你若探究 花自盛开——一道河南模考解析几何题的探究

江苏省南通市天星湖中学

钱 鹏 (邮编：226010)

解析几何问题往往延续初中平面几何中点、线段、直线以及平面几何图形等的关系，结合平面几何的方法或坐标法来处理一些相应的问题，特别是一些相应的最值问题等，越来越成为命题者青睐的考点之一．特别，此类问题往往是创新的重要场所之一，通过巧妙设置来综合应用．

1 问题呈现

【问题】(河南省中原名校2019届高三第一次教学指导卷·15)已知线段|AB|=24，直线l∥AB，且直线l到AB的距离为5，P为直线l上任意一点，则|AP|×|BP|的最小值为．

本题既有初中平面几何的问题背景，又有高中解析几何的问题定位，巧妙把初中平面几何与高中解析几何加以交汇，延续初中与高中数学知识的连续性与综合性，具有一定的创新与综合功能.

2 多维探究

探究1不同的问题切入视角会有不同的思考，对应不同的解法．那么，本题有哪些不同的解法呢？

图1

解法1(坐标法)通过建立平面直角坐标系，引入坐标，利用点的坐标以及两点间的距离公式来建立相应的两线段的乘积|AP|×|BP|的坐标关系式，通过转化，利用配方，结合二次函数的图象与性质来确定相应的最值问题．

如图，以线段AB所在的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则A(-12，0)，B(12，0)，设P(x，5)(x∈R)，

则有|AP|×|BP|

图2

解法2(三角法)通过作图，利用三角函数的定义，结合|AB|=|AC|+|BC|引入对应的三角关系式，并通过三角恒等变换加以转化，再利用两线段的乘积|AP|×|BP|的三角关系式的变换，利用三角函数的图象与性质来确定相应的最值问题．

如图2，过点P作PC⊥AB交AB于点C，可知|PC|=5，

图3

解法3(等面积法)通过三角形的面积公式，利用等面积法思维的转化来建立相应的关系式，进而把两线段的乘积|AP|×|BP|转化为相应的三角关系式问题，利用三角函数的图象与性质来确定相应的最值问题．

根据三角形的面积公式，可得

探究2将题中的有关两线段的乘积|AP|×|BP|转化为两线段的和|AP|+|BP|或其他相关形式，回归初中平面几何知识，会得到怎样的相关问题？

问题1已知线段|AB|=24，直线l∥AB，且直线l到AB的距离为5，P为直线l上任意一点，则|AP|+|BP|的最小值为．

解析如图，作点B关于直线l的对称点C，则知|BP|=|CP|，而直线l∥AB，直线l⊥BC，

故填26．

问题2已经线段|AB|=24，直线l∥AB，且直线l到AB的距离为5，P为直线l上任意一点，则△PAB的周长的最小值为．

探究3将题中的具体的线段长度和两平行线间的距离抽象为一般情形，那么会有怎样的结论呢？

解析如图，作点B关于直线l的对称点C，则知|BP|=|CP|，

而直线l∥AB，直线l⊥BC，则有AB⊥BC，

结论2已经线段|AB|=m，直线l∥AB，且直线l到AB的距离为h，P为直线l上任意一点，则|AP|×|BP|的最小值为mh．

解析根据三角形的面积公式可得

通过探究，进行一题多解、一题多变等的拓展与应用，使得学生通过解一道解析几何最值的模拟题，达到解一组数学题、一类数学题的目的，复习总结了数学知识，又提升了数学能力，为学生养成良好的思维方法做了有益的尝试．美国著名数学家哈尔莫斯曾说过：“问题是数学的心脏”．对学生来说，如何确定解题思维，把问题归结到同一个熟悉的“问题”来处理是关键，也就是解题方法与技巧，以不变应万变，熟练解决问题．