创新命题推陈出新——《选修3—3》《选修3—4》创新题赏析

■江苏省江阴高级中学 徐汉屏(特级教师)

《选修3—3》涉及热学知识，《选修3—4》涉及振动与波、光和相对论，两者均为选考内容。这部分知识除气体实验定律、振动与波的图像、光的折射定律外，其余的命题难度均不大。下面介绍2018年各地高考试题与模拟试题中涉及这部分知识的几道创新题，看看它们与常规题之间的联系。

一、《选修3—3》创新题赏析

创新题1：关于分子动理论和热力学定律，下列说法中正确的是____。

A.空气相对湿度越大时，水蒸发越快

B.物体的温度越高，分子平均动能越大

C.第二类永动机不可能制成是因为它违反了热力学第一定律

D.两个分子的间距由无穷远逐渐减小到难以再减小的过程中，分子间作用力先增大后减小到零，再增大

E.若一定质量的理想气体对外膨胀做功50J，内能增加80J，则气体一定从外界吸收130J的热量

解析：蒸发是液体分子从液面跑出来的过程，空气相对湿度越大时，液体分子从液面跑出来会愈加困难，故水蒸发越慢。温度是分子平均动能的标志，故物体的温度越高，分子平均动能越大。第二类永动机不可能制成是因为它违反了热力学第二定律。两个分子在相距无穷远和达到平衡距离时，分子间作用力均为零，故两个分子的间距由无穷远逐渐减小到难以再减小的过程中，分子间作用力先增大后减小到零，再增大。由热力学第一定律可知，若一定质量的理想气体对外膨胀做功50J，内能增加80J，则气体一定从外界吸收130J的热量。答案为BDE。

追根溯源

关于分子动理论，下列说法中正确的是____。

A.在两分子间距离增大的过程中，分子间的作用力一定减小

B.用NA表示阿伏伽德罗常数，M表示铜的摩尔质量，ρ表示铜的密度，那么一个铜原子所占空间的体积可表示为

C.容器中的气体对器壁的压强是由于大量气体分子频繁撞击器壁而产生的

D.布朗运动反映了花粉小颗粒内部分子的无规则运动

提示：当两分子间距离大于平衡距离r0时，分子间的作用力随距离的增大而先增大后减小。铜的摩尔体积，故一个铜原子所占空间的体积。容器中的气体对器壁的压强是由于大量气体分子频繁撞击器壁而产生的。布朗运动是花粉小颗粒整体的无规则运动，它反映了液体分子的无规则运动。答案为BC。

小结：创新题1除与上述常规题一样涉及分子动理论外，还涉及热力学定律。值得一提的是，高考对选考内容基本概念的考查，往往采用“5选3”的填空型模式，以达到利于拓宽考查知识面的目的。

现学现练：下列说法中正确的是____。

A.空中的小雨滴呈球形是水的表面张力作用的结果

B.彩色液晶显示器利用了液晶的光学性质具有各向异性的特点

C.一定质量的100℃的水变成100℃的水蒸气，其分子势能不变

D.干湿泡湿度汁的湿泡显示的温度低于干泡显示的温度，这是湿泡外纱布中的水蒸发吸热的结果

E.第二类永动机不违反能量守恒定律，但违反了热力学第一定律

思路点拨：本题涉及热学的多个知识点。空中的小雨滴呈球形是水的表面张力作用的结果。彩色液晶显示器利用了液晶的光学性质具有各向异性的特点。水的分子间距为平衡距离，变成水蒸气后分子间距增大，故一定质量的100℃的水变成100℃的水蒸气，其分子势能增大。干湿泡湿度汁的湿泡显示的温度低于干泡显示的温度，这是湿泡外纱布中的水蒸发吸热的结果。第二类永动机不违反能量守恒定律，但违反了热力学第二定律。答案为ABD。

创新题2：（2018年高考全国Ⅰ卷）如图1所示，容积为V的汽缸由导热材料制成，面积为S的活塞将汽缸分成容积相等的上下两部分，汽缸上部通过细管与装有某种液体的容器相连，细管上有一阀门K。开始时，阀门K关闭，汽缸内上下两部分气体的压强均为p0。现将阀门K打开，容器内的液体缓慢地流入汽缸，当流入的液体体积为时，将阀门K关闭，活塞平衡时其下方气体的体积减小了。不计活塞的质量和体积，外界温度保持不变，重力加速度大小为g。求流入汽缸内液体的质量。

图1

解析：设活塞再次平衡后，活塞上方气体的体积为V1，压强为p1；活塞下方气体的体积为V2，压强为p2。在活塞下移的过程中，活塞上、下方气体的温度均保持不变，由玻意耳定律得。由几何关系得。设流入汽缸内液体的质量为m，由力的平衡条件得p2S=p1S+mg。联立以上各式解得。

