市博山中学 255200)
在历年的中考中经常出现三角形及隐形三角形(需添加辅助线)的问题,问题涉及到线段的关系,有位置关系和数量关系,此时考生能否顺利完成试题的关键是要有全等的思想和类比的思想,抓住这两点可能问题就会迎刃而解.下面就几个中考的题或者经典的题做论述.
例1(经典)如图,已知△ABC是锐角三角形,分别以AB,AC为边向外侧作两个等边△ABM和△CAN.D,E,F分别是MB,BC,CN的中点,连结DE,FE,求证:DE=EF.
解题分析本题中多个中点会联想到中位线定理,进而作辅助线MC和BN,它们的关系就是DE和EF的关系,等边三角形中有相等的边和角自然想到△AMC和△ABN的全等问题,进而证得MC=BN,所求问题依据中位线定理自然解决了.具体过程不再赘述.
例2(淄博中考)(1)操作发现:如图①,小明画了一个等腰三角形ABC,其中AB=AC,在△ABC的外侧分别以AB,AC为腰作了两个等腰直角三角形ABD,ACE,分别取BD,CE,BC的中点M,N,G,连接GM,GN.小明发现了:线段GM与GN的数量关系是____;位置关系是____.
(2)类比思考:如图②,小明在此基础上进行了深入思考.把等腰三角形ABC换为一般的锐角三角形,其中AB>AC,其它条件不变,小明发现的上述结论还成立吗?请说明理由.
(3)深入研究:如图③,小明在(2)的基础上,又作了进一步的探究.向△ABC的内侧分别作等腰直角三角形ABD,ACE,其它条件不变,试判断△GMN的形状,并给与证明.
解题分析和例1比较它把外接等边三角形换成了等腰直角三角形,使问题变得复杂了,GM与GN的关系可能就不止是相等这么简单了,应该能想到是垂直关系,先猜测再去证明是关键.此类问题均是从一个三角形出发,向外作几何图形,从而产生问题,让学生作答,抓住全等三角形这个工具,同时体会类比思想的重要性.
∴MG=NG,MG⊥NG.故答案为:MG=NG,MG⊥NG.
(2)连接CD,BE,相交于H,同(1)的方法得MG=NG,MG⊥NG.
(3)连接EB,DC,延长线相交于H.
同(1)的方法得MG=NG.
同(1)的方法得△ABE≌△ADC,∴∠AEB=∠ACD,∴∠CEH+∠ECH=∠AEH-∠AEC+180°-∠ACD-∠ACE=∠ACD-45°+180°-∠ACD-45°=90°,∴∠DHE=90°,同(1)的方法得MG⊥NG.
例3(济南中考)如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC>BC,分别以AB、BC、CA为一边向△ABC外作正方形ABDE、BCMN、CAFG,连接EF、GM、ND,设△AEF、△BND、△CGM的面积分别为S1、S2、S3.
(1)猜想S1、S2、S3的大小关系,深入研究;
(2)请对(1)的猜想,任选一个关系进行证明;
(3)若将图1中的Rt△ABC改为图2中的任意△ABC,若S△ABC=5,求出S1+S2+S3的值;
(4)若将图2中的任意△ABC改为任意凸四边形ABCD,若S△AEG+S△CNK+S△IBH+S△DFM=a,四边形ABCD的面积为____.(直接用含a的代数式表示结果)
解题分析此题和淄博中考题类似,它外接的是正方形,内部图形无论怎么变化,它的解题思路不变,利用全等找出相等的线段关系,进而证得面积相等,不过它的线段相等更具有隐藏性,辅助线的作法稍微有点难度,更加考验考生的思维能力.具体思路如下:很容易得到S3=S△ABC.进一步猜想其它的两个三角形面积也等于S△ABC,此时需要证明它们的高或底边相等,延长FA至H作EH⊥AH,由△ABC≌△AEH得到EH=BC,进而得到S1=S△ABC,进而得到S1=S2=S3,用类比的思想就能解决后面的问题.
全等三角形的运用一直是数学的重要组成部分,它就像数学中的一个根源所在,许多问题皆由它而来,它涉及了几何中最重要的角和线段的关系.不仅在于它让学生学会了数学的几何证明方法,也让学生体会了数学中的转化思想.它具有很大的灵活性,也具有一定的难度,有时候找不到哪两个三角形全等,此时就要从三角形全等的性质入手,具体数学问题具体分析,体现了学生的各种综合能力.全等三角形知识是几何教学的中轴线,是基础,是代数和几何连接的纽带.