自主招生真题赏析（三）——考查热学部分

■浙江省苍南中学 孙丁共

近几年自主招生试题中对热学部分的考查涉及的主干知识点有：分子动理论、理想气体的状态方程、内能和热力学第一定律、热力学第二定律、道尔顿分压定律、卡诺循环等。下面根据近几年的自主招生真题特点，选取考查频率较高的六个方面来赏析，希望对准备参加自主招生考试的同学有所帮助。

一、以理想气体为研究对象，考查气体分子大小

例1（华约）在压强不太大，温度不太低的情况下，气体分子本身的大小比分子之间的距离小很多，因而在理想气体模型中可以忽略分子的大小。已知液氮的密度ρ=808.3kg/m3，氮气的摩尔质量Mmol=28×10-3kg/mol。假设液氮可以视为是由立方体分子堆积而成的，请你根据所给数据对标准状态下的氮气进行估算，说明上述结论的合理性。

解析：标准状况下气体分子数密度n=，氮气分子的间距，而液氮中单位体积的氮分子数，据此可以估算出液氮分子的直径。d=8d′，可见气体分子之间的距离比分子直径大很多，即气体分子本身的大小比分子之间的距离小很多，题中的结论是合理的。

点评：标准状况下，相邻分子间的平均距离D与分子直径d的比值，因此在处理气体问题时，可以把气体分子视为没有大小的质点；同时可以认为气体分子除相互碰撞或者与器壁碰撞之外，分子力忽略不计，分子在空间内自由移动，也没有分子势能。

二、以水银柱为研究对象，考查理想气体的状态方程

例2（上海交大自招）如图1所示，U形管竖直固定在静止的平板车上，U形管竖直部分和水平部分的长度均为l，管内充有水银，两管内的水银面距离管口均为。若将U形管管口密封，并让U形管与平板车一起做匀加速运动，运动过程中U形管内水银面的高度差为。求：

图1

（1）平板车的加速度。

（2）U形管底部中央位置的压强。（设水银的质量密度为ρ，大气压强恰好为p0=ρgl，空气温度不变）

解析：当平板车加速向右运动时，设左边气体压强为p1，右边气体压强为p2，U形管横截面积为S。

点评：水银柱模型往往会结合物体平衡态或者加速运动状态进行研究，在解决这类问题时往往存在一个假设，即气体的物理状态的变化是十分缓慢的，这就使得气体有足够的时间和外界进行热交换，以保持封闭气体的温度不变。

三、以汽缸为研究对象，考查气体的临界问题

例3（北大保送考试）如图2所示，汽缸上部足够长，质量不计的轻活塞A、B的截面积分别为2S和S，汽缸下部长为2l。A、B活塞间以长为的无弹性轻质细绳相连，A活塞上部有压强为p0的大气。开始时封闭气室M、N中充有同种密度的同种气体，M的体积是N的2倍，N中气体恰好为1mol，且小活塞B位于距底部l处，气体温度为T0。现同时缓慢升高两部分封闭气体的温度至2T0，求平衡后活塞A到底部的距离。

图2

解析：初始时刻VM=2VN，而VN=lS，VM=lS+x·2S，解得。这表明开始时两活塞的距离为，即开始时细绳处于松弛状态，且pM=pN=p0。现同时缓慢升高两部分封闭气体的温度，两部分气体都开始等压膨胀。设小活塞B能够上移的距离为l，细绳仍然未张紧，此时对应的温度T′满足，解得T′=2T。对M中气体0有，解得。这表明在这之前细绳已经张紧。现设想升温至2T0时刻小活塞B上移的距离为x，且x＜l（M，N两部分气体未混合），则对N气体有pN（l+x）S=nNR·2T0=2RT0，对M气体有2T0=4RT0，对A、B两活塞有p0·2S+pM·S=pN·S+pM·2S，对N气体初态进行分析有p0lS=nNRT0=RT0，解得x=1.186l＞l。这表明升温至2T0时，M，N两部分气体已混合。故p0[2lS+（x-2l）·2S]=（nN+nM）R·2T0=6RT0，且p0lS=nNRT0=RT0，解得x=4l。

点评：解决理想气体的变化过程的关键在于抓住三个特殊的状态，即初态、末态和临界态。本题只有通过对临界态的分析确定细绳的拉伸状态和小活塞B所处的位置，才能得到正确的结果。