追根溯源

如图2所示，一密闭的截面积为S的圆筒形汽缸，高为H，中间有一薄活塞，用一劲度系数为k的轻弹簧吊着。活塞重为G，与汽缸紧密接触，不导热。汽缸中封闭的Ⅰ、Ⅱ两部分气体是同种气体，且质量、温度、压强都相同时，活塞恰好位于汽缸的正中央。设活塞与汽缸壁间的摩擦可不计，汽缸内初始压强p0=1.0×105Pa，温度为T0。

（1）求弹簧原长。

（2）如果将汽缸倒置，保持汽缸中Ⅱ部分气体的温度不变，使汽缸中Ⅰ部分的气体升温，使得活塞在汽缸内的位置不变，则汽缸中Ⅰ部分气体的温度升高多少?

图2

提示：（1）对活塞进行受力分析，由平衡条件得，解得弹簧原长l0=。

（2）将汽缸倒置后，设汽缸中Ⅰ、Ⅱ两部分气体的压强分别为p1、p2。根据活塞在汽缸内的位置不变可知，对Ⅰ部分气体有；对Ⅱ部分气体，因体积和温度均不变，故压强不变，即p2=p0；由活塞受力平衡得2G+p2S=p1S。联立以上三式解得汽缸中Ⅰ部分气体的温度升高。

小结：创新题2与上述常规题研究的均是汽缸内上下两部分气体的状态变化。不同的是，上述常规题通过弹簧将活塞与汽缸连接，而创新题2通过细管将汽缸上部与装有某种液体的容器相连，别有一番新意。

现学现练：如图3所示，两个导热汽缸水平放置且固定，两汽缸通过一根带阀门K的容积不计的细管连通，两轻质活塞通过刚性轻杆连接，可在汽缸内无摩擦地移动，两活塞的面积分别为SA=1.0m2和SB=0.2m2。开始时阀门K关闭，A内充有一定质量的理想气体，B内为真空，活塞与对应缸底的距离a=b=0.3m，活塞静止。设环境温度不变，外界大气压强p0=1.0×105Pa保持不变。求：

图3

（1）阀门K关闭时，A内气体的压强。

（2）阀门K打开待稳定后，大活塞到对应缸底的距离。

思路点拨：本题研究的是两个水平放置的相连汽缸内气体的状态变化。

（1）设初始时刻A内气体的压强为p1，以两个活塞和杆为整体，由力的平衡条件得p1SA=p0（SA-SB），解得p1=8×104Pa。

（2）打开阀门K待稳定后，设气体压强为p2，两活塞到对应缸底的距离分别为lA、lB，以两个活塞和杆为整体，由力的平衡条件得p2（SA-SB）=p0（SA-SB），对气体有p1SAa=p2（SAlA+SBlB），且lA+lB=a+b，解得lA=0.15m，lB=0.45m。

二、《选修3—4》创新题赏析

创新题3：如图4甲所示为一列简谐横波在t=0.1s时刻的波形图，P是平衡位置在x=1m处的质点，Q是平衡位置在x=4m处的质点。如图4乙所示为质点Q的振动图像。下列说法中正确的是____。

图4

A.在t=0.1s时刻，质点P向y轴正方向运动

B.在t=0.25s时刻，质点Q的加速度方向与y轴正方向相同

C.在0.1s～0.25s时间内，该波沿x轴负方向传播了6m

D.在0.1s～0.25s时间内，质点Q通过的路程为40cm

E.质点Q做简谐运动的表达式为y=0.10sin10πt（m）

解析：由质点Q的振动图像可知，在t=0.1s时刻，质点Q的速度方向与y轴负方向相同，结合波形图可知，它跟着右侧相邻质点振动，故波源在右侧，波是从右向左传播的，质点P跟着其右侧相邻质点振动，即向y轴正方向运动。由质点Q的振动图像可知，在t=0.25s时刻，质点Q位于正向最大位移处，故其加速度方向与y轴正方向相反。由简谐横波的波形图知波长λ=8m，由质点Q的振动图像知周期T=0.2s，解得波速，因此在0.1s～0.25s时间内，该波沿x轴负方向传播的距离Δx=vΔt=6m。由简谐横波的波形图或质点Q的振动图像知振幅A=10cm，在0.1s～0.25s时间内经过了，故质点Q通过的路程s=3A=30cm。质点Q做简谐运动的表达式为0.10sin10πt（m）。答案为ACE。

