浅析带电粒子在重力和洛伦兹力作用下的运动——对一道高考题的再思考

贾彦峰 贾雅惠

(河北省井陉县第二中学 河北 石家庄 050301) (郑州轻工业大学数学与信息科学学院 河南 郑州 450002)

在笔者的脑海里总有一个问题在萦绕，只要闲下来的时候，总会琢磨它．它就是2008年高考江苏物理单科卷第14题．各种杂志刊登了许多老师的文章，对该试题从不同角度进行了评析，让笔者受益匪浅．但笔者更想知道：带电粒子在重力和洛伦兹力作用下做何种运动．尽管小球在变力作用下的运动不是高中物理探究的问题，但作为一名物理教师应该对此问题有所了解．下面是笔者对此问题的思索．

1 提出问题

【原题】(2008年高考江苏卷第14题)在磁感应强度为B的水平匀强磁场中，一质量为m，带正电q的小球在O点静止释放，小球的运动曲线如图1所示．已知此曲线在最低点的曲率半径为该点到x轴距离的2倍，重力加速度为g．求：

(1)小球运动到任意位置P(x，y)的速率v；

(2)小球在运动过程中第一次下降的最大距离ym；

提出问题：由静止释放的带电小球在水平匀强磁场中做何种运动？小球运动曲线为什么如图1所示?此曲线是何种曲线?

图1 小球的运动曲线

2 探究小球运动的轨迹方程

沿水平向右方向建立x轴,竖直向下方向建立y轴，z轴垂直纸面向里(未画出)．

在磁感应强度为B沿z轴正方向的匀强磁场中，一质量为m，带正电q的小球在O点静止释放，小球运动到位置P时受力如图2所示．

图2 小球运动到位置P时受力情况

小球受力

则小球的运动微分方程为

(1)

(2)

(3)

由式(1)得

两边积分

得

(4)

式(4)代入式(2)整理得

(5)

式(5)对应的齐次方程为

它的特征方程为

由于λ=0不是特征方程的根，所以应设特解为

y*=b0

代入式(5)得

非齐次方程式(5)的通解为

(6)

代入式(6)得

(7)

式(7)代入式(4)得

两边积分得

把t=0时，x=0代入，得C=0，则

(8)

则式(7)、(8)可写作

y=R(1-cosθ)

(9)

x=R(θ-sinθ)

(10)

由式(3)及初始条件得z=0.

至此，我们得到了小球的轨迹方程．那么小球的轨迹到底是怎样的曲线呢？

3 摆线的运动方程

摆线(cycloid)是数学中众多的迷人曲线之一．它是这样定义的:一个圆沿一直线缓慢地滚动，则圆上一固定点所经过的轨迹称为摆线,又称圆滚线、旋轮线．

以圆上定点的初始位置为坐标原点，定直线为x轴．当圆滚动t角以后，圆上定点从O点位置到达P点位置．当圆滚动一周，即t从零变动2π时，动圆上定点描画出摆线的第1拱．再向前滚动一周， 动圆上定点描画出第2拱，继续滚动，可得第3拱，第4拱……，所有这些拱的形状都是完全相同的 ，每一拱的拱高为2a(即圆的直径)，拱宽为2πa(即圆的周长),如图3所示.

图3 摆线

摆线的方程为

x=a(t-sint)

y=a(1-cost)

其中a为圆的半径，t是圆的半径所经过的弧度(滚动角)．

4 结论

由以上讨论可知，小球在重力和竖直平面内的洛伦兹力共同作用下的运动轨迹为摆线．如果把重力换成电场力，可以用同样的方法讨论，得出带电粒子在电场力和洛伦兹力共同作用下的轨迹方程．