一类退化抛物型方程组解的渐近性质

覃思乾,周泽文,凌征球

( 玉林师范学院数学与统计学院,广西 玉林537000)

1.简介

本文研究下列退化的抛物型方程组解的渐近性质，并专注于讨论方程组解的整体存在与爆破的条件:

其中Ω是中具有光滑边界∂Ω的一个有界区域,u0(x),v0(x)是非负的有界函数,

方程(1.1)-(1.2)组成一个反应扩散系统的简单例子,可用于描述化学反应、热传导以及种群动力系统等过程的数学模型.最近,出现了许多非线性抛物方程组解的渐近性质问题的研究成果,如DENG[1],杨婕[2],雷学红[3]，王文海[4],凌征球[5]等,他们通过使用不同的方法与手段,讨论各种退化抛物型方程组解的性质。特别,周泽文[6]研究了p1=q1=1,p2=q2=1时方程组(1.1)-(1.2)的情况,借助于正则化技术与上下解方法,给出了方程组解的局部存在性,整体存在与爆破条件.受以上文献思想启发,本文在更一般的情况下讨论方程组(1.1)-(1.2)的解的渐近性质,主要目的是要扩展文[6]的结果,而且给出有别于文[6]的方法得到了方程组解的整体存在与爆破的条件.

首先,当初值u0(x),v0(x)非负且具有紧支集和满足适当相容性条件的光滑函数时,使用文[1]的方法,我们可以建立最大值原理与比较原理,而且通过正则化手段,还可以得到下列解的局部存在性定理:

定理1假设则存在使得对于任意的T

这里我们省略上述的细节而专注于讨论解的性质.对于定理1的T∗,如果T∗<+∞,我们称方程组的解(u(x,t),v(x,t))在有限时刻爆破,否则称解是整体存在的.

2.解的整体存在定理及证明

定理2如果下列的条件之一成立:

(i)m>pp1,n>qq2,

(ii)m>pp1,n>qq2,以及区域(|Ω|)充分小;

(iii)m > pp1,n > qq2,或m ≤pp1或n ≤qq2,以及初值数据u0(x),v0(x)充分小.

那么,问题(1.1)-(1.4)的每个非负解都具有整体性.

证根据比较原理,对于任意的T >0,我们只需要构造有界的、正的上解即可.假设φ(x)表示下列线性椭圆问题的唯一正解:

其中k1,k2>0是待定常数.显然,对于任意的T >0,都是有界函数.另外,简单的计算得到

类似地,

记

(i)如果m>pp1,n>qq2以及那么一定存在足够大的常数k1≥∥u0∥∞,k2≥∥v0∥∞使得

由此得到

(ii) 如果m > pp1,n > qq2并且不失一般性,我们假设Ω ⊂⊂B,这里B是一个充分大的球,并且设ψB(x)是下列椭圆问题的唯一解

那么C1< C2,或者这样我们就可以选择充分大的正数k1,k2满足(2.4)和

(iii) 如果m > pp1,n > qq2和这样我们首先选择常数k2∈(0,1)充分小使得

然后再选取k1>0满足(2.4)式。这样,当初值u0(x),v0(x)充分小满足(2.6)时,定义的函数(¯u,¯v)就是问题(1.1)-(1.4)的一个上解.

上面的分析再结合比较原理,我们就完成了定理2的证明.

3.解的爆破定理及证明

定理3如果下列条件之一成立:

那么,问题(1.1)-(1.4)的每个非负解都在有限时刻爆破.

证类似于定理2的证明,根据比较原理,我们通过寻找一个爆破的下解来完成定理的证明.

(i) 假设λ1>0表示下列特征值问题的第一特征值

而ϕ1(x)表示相应的特征函数.显然ϕ1(x)可以单位化使得x ∈Ω,ϕ1(x)>0和1.定义下面的函数

其中l1,l2>0是待定系数.经过简单的代数运算,我们得到

同理,

这里

(i) 如果m>pp1,n>qq2并且则存在充分大的使得

也就是

因此,当T >0充分小时,我们可以得到

这时,只要初值充分大满足

而且,对于x ∈∂Ω,t ∈(0,T),(x,t)=0≤0,(x,t)=0≤0.因此从比较原理知道,就是问题(1.1)-(1.4)的一个爆破的下解.

如果m ≤pp1,那么当n ≤qq2时,只要选取l1,l2满足时,(3.2)式成立,即说明当T充分小时,(3.3)-(3.4)成立.从而得知函数就是问题(1.1)-(1.4)的一个爆破的下解.

如果m ≤pp1而n>qq2时,只要选取l1,l2满足

那么(3.2)式成立,从而(3.3)-(3.4)成立,因此函数就是问题(1.1)-(1.4)的一个爆破的下解.

(ii) 如果m>pp1,n>qq2和选取常数l1,l2满足

不失一般性,我们假设0∈Ω,并且设BR(0)是满足BR(0)⊂⊂Ω的一个球.下面,我们证明问题的解将在球域BR爆破,从而得知解在更大的区域Ω也爆破.令λBR>0和ϕR(r)分别表示下列特征值问题的第一特征值与相应的特征函数:

并且单位化使得ϕR(r)>0和根据特征值与特征函数的性质得到λBR=R−2λB1和ϕR(r)=ϕ1(r/R)=ϕ1(τ),这里τ=r/R,λB1和ϕ1(τ)分别表示在单位球B1(0)的特征值问题的第一特征值与特征函数,而且

定义下面的函数

这样经过简单的计算,可以得出

其中

这里的K1,K2是与半径R无关的常数.从我们可以假设R,即球BR(0)充分大满足

也就是c1−ml1λBR>0,c2−nl2λBR>0.因此,只要取T充分小,就可以使得(3.6)(3.7)变成

另一方面,如果初值u0(x),v0(x)充分大也满足