四、以汽缸为研究对象，考查热力学第一定律

例4（博雅计划）如图3所示，有一个顶部开口，横截面积为S的绝热圆柱形容器，放在水平地面上。容器内有一质量为m的匀质绝热挡板在下，另一个质量可忽略的绝热活塞在上，活塞与容器顶端相距甚远。挡板下方容积为V0的区域内，盛有摩尔质量为μ1、摩尔数为v1的单原子分子气体；挡板与活塞之间容积为V0的区域内，盛有摩尔质量为μ2、摩尔数为v2的双原子分子气体。挡板和活塞与容器内壁之间无缝隙，且都可以无摩擦地上下滑动。设两种气体均处于平衡状态，而后将挡板非常缓慢、绝热且无漏气地从容器壁朝外抽出，最终形成的混合气体达到热平衡态。设整个过程中双原子分子的振动自由度始终未被激发。将大气压强记为p0，设，将μ1、v1、μ2、v2、p0、V0处理为已知量。

图3

（1）将末态混合气体内的单原子分子气体和双原子分子气体密度分别记为ρ1和ρ2，试求ρ1∶ρ2。

（2）求混合气体的体积V。

解析：（1）挡板上方气体压强p2=p0，挡板下方气体压强，因为，所以ρ1∶ρ2=μ1v1∶μ2v2。

（2）因为双原子分子的振动自由度未被激发，所以不考虑振动，即1mol双原子分子气体的内能为，1mol单原子分子气体的内能为，设末态混合气体的温度为T，由理想气体的状态方程得p0V=（v1+v2）RT，系统内能的改变量，对挡板上方气体有pV=20v2RT2，对挡板下方气体有p1V0=v1RT1，所以。外界对气体做功W=p0（2V0-V），由热力学第一定律W=ΔU，解得。

点评：在解决涉及能量变化的热力学问题时，需要综合应用热力学第一定律和理想气体的状态方程求解相关物理量。

五、借助图像，考查热机的循环过程

例5（卓越）如图4所示，一定质量的理想气体由状态a经过Ⅰ、Ⅱ两过程到达状态c。其中Ⅰ为等温过程、Ⅱ为先经过等压过程至状态b，再经过等容过程至状态c，则该气体（ ）。

图4

A.在过程Ⅰ中吸收的热量大于在过程Ⅱ中吸收的热量

B.在过程Ⅰ中吸收的热量小于在过程Ⅱ中吸收的热量

C.在过程Ⅰ中对外做的功大于在过程Ⅱ中对外做的功

D.在过程Ⅰ中对外做的功小于在过程Ⅱ中对外做的功

解析：在p-V图像中对外做的功对应面积，故在过程Ⅱ中做功较多。内能只与状态有关，与具体过程无关，即两个过程从a状态到c状态内能都不能变，由Q=ΔU+W可知，在过程Ⅱ中一定比在过程Ⅰ中吸热多。

答案：BD

点评：在热机的循环过程中，若循环沿顺时针方向进行，则系统对外所做的功为正；若循环沿逆时针方向进行，则系统对外所做的功为负。如果构成一个循环过程，若循环是沿顺时针方向进行的，则闭合曲线所围的面积就是系统对外界做正功；若循环沿逆时针方向进行，则闭合曲线所围的面积就是外界对系统做正功。

六、借助前沿信息，考查建模能力

例6（清华自招）就黑体辐射而言，辐射最大波长λmax满足λmaxT=b（T为黑体的热力学温度，b是常量），同时黑体单位面积上的辐射功率P=σT4（σ为常量）。已知人体的λmax1=9.6μm，太阳的λmax2=509.6nm。

（1）如图5所示，真空中有四块完全相同且彼此靠近的大金属板A、B、C、D平行放置，表面涂黑（可以看成黑体），最外侧两块板的热力学温度各维持为T1和T4，且T1＞T4。当达到热稳定时，求B板的温度。

图5

（2）火星到太阳的距离为400R（R是太阳的半径，为696300km），认为火星受热的面积为πr2（r为火星的半径，为3395km），把火星看成黑体，估算火星表面的温度。

解析：（1）对一个物体来说，吸收热量和辐射热量是同时进行的。温度为T2的B板左侧单位时间内净获得的辐射热量Q2左=，B板右侧单位时间内净获得的辐射热量，达到热稳定时应有Q2左+Q2右=0，解得。同理，对温度为T3的C板有，解得。

（2）由λmax1T1=λmax2T2=b，以及人的体表温度T1=310K，解得太阳的温度T2=5840K。稳定状态下，火星吸收太阳光的功率，火星辐射的功率P0′=σT′4·4πr2，且P0=P0′，解得火星表面温度T′=210K。

点评：这是一个信息给予题，根据题目提供的信息，正确建立辐射模型并明确热平衡的条件即可顺利求解。

备考建议

通过对上述几个例题的分析，我们可以看出自主招主试题侧重对物理能力的考查，大部分试题在物理思维、应用数学知识处理物理问题的能力等方面都超过了高考要求。因此同学们在备考过程中，要立足高考主干知识，掌握最常见的物理模型，适当拓宽知识面，着重培养分析问题、建模和知识迁移等物理核心素养。