一类亚纯函数的Fekete-Szeg不等式

2019-06-21李宗涛付小娟

五邑大学学报（自然科学版） 2019年2期

李宗涛，付小娟

(广州民航职业技术学院数学教学部，广东广州 510403)

S*(β)表示Σ中满足-Re{zf′(z)/f(z)}＞β（0≤β＜1）的全体函数类，C*(β)表示Σ中满足-Re{1+zf′(z)/f′(z)}＞β（0≤β＜1）的全体函数类，S*(β)和C*(β)就是我们说的β级亚纯星象函数类与β级亚纯凸象函数类.

设φ(z)是U={z∈ℂ:|z|＜1}内具有正实部且满足φ(0)=1,φ′(0)＞0的解析函数，它把区域U映照到一个关于实轴对称且关于1星型的像域上，其泰勒展开式具有下述形式：

令Σ*(φ)表示满足下列条件的函数类：Σ*(φ)={f∈Σ：-zf′(z)/f(z)≺φ(z)}，此函数类是由Silverman等[1]引入的.很明显，（0≤β＜1）时，Σ*(φ)=S*(β).

2013年，Aouf[2]研究了亚纯函数类的Fekete-Szeg不等式.Mocanu[3]定义了α-凸函数类，其函数满足它是一个从星象函数向凸函数过渡的函数.后来Miller[4]证明了：当α＜1时，f(z)∈S*(0)；当α≥1时，f(z)∈K(0).仿照亚纯函数类(φ)，我们定义了如下函数类.

定义1设φ(z)是U内具有正实部且满足φ(0)=1,φ′(0)＞0的解析函数，它把区域U映照到一个关于实轴对称且关于1星型的像域上.令，如果f(z)∈Σ，满足φ(z)，则称函数

我们注意到：选择合适的参数λ,φ(z)，可以得到下面的函数类：

为得到结论，需要下面的引理：

引理1[9]设在U内解析，且Rep(z)＞0，则|pn|≤2,(n≥1).

引理2[10]如果是U内具有正实部的解析函数，则对任意的t∈ℂ，有2max{1,|2t-1|}，等号在函数或时成立.

引理3[11]如果是U内具有正实部的解析函数，则对任意的t∈ℝ，有t＜0或t＞1时，等号成立当且仅当或是它的一个旋转；当0＜t＜1时，等号成立当且仅当或是它的一个旋转；当t=0时，等号成立当且仅当或是它的一个旋转；当t=1时，等号成立当且仅当p(z)是t=0的情况下等号成立时的任意一个函数的逆.同时，当0＜t＜1时，不等式可以改进为：

1 主要结果

定理1如果f(z)由式（1）给出，且则和

证明因为所以存在U内的施瓦兹函数u(z)(u(0)=0，|u(z)|＜1)，满足

由式（3）、（4）得

由式（2）、（4）得

比较式（5）、（6）中z和2z的系数，得

由式（7）得

由式（8）、（9），得

由式（9）及引理1，得

定理2如果f(z)由式（1）给出，并且，则对任意的μ∈ℂ，当B1≠0时，有，且对所有的μ等号都是成立的.

证明由式（9）和（10），得

当f(z)取U中满足的函数时，等号成立.

下面讨论μ∈ℝ的情况.

定理3设φ(z)=1+B1z+B2z2+B3z3+…(B1＞0)满足定义1中的条件.如果f(z)由式（1）给出，并且则对任意的μ∈ℝ，有

证明由式（11）及引理3，得

为了证明上面的界是精确的，我们记函数(n=2,3,…)为方程组的一个解.并且记函数和(λ≥0)分别为方程组和的一个解.易知函数.简记由引理3，当μ＜μ1或μ＞μ2时，等号成立当且仅当f是或是它的一个旋转；当μ1＜μ＜μ2时，等号成立当且仅当f是或是它的一个旋转；当μ=μ1时，等号成立当且仅当f是或是它的一个旋转；当μ=μ2时，等号成立当且仅当f是或是它的一个旋转.

若μ1≤μ≤μ2，根据引理3，定理3可以被改进为：

定理4设φ(z)=1+B1z+B2z2+B3z3+…(B1＞0)满足定义1中的条件，μ1和μ2由定理3给出，且则有

注：通过选择适当的参数，我们得到了前面提到的几个函数类的Fekete-Szeg不等式.