《选修3—3》常见错误例析

■上海师范大学附属中学 李树祥(特级教师)

一、错误分析与计算压强

例1如图1所示，内部横截面积为S的圆筒形绝热容器，封有一定质量的理想气体，开口向上放在硬板上。设活塞质量为m1，现有一质量为m2的橡皮泥从距活塞上表面高为h1处的A点由静止开始下落，碰到活塞后，随活塞一起下降的最大距离为h2，若不计活塞与容器壁的摩擦，求容器内气体内能的最大变化量。

图1

错解：橡皮泥在自由下落h1的过程中，机械能守恒；橡皮泥碰撞活塞时，动量守恒；在橡皮泥和活塞一起下降的过程中，因为容器绝热，所以减少的机械能都通过对气体做功转变成系统的内能。由机械能守恒定律得，由动量守恒定律得m2v=（m1+m2）v1，所以容器内气体内能的增量。

正解：橡皮泥在自由下落的过程中，机械能守恒，则；橡皮泥碰撞活塞时，动量守恒，则m2v=（m1+m2）v1；橡皮泥和活塞一起下降的过程中，因为气体体积发生了变化，所以大气压力要对气体做功，大气压力做的功也使内能增加。因此容器内气体增加的内能p0Sh2。

例2如图2所示，一个横截面积为S的圆筒形容器竖直放置，金属圆板的上表面是水平的，下表面是倾斜的，下表面与水平面间的夹角为θ，圆板的质量为M。不计圆板与容器内壁之间的摩擦。已知大气压强为p0，则被圆板封闭在容器中的气体的压强p等于（ ）。

图2

正解：设圆板下表面的面积为S′，取圆板为研究对象，圆板受重力Mg，容器的支持力N，大气压力p0S和封闭气体压力pS′四个力作用，如图3所示。由平衡条件可知，沿竖直方向有pS′cosθ=p0S+Mg，又有，解得。

答案：D

图3

方法与总结

对物体进行受力分析时，必须考虑四周气体对物体的压力。当然，一般物体由于四周都有大气的存在，它们产生的压力相互抵消，使得物体受到的大气压力为零。求压强时，需要进行受力分析，受力分析时，气体压力一定要和接触面垂直。如果物体处于平衡状态，则利用平衡条件列方程求解；如果物体做变速运动，则一般用牛顿第二定律列方程求解。

二、错误分析气体状态变化过程

例3如图4所示，在总长度l=93cm、下端封闭、开口向上、粗细均匀的玻璃管中有长h=25cm的水银柱封闭了长l0=42cm的空气柱，被封闭气体的温度为27℃，已知大气压强p0=75cmHg，则将水银全部排出玻璃管，被封闭气体的温度至少应升高到____℃。

图4

错解：设玻璃管横截面积为S，则p1=p0+h（cmHg）=100cmHg，V1=l0S=42S，T1=（273+27）K=300K。水银被全部排出时有p2=p0=75cmHg，V2=lS=93S。由理想气体的状态方程得，解得T2=498.2K=225.2℃。

正解：在水银排出玻璃管的过程中，设在管内还有长为x的水银，如图5所示。随着x的减小，封闭气体的压强将减小，而气体的体积在增大。压强与体积的乘积随x的减小如何变化将直接影响封闭气体所需的温度，根据理想气体的状态方程得，因为（p0+x）+（l-x）=p0+l为恒量，所以当p0+x=l-x，即时，（p0+x）（l-x）有最大值，此时对应的温度即是将水银全部排出所必须达到的温度。由已知条件得x=，封闭气体的温度231℃。

图5

例4一端封闭一端开口，内径均匀的直玻璃管注入一段60mm的水银柱，当管水平放置达到平衡时，封闭端空气柱A长140mm，开口端空气柱B长140mm，如图6所示。若将管轻轻倒转后再竖直插入水银槽内，达到平衡时，管中封闭端空气柱A长133mm，如图7所示。设大气压强为760mmHg，气体温度保持不变，求槽中水银进入管中的长度H。

