培养学生数学运算素养案例举隅
2019-06-17张海强陈
张海强陈 刚
一、引言
解析几何强调用代数方法解决几何问题,因此,数学运算是解析几何的一项重要内容。在实际教学中,学生的数学运算能力不强是一个不争的事实。其原因可能是多方面的,比如初高中的衔接不畅,教师指导不力,学生重视不足等。由此,如何有效提高学生的运算能力,培养学生的数学运算素养是一个亟待解决的问题。
二、概念界定
数学运算是数学学科六大核心素养之一,《普通高中数学课程标准(2017年版)》(以下简称“2017年版课标”)中指出,数学运算素养是指在明晰运算对象的基础上,依据运算法则解决数学问题的素养。主要包括:理解运算对象,掌握运算法则,探究运算思路,选择运算方法,设计运算程序,求得运算结果;数学运算是解决数学问题的基本手段,数学运算是演绎推理,是计算机解决问题的基础;数学运算主要表现为理解运算对象,掌握运算法则,探究运算思路,求得运算结果。
江苏省2019年版考试说明中关于“运算求解能力”的考查要求是:能够根据法则、公式进行正确运算、变形和数据处理;能够根据问题的条件寻找与设计合理、简捷的运算途径;能够根据要求对数据进行估计和近似计算。
我们看到,数学运算是演绎推理,数学运算的培养必须和演绎推理相融合。关于数学运算素养的培养要结合具体内容做具体分析,不宜用大而化之的“题海战术”。以高中解析几何为例,由于高中解析几何的主体是二次曲线,因此运算对象主要是“二次三项式”,运算法则主要是多项式运算法则和分式运算法则,在运算中尤其要重视对简化和转化策略的运用。
三、案例设计
案例1 如图1设F1,F2分别为椭圆y2=1的左,右焦点,点A,B在椭圆上。若则点A的坐标是_______。
本题是想让学生明晰处理方程组是解决解析几何试题的基本技能,消元则是处理方程组的基本方法。学生在初中阶段较为系统地学习了一元一次方程、二元一次方程组、一元二次方程的解法,而对三元(多元)一次方程组和高次方程的解法涉及较少。因此,在高三复习时,教师要有意识地对方程组的处理作适当的强化,以突出消元法的地位,彰显化归思想。
(1)求该椭圆的标准方程;
本案例设计旨在强化学生“整体消元”的意识。在教学过程中,教师应引导学生根据几何条件和向量条件列出方程组,即
案例3 如图2在平面直角坐标系xOy中,曲线y=x2-6x+1与坐标轴的交点都在圆C上,则圆C的方程为_______。
学生在解决本题时常采用的有如下两种解题思路:
(图2)
思路一是选择圆的标准方程,可设圆 C的标准方程为(x-3)2+(y-b)2=r2(r>0),利用题干求得点A,B,D的坐标,进而得到答案。
思路二是选择圆的一般方程,设圆C的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,同样由点A,B,D的坐标求得答案。
但以上两种思路都还没有达到最简,思路三是利用整体处理的方式,设圆C的一般方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0,令y=0,方程 x2-6x+1=0与方程x2+Dx+F=0均表示点A,B的横坐标,故这两个方程同解,所以D=-6,F=1。同理E=-2,所以圆C的方程为x2+y2-6x-2y+1=0。
教师在教学时要详细呈现上述三种思路,引导学生在运算思路和运算方法的选取方面进行对比分析。教师要向学生讲明:(1)运算方法的选择首先体现在圆的方程的选择上,思路一是选择圆的标准方程,并利用几何条件优先得出圆心的横坐标,有效简化了计算;(2)运算方法的选择还体现在局部和整体的选择上,思路一和思路二均从局部入手,计算出曲线y=x2-6x+1与坐标轴的交点的坐标,而思路三则引导学生从曲线与方程的关系入手,从整体着眼,有效避开了无效计算,减少了步骤,极大地简化了数学运算。有了不同解题思路的对比和详细讲解,才有利于学生数学运算素养的提升。
案例4 如图3,在平面直角坐标系xOy中,已知以M为圆心的圆M:x2+y2-12x-14y+60=0及其上一点A(2,4)。设点 T(t,0)满足:存在圆M上的两点 P 和 Q,使得求实数 t的取值范围。
(图3)
综上,我们对学生数学核心素养的培养应该精于一点,对教学资源进行充分分析。具体到学生的数学运算素养,一方面应该对部分重点内容做教学上的强化处理,另一方面则要精选例题,教会学生简化与转化的运算技巧。