矩阵在各种变换下的不变量及其运用分析

黄瑞芳

摘  要：目前，矩阵较为常见的变换主要有初等变换、合同变换与相似变换，各种变换均具备自身所独有的特点，伴随矩阵变化的不断发展，其在各行各业中有着较为广泛的运用。在矩阵最初的变换中，不仅存在着矩阵有关内容的转变，同时还有着由各个领域中所提炼出的和矩阵相关的概念。该文就矩阵在各种变换下的不变量及其运用进行深入的分析。

关键词：矩阵  不变量  运用

中图分类号：G64                                    文献标识码：A                          文章编号：1672-3791（2019）03（c）-0211-02

1  矩阵初等变换

1.1 定义

以下从3个不同的方面分析初等变换的定义：

（1）两行互换（记作：ri←→rj）;

（2）将k（k≠0）与某行相乘（记作：ri×k）;

（3）将某行的k倍与另一行相加（记作：ri+krj）。

1.2 应用

求矩阵的秩。

常见格式：将m×n矩阵经过一系列的初等變化以产生阶梯形矩阵行阶梯型矩阵B，其中，B中非零行数，即A的秩，记为r（A）。

例1：求解矩阵的秩。

解：由

可得：A当中包含了2个非零行，因此，r（A）=2。

2  矩阵合同变换

2.1 定义

以下从3个不同的方面分析合同变换的定义：

（1）两行相互交换（记作：ri←→rj），并且两列相互交换（记作：ci←→cj）;

（2）将（k≠0）与某行相乘（记作：ri×k），并且将（k≠0）与某列相乘（记作：ci×k）;

（3）将某行的k倍与另一行相加（记ri×krj），并且将某列的k倍与另一列相加（记作：ci×kcj）。

2.2 合同变换的性质

引理1 若实对称矩阵A和B的正负惯性指标一致，则Sc（A1B）为群。

证明：针对全部的P1∈Sc（A，B），P2∈Sc（A，B），都有C1∈S0（A，B），C2∈S0（A，B），使P1=c-1c1，P2=c-1c2。

可得：

假设P∈Sc（A，B），存在C1∈S0（A，B），使得P=c-1c1;

P-1=c-1c=c-1（cc1-1c），因（cc1-1）1A（cc1-1c）=c1（c1-1）c1A（cc1-1c=c1（c1-1）Bc1-1c=c1Ac=B，

则cc1-1c∈S0（A，B），所以c1-1c∈Sc（A，B），即P-1∈Sc（A，B），

综上，Sc（A，B）成群。

引理2 若实对称矩阵A和B的正负惯性指标一致，则Sc（A，B）可记作：

证明：

。

3  矩阵相似变换

以下几种情况可以视作矩阵的相似变换：

（1）对调A的i、j两行得到A1，再对调A1的i、j两列得到A2。

（2）以a（a≠0）与A的第i行相乘得到A1，再用与A1的第i列相乘得到A2。

（3）以a（a≠0）乘以A的第i行加到A的第j行的对应元素上得到A1，再-a（a≠0）用乘以A1的第j列加到A1第i列的对应元素上得到A2。

在实数区间内，全部的n阶对称矩阵均A能够由相似变

换而形成规范形，即存在Q，使，其

间λ1，λ2，...，λn是A的所有特征值。

参考文献

[1] 张宏，赵丽莹，荀海鑫，等.矩阵、向量、集合中数学符号的规范使用[J].编辑学报，2011（5）：418-419.

[2] 周俊超.线性代数中矩阵的秩的运用及教学策略分析[J].课程教育研究，2016（2）：258.

[3] 任英华，游万海.一种新的空间权重矩阵选择方法[J].统计研究，2012（6）：99-105.