图6

错解：以水平放置作为初态，以竖直插入水银槽后作为末态，分别对A，B两部分气体应用玻意耳定律得pA1VA1=pA2VA2，pB1VB1=pB2VB2，解得pA2=，又因为pB2=pA2+h=（800+60）mmHg=860mmHg，所以，LB2=123.72mm。因此槽中水银进入玻璃管中的长度H=（LA1+LB1）-（LA2+LB2）=23.28mm。

图7

正解：把全过程分为两个过程来分析。第一个过程，从水平状态轻轻倒转到竖直状态尚未插入，此时pA2=（760-60）mmHg=700mmHg。对A气体有pA1VA1=pA2VA2，解得，因此L=A2152mm。对B气体有LB2=（140×2-152）mm=128mm，pB2=760mmHg。第二个过程，将玻璃管插入水银槽中，对A气体有pA1VA1=pA3VA3，解得pA3=800mmHg，所以pB3=（800+60）mmHg=860mmHg，对B气体有pB2VB2=pB3VB3，解得VB3=113S，因此LB3=113mm。因此槽中水银进入管中的长度H=（140×2-133-113）mm=34mm。

方法与总结

在研究气体状态变化时，要合理选择状态变化过程的初、末状态。我们既要关注已知的数据，更要对题目所述的物理过程进行全面的分析，以确定出气体发生变化的真实物理过程。真实物理过程的判断，是以已知条件及相应的物理规律为基础的，而不是靠“想当然”捏造出来的。

三、错误分析气体分装及抽、打气问题

例5容积V=20L的钢瓶充满氧气后，压强p=30atm，打开钢瓶阀门，将氧气分装到容积V1=5L的小瓶子中去。如果小瓶子已抽成真空，分装到小瓶子中的氧气压强均为p1=2atm，在分装过程中无漏气现象，且温度保持不变，那么最多可装的小瓶子数是（ ）。

A.4 B.50

C.56 D.60

错解：设可充气的小瓶子数最多为n，由玻意耳定律得pV=p1nV1，解得n=60，选D。

正解：设最多可装的小瓶子数为n，因为钢瓶里的气体不可能全部分装到小瓶子中，所以最终钢瓶里气体的压强与小瓶子里气体的压强相同。由玻意耳定律得pV=p1（V+nV1），解得n=56。

答案：C

例6用容积为ΔV的活塞式抽气机对容积为V0的容器中的气体抽气，设容器中原来气体的压强为p0，抽气过程中气体温度不变。求：抽气机的活塞抽动n次后，容器中剩余气体的压强pn为多大?

错解：n次抽气可以等效为一次抽出nΔV的气体，气体做等温变化，由玻意耳定律得p0V0=p（V0+nΔV），解得。

正解：如图8所示是活塞式抽气机的示意图，当活塞上提抽第一次气时，容器中气体压强为p1，根据玻意耳定律得p1（V0+ΔV）=p0V0，解得。当活塞下压时，阀门a关闭，b打开，抽气机中ΔV体积的气体排出。当活塞第二次上提（即抽第二次气）时，容器中气体压强降为p2，根据玻意耳定律得p2（V0+ΔV）=p1V0，解得p2=。因此抽第n次气后，容器中剩余气体的压强降为pn=。

