正、余弦定理在高考中的应用

张雁

摘 要 《解三角形》是中学数学教学中的重要组成部分，是高考的必考内容，考题一般属于中档难度类型。正、余弦定理在解三角形问题中，沟通了三角函数与三角形有关性质，反映了事物之间的内在联系及一定条件下的相互转化的关系。

关键词 正、余弦定理;应用

中图分类号：B027 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2019）02-0178-01

正余弦定理是反映三角形中边与角之间关系的两个重要定理，其主要作用是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或边的关系，对它们进行灵活应用。在解题的使用过程中会感到一种新奇与愉悦，同时也给众多题目找到了“同一根源”。从知识的网络结构上看，正、余弦定理是三角公式及变换的延续和应用，也是对三角形面积公式等运用的一种拓展。

一、解三角形，即利用已知边、角，求其余边长或角问题

正、余弦定理最常见的应用就是这一种，综合题中一般会需要使用到三角恒等变型公式對已知条件进行化简（化简过程中等式两边有公因式时，要懂得移项提公因式）。

例1：已知△ABC（图1）中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c。若a=c=+，且∠A=75°，则b=（ ）

A.2     B.4+2     C.4-2     D.-

分析：解三角形中，正弦定理的两类最常见的应用：①已知两边及其中一边所对的角，求其余边与角;②已知两角和一边，求其余边与角;该题算是最基础的应用。

。

例2：△ABC中，已知：AB=2，BC=1，CA=，分别在边AB、BC、CA上取点D、E、F，使△DEF是等边三角形（如图2）。设∠FEC=，问为何值时，△DEF的边长最短？并求出最短边的长。

分析：本题旨在建立边长关于角的目标函数，求最短边的长。在三角形中，已知两角一边求其它边，自然应联想到正弦定理。

解：设△DEF的边长为，显然∠=90°，∠=60°，故EC=。因为∠DEC=∠DEF+=∠EDB+∠B，所以∠EDB=。在△BDE中，由正弦定理得，所以，因为，所以，所以当，即时，即时，。

二、判定三角形的形状

在正、余弦定理中判断三角形形状是本知识应用的重点和难点，主要有以下两种应用：（1）利用正、余弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状;（2）利用正、余弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A+B+C=π这个结论。

例3：在△ABC中，若，试判断△ABC的形状。

分析：判断三角形的形状的基本思想是利用正、余弦定理进行边角的统一，即将条件化为只含角的三角函数关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式;或将条件化为只含有边的关系式，然后利用常见的化简变形得出结论。本题中的已知条件中涉及到了几乎所有边角，为了研究方便，我们应当利用边化角、角化边方法尽量减少多余的角、边。即，将已知条件化为只含有边或者只含有角的关系式，即，配合三角恒等变型公式或三角形内角和定理等将结果化为边（或角）的关系得出，最后得出三角形形状的结果即△ABC为等腰三角形或直角三角形。

三、求三角形的面积问题

解三形问题是高考大题常考的重点内容，通常放在第17题，占12分。两小题中第（1）小题通常是求边、角问题，第（2）小题是和三角形面积相关的问题。

例4：在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知cos2A-3cos（B+C）=1。

（1）求角A的大小;（2）若△ABC的面积S=5，b=5，求sinBsinC的值。

分析：三角形的面积求法最常用的是利用公式去求。计算时注意整体运算及正、余弦定理的应用。本题因考虑化简，将已知条件中涉及三个角转化为两角，得，轻松得出或，因为，所以。（2）由，得知，故。得。

四、结束语

正、余弦定理应用是高考必考的考点，其变型式及三角恒等变型式的使用是学生学习的一大难点。在这里提及的正余弦定理的几大应用可以让学生多了解该知识主要考查方向及考查重点。一方面考查正、余弦定理在求三解形有关量中的综合应用，另一方面考查利用正、余弦定理解决实际测量和几何计算有关的实际问题的能力，有时会和向量结合考查三角函数等变形等，一般属于中档题的它大约要用5-10分钟的时间解决。这需要学生多练习、多积累、多归纳，以熟练掌握该知识的应用。