一道课本习题的研究与推广

胡永强 赵小花

[摘  要] 文章通过对一道课本习题的深入研究与拓展，探究出多边形的一个内角、这个内角相对的若干个内角与已知内角相邻的两个内、外角平分线的夹角之间的关系. 整个探究过程自然流畅、不断深入、循序渐进，对培养教师与学生的探究意识、提升探究能力有一定的借鉴意义.

[关键词] 课本习题;解题;多边形;角平分线

著名数学教育家波利亚说：“掌握数学就意味着善于解题”，对数学问题的深入探究一直都是一线数学教师孜孜以求的工作，也是教师自身发展的推动力. 而对基础问题适当的变式、挖掘和推广也有助于巩固学生的四基，激发学生学习数学的兴趣，发展学生的逻辑思维能力，提升学生的创新能力，更能培养学生面对新鲜事物时探究问题本质的思维习惯.

笔者在教学过程中，经常对一些有代表性的数学问题进行变式与推广. 苏科版数学教材七年级下册第42页有一道习题，笔者对其进行研究与推广. 授课对象是普通中学的实验班，学生基础较好，有良好的探究能力和合作意识.

此外，如果将第（1）和第（2）题中的图形结合起来，如图1所示，因为BO，BO′分别平分∠ABC与∠DBC，所以∠OBO′=∠OBC +∠CBO′=∠ABC+∠CBD=（∠ABC+∠CBD）=×180°=90°，同理可得∠OCO′=90°，所以在四边形OBO′C中，∠BOC+∠BO′C=360°-180° =180°.

该题是在已知三角形一个内角度数的情况下，求出了另外两个内角平分线的夹角以及与这两内角相邻的两外角平分线的夹角度数，并且发现这两个夹角存在互补的关系. 笔者在此处给学生留下足够的思考与讨论的时间，让他们提出关于此题的一些思考. 在小组合作交流之后有学生提出如下问题：若将三角形推广到四边形、五边形或其他的多边形，此时与这个内角相邻的两内角平分线的夹角与对应的两外角平分线的夹角又是多少度呢？这些多边形中相应的角又有怎样的规律呢？针对这些问题笔者引导学生做出以下几点推广研究.

4. 结论

根据上面的3个推广，我们可以得到更具一般性的结论：在任意的n边形AB Q…QC中，∠A=α，∠BQQ=β，…，∠QQC=β，作与∠A相邻的两内角的平分线及对应的两外角的平分线：

建构主义学习理论认为：学习不是教师把知识简单地传递给学生，而是由学生自主地、有意义地建构知识的过程. 基于这一觀点，在研究完成之后，教师要给学生留足反思、整理的时间，让他们将探究的结论及时建构到自己原有的知识体系中.

笔者认为对一道题目进行推广与拓展的原则是能够借助这道题目的背景，围绕一个中心主题，将研究的问题不断加深，挖掘出本题的内涵与外延，形成一个完整的问题链，引导学生在解决这些问题的时候找到与原题的共性与不同之处，这样学生就不再只是单纯地解决一个问题，而是对一系列的问题都进行了研究. 最后总结归纳方法，揭示规律，进行升华，让学生体会到“以不变应万变”，认识到知识的内在联系，形成知识体系. 由于本题所做的推广需要学生有着良好的分类素养及扎实的计算功底，所以适用于学生整体水平较高的班级或者是数学兴趣班授课时使用.

通过本题及推广的教学，学生体会到了数学带给自己的快乐，培养了他们探究数学知识的兴趣，同时对数学思想方法进行了巧妙的渗透. 同学们在小组合作的时候相互帮助，对建设学习共同体也是一次有益的尝试和训练.

众所周知，中考及平时测试中有很多“似曾相识题”，其实这些问题都来源于数学教材的例题、习题与思考题等，因此对教材中出现的问题进行深入研究与推广是十分有必要的. 在平时的教学中，教师不仅自身要钻研教材，深挖习题，还要适当地引导学生进行变式与推广.对这些问题的研究与推广有助于拓宽学生的视野、提升学生的思维水平、帮助学生从题海中解放出来，减轻学生的负担、培养学生更高水平的认知能力.