图8

方法与总结

抽气、充气和气体分装的问题属于气体变质量问题的常见题型。若抽气和充气过程中的温度不变，则一般用玻意耳定律求解。因为玻意耳定律的适用条件是气体质量不变，所以充气时可以设想将充进容器内的气体用一只无形的弹性口袋收集起来，那么当我们取容器和口袋内的全部气体为研究对象时，这些气体状态不管怎样变化，其质量总是不变的；抽气时，每抽一次，容器内的气体质量和压强都会变化，这就需要分析每次的抽气过程，要把抽出的气体和容器中的气体一起作为研究对象，依次列出方程，然后用数学归纳法寻找规律。气体的分装有两种情况：一种是将大容器中的高压气体同时分装到各个小容器中，分装后各个小容器内气体的状态完全相同，这种情况实质上是打气的逆过程，每个小容器内的气体相当于打气筒内每次打进的气体，大容器中剩下的气体相当于打气前容器中的原有气体。另一种是逐个分装，即每个小容器中所装气体的压强依次减小，事实上，逐个分装的方法与从大容器中抽气的过程很相似，其解答过程可参照抽气问题的解答过程。

四、错误理解分子动理论

例7在观察布朗运动时，从微粒在a点开始计时，每间隔30s记下微粒的一个位置得到b、c、d、e、f、g等点，然后用直线依次连接，如图9所示，则下列说法中正确的是（ ）。

A.微粒在75s末时的位置一定在cd连接的中点

B.微粒在75s末时的位置可能在cd连线上，但不可能在cd连线的中点

C.微粒在前30s内的路程一定等于ab连线的长度

D.微粒在前30s内的位移大小一定等于ab连线的长度

错解：分子运动时沿直线从a到b再到c、d、e、f、g各点，选C。

正解：b、c、d、e、f、g分别对应微粒在30s、60s、90s、120s、150s、180s时的位置，因为微粒做的是无规则运动，所以微粒并不一定沿着折线abcdefg运动。

答案：D

图9

例8有关分子的热运动，下列说法中正确的是（ ）。

A.当两个分子的分子势能变大时说明两分子间距变大了

B.用手捏海绵，海绵的体积变小了，说明分子间有间隙

C.当两分子间作用力的合力表现为引力且引力最小时分子势能也最小

D.在做墨水滴入水中的扩散实验中，我们看不到墨水的分子在运动

错解：分子势能变大，说明分子力做负功，当分子间作用力的合力表现为引力时，当分子间距变大时分子引力做负功，故选A；海绵体积变小，说明分子间距变小，也就说明分子间有间隙，故选B；两分子间的引力最小，则相应的分子势能自然最小，故选C。

正解：分子势能增大有两种情况，一是分子间作用力的合力表现为引力时分子间距离变大，二是分子间作用力的合力表现为斥力时分子间距离变小，这两种情况都是分子力做负功导致的分子势能增大，选项A错误。用手捏海绵，海绵的体积变小了，这是因为海绵内有很多空隙，空隙中充满空气，不能说明分子之间有间隙，选项B错误。当两个分子从相距较远处靠近时，首先表现为引力，引力虽然先增大后减小，但因为一直做正功，所以分子势能一直减小，到平衡位置处分子力为零时分子势能最小，选项C错误。在做墨水滴入水中的扩散实验中，看到的是由分子组成的水的运动，墨水分子的运动是肉眼看不到的，选项D正确。

答案：D

方法与总结

分子动理论的基本内容：物体是由大量分子组成的，分子永不停息地做无规则运动，分子间存在着相互作用力。分子直径很小和阿伏伽德罗常数都能使我们认识到物体是由大量分子组成的，扩散现象和布朗运动都可以很好地证明分子做的是无规则的热运动。布朗运动是指悬浮在液体中的固体微粒的无规则运动。关于布朗运动，要注意：①形成条件是微粒足够小；②温度越高，布朗运动越剧烈；③观察到的是固体微粒（不是液体，不是固体分子）的无规则运动，反映的是液体分子运动的无规则性。分子虽然做无规则运动，但是固体和液体却比较稳定地存在着，其原因是分子间存在分子力。分子力的特点：①分子间同时存在引力和斥力；②引力和斥力都随着距离的增大而减小；③斥力比引力变化得更快。

