Lorentz空间中具有平行Ricci曲率的2-调和类空超曲面研究

杨云飞

(内蒙古师范大学，内蒙古呼和浩特 010022)

1 研究背景

现代微分流形理论的微分几何在近代数学和物理学中具有重要作用，成为近代物理学、数学及力学不可缺少的数学工具.微分流形在现实生活中的运用十分广泛，包括在地震波传播中计算波传播振幅的焦散问题，飞机控制系统的应用，在人造卫星控制系统的应用，也包括物理、气象等方面的运用.根据J Eells的思想，姜国英研究了黎曼流形空间2-调和的等距浸入.近代由于对高维空间的微分几何和曲线、曲面整体性质的研究，使微分几何学与黎曼几何、拓扑学、变分学、李群代数等有了密切关系，互相渗透，成为现代数学的中心问题之一.刘育江[1]推出了在黎曼空间中具有Ricci曲率平行空间中的2-调和超曲面，并给出这类超曲面关于其第二基本形式模长平方S的积分不等式及刚性定理；2000年，欧阳崇珍[2]研究了伪黎曼空间型的2-调和类空子流形，得到了常曲率的伪黎曼流形的类空子流形为2-调和的充要条件.

2 文献综述

定理设Mn是Lorentz中具有平行Ricci曲率的2-调和紧致无边类空超曲面，H为Mn的平均曲率，S为其第二基本形式的模长的平方，0

3 理论知识

本文约定指标范围：1≤A,B,C,…≤n+1,1≤i,j,k,…≤n.

(1)

(2)

KABCD=cεAεB(δACδBD-δADδBC).

(3)

限制在M上，则有：

(4)

(5)

(6)

Rijkl=c(δikδjl-δjlδjk)-(hikhjl-hilhjk)=Kijkl-(hikhjl-hilhjk).

(7)

(8)

由式(6)有：

(9)

则有：

hijk=hikj+Kn+1ijk.

(10)

(11)

(12)

以KABCD,E表示KABCD的共变微分，Kn+1ijkl=Kn+1ijkl+Kn+1in+1khjl+Kn+1ijn+1hkl+Kmijkhml.

4 相关定理及证明

(13)

(14)

由Mn的2-调和超曲面，由文献[2]的定理1可知：

(15)

由于Ricci曲率平行，则：

(16)

(17)

(18)

等式成立当且仅当至少n-1个ui=λi-H，则：

(19)

下面计算第二基本形式模长平方的Laplacian，由式(17)可得：

(20)

由式(10)和(16)可得：

(21)

由于Mn是2-调和类空超曲面，可由Riemann流形间2-调和等距浸入得：

(22)

选取Mn的主方向为标准正交架场，使得：

hij=λiδij.

(23)

(24)

(25)

令f2=S-nH2，

(26)

(27)

所以由式(7)(24)(26)得到：

(28)

通过梯度算子可得：

(29)

(30)

由于Mn是紧致无边可定向的超曲面，两边积分，利用Green散度定理，得积分不等式：

(31)

即定理得证.

由式(2)(31)可以知道等号成立，从而式(20)(28)(29)等号成立.可以设1-δ=b-a=0，从而Nn+1是具有截面曲率为1的常曲率空间Sn+1(1).

综上可以得到：

(32)

另外(28)等号成立，可知λ1,λ2,…,λn中至多有两个不同.

当λ1=λ2=…=λn时，则λ1=λ2=…=λn=λ，故Mn是常曲率Sn+1(1)全脐类空超曲面.

当λ1=λ2=…=λn-1=λ，λn=μ时，其中λ,μ为函数，即Mn是Sn+1(1)中具有两个不同主曲率的全脐类空超曲面的标准乘积.

5 结论