追根溯源

简谐横波某时刻的波形图如图5所示，由图知（ ）。

图5

A.若质点a向下运动，则波是从左向右传播的

B.若质点b向上运动，则波是从左向右传播的

C.若波从右向左传播，则质点c向下运动

D.若波从右向左传播，则质点d向上运动

提示：若质点a向下运动，说明它跟着其右侧相邻质点振动，故波源在右侧，波是从右向左传播的。若质点b向上运动，说明它跟着其左侧相邻质点振动，故波源在左侧，波是从左向右传播的。若波从右向左传播，则质点c、d均跟着其右侧相邻质点振动，故均向上运动。答案为BD。

小结：创新题3与上述常规题均涉及对波的传播方向及质点振动状态的分析，创新题3除提供了波形图外还提供了质点的振动图像，需要考生找出两者之间的联系，并判别质点做简谐运动的表达式，难度有所增加。

现学现练：甲、乙两列简谐横波的传播速率相同，分别沿x轴负方向和正方向传播，t0时刻两列波的前端刚好分别传播到A点和B点，如图6所示，已知甲波的频率为5Hz。

（1）求t0时刻之前，平衡位置在x轴上C处的质点已经振动的时间。

（2）以t0时刻为记时零点，求在之后的0.9s时间内，平衡位置在x=0处的质点位移为+6cm的时刻。

思路点拨：本题利用波形图研究两列相向传播的简谐横波的叠加。

解法一：（1）根据波速v甲=λ甲f甲=20m/s，v甲=v乙，质点C已振动的时间tC=，解得tC=0.1s。

（2）若要平衡位置在x=0处的质点位移为+6cm，则需两列波的波峰同时到达x=0处。甲波的波峰到达x=0处的时刻为t甲=，乙波的波峰到达x=0处的时刻为3、…），t甲=t乙，λ甲=4m，λ乙=8m，解得m=2n+1。当n=0时，m=1，t=0.2s；当n=1时，m=3，t=0.6s；当n=2时，m=5，t=1s。因此满足题意的时刻为0.2s和0.6s。

（2）若要平衡位置在x=0处的质点位移为+6cm，则需两列波的波峰同时到达x=0处。甲波的波峰到达x=0处的时刻为t甲=mT甲（m=0、1、2、3、…），乙波的波峰到达x=0处的时刻为2、3、…），t甲=t乙，解得m=2n+1。当n=0时，m=1，t=0.2s；当n=1时，m=3，t=0.6s；当n=2时，m=5，t=1s。因此满足题意的时刻为0.2s和0.6s。

创新题4：如图7所示，一垂钓者在平静的湖面上钓鱼，浮标Q离岸边P点的距离为2m，鱼饵在M点的正下方，Q、M间的距离为2m，当垂钓者的眼睛位于P点正上方1.5m处时，浮标恰好挡住垂钓者看到鱼饵的视线。已知P、Q、M在同一水平线上，水的折射率。

图7

（1）求鱼饵离水面的深度。

（2）若鱼饵缓慢竖直上浮，当垂钓者恰好从水面PQ上方无论如何也看不到鱼饵时，求鱼饵离水面的深度。

解析：（1）作光路图如图8所示，由几何关系知，由折射定律得，解得。

图8

（2）设鱼饵离水面的深度为h1时，在Q点发生全反射，即在水面PQ上方无论如何也看不到鱼饵，由几何关系得，解得。

追根溯源

一个大游泳池，池底是平面，池中水深1.2m，有一直杆竖直立于池底，直杆浸入水中部分BC恰为杆长AC的。太阳光与水平方向成37°角射在水面上，测得杆在池底的影长是2.5m，求水的折射率。（sin37°=0.6，cos37°=0.8）

提示：作光路图如图9所示，则=1.6m。因为x+x′=2.5m，所以x′=0.9m。又因为，所以。

图9

小结：创新题4与上述常规题均涉及水对光线的折射，创新题4还涉及光的全反射，并以垂钓者钓鱼为命题素材，富有生活气息，令人耳目一新。

现学现练：（2018年高考全国Ⅲ卷）如图10所示，某同学在一张水平放置的白纸上画了一个小标记“·”（图中O点），然后用横截面为等边三角形ABC的三棱镜压在这个标记上，小标记位于AC边上。D位于AB边上，过D点作AC边的垂线交AC于F。该同学在D点正上方向下顺着直线DF的方向观察，恰好可以看到小标记的像。过O点作AB边的垂线交直线DF于E，DE=2cm，EF=1cm。求三棱镜的折射率。（不考虑光线在三棱镜中的反射）

图10

思路点拨：本题同样涉及光的折射现象。过D点作AB边的法线NN′，连接OD，则∠ODN=α为从O点出发的光线在D点的入射角，设该光线在D点的折射角为β，如图11所示。根据折射定律得，式中n为三棱镜的折射率。由几何关系知β=60°，∠EOF=30°，在△OEF中有EF=OEsin∠EOF，解得OE=2cm。根据几何关系可知，△OED为等腰三角形，则α=30°，解得。

图11