五、错误理解内能及其变化

例9下列说法中正确的是（ ）。

A.温度低的物体内能小

B.温度低的物体分子运动的平均速率小

C.做加速运动的物体，因为速度越来越大，所以物体分子的平均动能也越来越大

D.外界对物体做功时，物体的内能不一定增加

错解：因为温度低，动能小，所以内能就小，选A；由动能公式可知，速度越小，动能就越小，而温度低的物体分子平均动能小，所以速率也小，选B；由加速运动的规律可知，物体的速度大小由初速度、加速度与时间决定，随着时间的推移，速度肯定越来越快，再由动能公式可知，物体分子的平均动能也越来越大，选C。

正解：内能是物体内所有分子的动能和势能的总和，温度低只表示物体分子的平均动能小，而不表示势能一定也小，也就是所有分子的动能和势能的总和不一定也小，选项A错误。因为不同物质的分子质量不同，而动能不仅与速度有关，也与分子质量有关，所以单从一方面考虑问题是不够全面的，选项B错误。分子的平均动能只是分子无规则运动的动能，而物体做加速运动时，物体内所有分子均参与物体的整体、有规则的运动，这时物体整体运动虽然越来越快，但并不能说明分子无规则运动的剧烈情况就要加剧。分子无规则运动的剧烈程度只与物体的温度有关，而与物体的宏观运动情况无关，选项C错误。因为物体内能的变化与做功和热传递两方面有关，所以物体内能是否改变要从这两方面综合考虑。若外界对物体做功转化为物体的内能等于或小于物体放出的热量，则物体的内能不变或减少，即外界对物体做功时，物体的内能不一定增加，选项D正确。

答案：D

例10如图10所示，绝热隔板把绝热容器分成两部分，左侧封闭有一定质量的理想气体，右侧为真空。把容器固定在静止的小车上，把小车放在光滑水平面上，系统处于静止状态。现撤去绝热隔板，至整个系统重新达到稳定状态的过程中（ ）。

A.容器内气体的内能不变

B.容器内气体的内能一直减小

C.容器内气体的内能一直增大

D.容器内气体的内能先减小后增大

错解：撤去隔板后，气体的体积增大，对外做功，又因为容器绝热，所以根据热力学第一定律知容器内气体的内能减小，选B；撤去隔板后，因为右侧为真空，所以气体自由膨胀对外界不做功，外界对气体也不做功，又因为容器绝热，没有热交换，所以容器内气体的内能不变，选A。

正解：撤去隔板后，气体向右自由膨胀，虽然不对右侧真空做功，但会对左侧器壁有力的作用，由动量守恒定律可知，小车会向左运动，由于气体对容器做功导致系统的机械能增大而内能减小。当系统重新达到稳定状态后，由动量守恒定律可知，系统会重新处于静止状态，系统的机械能又将转化为内能，所以容器内气体的内能又会增大。

答案：D

图10

方法与总结

物体的内能是指组成物体的所有分子的热运动动能与分子势能的总和。因为温度越高，分子平均动能越大，所以物体的内能与物体的温度有关；因为分子势能与分子间距离有关，分子间距离又与物体的体积有关，所以物体的内能与物体的体积有关；因为物体的摩尔数不同，物体包含的分子数目就不同，分子热运动的总动能与分子势能的总和也会不同，所以物体的内能与物体的摩尔数有关。对于理想气体来说，因为分子之间没有相互作用力，就不存在分子势能，所以理想气体的内能就是气体所有分子的热运动动能的总和。

改变物体内能就是改变物体的分子动能和分子势能，能够改变物体内能的物理过程有两种，即做功和热传递。外界对物体做多少功，物体的内能就增加多少；物体对外界做多少功，物体的内能就减少多少。物体吸收了多少热量，物体的内能就增加多少；物体放出了多少热量，物体的内能就减小多少。做功和热传递对改变物体的内能是等效的。功和热量都可以用来量度内能的变化，它们的区别是：做功是其他形式的能（如电能、机械能……）和内能之间的转化，热传递是物体之间内能的转移。