基于高中数学一些“规矩”的生疑与释疑

(灌南县教育局教研室，江苏 灌南 222500)

“不以规矩，不成方圆”，数学中的大部分规矩如一些约定、规定、准则等都有其产生的合理性，有些是数学学科研究的需要，有些是发展的需要，有些是约定俗成.有的学生可能对数学教材中的一些规矩习以为常，而有的学生则可能疑惑顿起，为啥要有这样的规矩，刨根问底，如为什么要提出这一概念、为什么是这样而不是那样对概念下定义、为什么要做出这样的数学约定、为什么要提出这样的数学准则……美国数学家波利亚在青年时代由于不满足照本宣科式的讲述以及突如其来的“像是帽子里跑出来的一只兔子式的证明”，从而开始探索数学中的发明与创造，因此对高中数学教材中一些规矩的疑惑处作寻根究底非常有必要.本文试以苏教版教材为例来说明，仅供参考.

1 规定之疑：基于体系内的相容性

体系相容是指在一个系统中没有矛盾，不存在一个命题P，P和非P都可以在这个系统中证明，也即其中的任意部分的任一命题结构、关系等能够相容于其他部分,任一内容能被其余各方所接受、认同，并能顺应时势变迁.体系的相容性是数学系统内部建立协调关系、形成逻辑的基础.

案例1平行向量的补充规定：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，同时规定零向量与任一向量平行，零向量的相反向量仍是零向量[1].

生疑为啥规定零向量与任何向量都平行？

释疑共线向量定理表明，对于任意一个非零向量可以用与它共线的一个非零向量来线性表示，而规定零向量与任何向量平行，就保证了零向量也可用一个非零向量来线性表示，从而为向量空间的形成扫除障碍，保证了对于向量加法、减法、数乘的相容性，即我们假定与某一直线共线(平行)的所有向量组成集合A,对于集合A而言，加法、减法、数乘的结果仍然在集合A中，保持了运算封闭性，而平面向量基本定理、空间向量基本定理都是建立在这种封闭性基础之上的.否则，若不规定零向量与任何向量平行，而只规定零向量与某一特定向量a平行，那么对于非零向量b，b+(-b)与b不共线，产生矛盾，向量空间不复存在，就导致整个系统不相容.

2 定义之疑：基于实施之便利性

实施的便利性是指在数学教学中，有些数学概念定义的形式过程应基于数学学习与研究的方便性、可行性，要能够更适合于从容完成某种操作，不需要作多大的努力就能达到或达成，体现在研究的简洁性与可操作性、目标达成的可及性及便捷性.

案例2直线和平面的方向向量的定义：为了用向量来研究空间的线面位置关系，首先要用向量来表示直线和平面的方向，那么如何用向量来刻画直线和平面的方向呢？我们把直线l上的向量e(非零向量)以及与其共线的非零向量叫做l的方向向量[2].由于垂直于同一平面的直线是互相平行的，因此我们可以考虑用平面的垂线的方向向量来刻画平面的方向.

生疑为啥不用与直线垂直的向量(相当于直线的法向量)来刻画直线的方向呢？同样地，为啥不用与平面平行的直线的方向向量来刻画平面的方向呢？

释疑对于一条直线，从理论上讲，是可以用与直线垂直的向量(相当于直线的法向量)来刻画直线的方向的.因为垂直于一条直线l的直线有无数条，只取其中一条直线无法确定直线l的方向，但两条相交直线确定一个平面，因此只要取和l垂直的两条相交直线的两个方向向量，即可确定l的方向.同样地，对于一个平面而言，只要取两条与该平面平行且彼此相交的直线即可确定平面的方向.

综上可以看出，虽然可用与直线垂直的向量来刻画直线的方向以及用与平面平行的直线的方向向量来刻画平面的方向，但实施起来不够便利，操作性与简洁性均不足，它们均需要寻求两条直线方能达成目标，因此从实施的便利性出发，的确是教材中给出的定义更具有合理性.

3 规则之疑：基于形成过程中的自然性

形成过程的自然性即天然的、非人为的或不做作、非勉强的，指在数学的发展历程中自然形成的或约定俗成的一些规则，是由其发展的实际生活背景、物理背景等所确定的，经过长期的实践检验同时也是合理和可行的.

生疑为啥向量加法是三角形法则与平行四边形法则？是属于定理吗，需证明吗？向量的三角形法则与平行四边形法则哪个是教学的起点？

释疑物理学家在研究物理现象时，发现物理矢量符合平行四边形法则，如两个不同方向的力作用于同一个质点，力的合成的大小与方向，相当于以这两个力为邻边的平行四边形对角线的大小、方向.由此可见向量加法的法则经历了：力学等物理现象—归纳出物理模型—数学语言定义向量的加法法则的自然发展历程，而在中学数学中研究的向量(属于自由向量)，平移后仍是同一向量，因而就出现向量加法的三角形法则，三角形法则用起来更方便.

因此，数学中向量加法的法则，不是推导出来的，而是根据物理学意义自然约定的，而加法的坐标运算才是根据平行四边形(三角形)法则推导的.在课堂教学中，向量的加法认知起点应是物理中力的合成、位移、速度等所对应的平行四边形法则，而逻辑起点则是教材中的“三角形法则”.

4 推广之疑：基于认知拓展的可能性

拓展是在原有的基础上增加新的内容、新的功能等，即由已知点想到其他而拓展，其中有些拓展仅是数量的变化，而有些是质的变化.数学内容的推广不仅要考虑数学自身的特点，更应遵循学生学习数学的心理规律，即基于认知拓展的可能性来进行教学.数学教学活动必须在学生的认知水平和已有的知识经验之上.

案例4向量的运算：向量学习了加法、减法、乘法但没有学习除法.

生疑等差数列能推广到等和数列、等积数列、等比数列，那么在向量学习中，能否由向量的加法、减法、乘法推广到向量的除法呢？

释疑实数有加、减、乘、除运算，复数有加、减、乘、除运算，并且定义减法是加法的逆运算，除法是乘法的逆运算.类似地，对于向量，它具有加、减法，同样也定义向量的减法是向量加法的逆运算.向量也有乘法，目前中学教材所涉及的乘法有数乘及数量积，学生很自然地会利用逆运算来尝试给向量定义一个除法运算：不妨假定a，b为非零向量，若定义它们的除法，则它的结果必为一个实数或一个向量；若定义a÷b=λ(其中λ是不为0的实数)，则根据除法是乘法的逆运算，则有a=λb，从而a，b是共线向量，而a，b本身是任意的两个向量并不一定共线，也就是说只有当向量a，b共线时，才可以利用数乘来定义向量除法[3].而当a，b不是共线向量时，此时定义两个向量相除的结果应是一个向量，令a÷b=c(向量),则a=b·c(数量积)为一个实数，矛盾.因此从目前的认知可能性来看，任意两个向量运算不存在拓展到除法的可能性，即无法将向量的加法、减法、乘法推广到除法.

正如认知心理学家奥苏贝尔所说：“假如让我把全部教育心理学仅仅归纳为一句话，那么，我将一言以蔽之：影响学习的惟一重要因素，就是学习者已经知道了什么，要探明这一点，并应据此进行教学.”作为教师就需要探明学生的疑惑处在哪里，需要将这些疑惑处的来龙去脉厘清，并且进行合理的解释或适当渗透，才能为课堂教学过程的顺利展开提供蓝图，这样不仅为课堂教学中的师生形成有效互动提供了保证，更为促进课堂教学中的人的主动发展提供了前提和保障[4].当然有的解释并不一定适合在课堂上针对所有学生来讲，可以在课后和学生进行交流与答疑.