§2.3 幂函数教学设计

李悦

【课 型】新授课

【教材分析】

幂函数作为一类重要的函数模型，是学生在系统地学习了指数函数、对数函数之后研究的又一类基本的初等函数。幂函数模型在生活中是比较常见的，学习时结合生活中的具体实例来引出常见的幂函数。组织学生画出他们的图象，根据图象观察、总结这几个常见幂函数的性质。对于幂函数只需重点掌握这五个函数的图象和性质。学生已经有了学习指数函数和对数函数的学习经历，这为学习幂函数做好了方法上的准备.因此，学习过程中，引入幂函数的概念之后，尝试放手让学生自己进行合作探究学习.

【学习目标】

1. 能理解幂函数的概念、画出常用五个幂函数的图象。

2. 能通过具体实例研究幂函数的图象和性质，并能应用幂函数单调性比较大小..

【教学重难点】

重点：通过五个具体的幂函数认识概念，研究性质，体会图象的变化规律.

难点：画五个幂函数的图象并由图象概括幂函数的一般性质.

【教学方法】

1.采用讲授法、发现法的方式，在教师的引导下，学生通过思考、交流、讨论，理解幂函数的定义和性质，体验自主探索、合作交流的学习方式，充分发挥学生的积极性与主动性.

【教学过程】

教学环节 教学目标 教学步骤 问题设计 师生活动

创设情景导入新课

通过具体实例能理解幂函数的定义一般地，形如 的函数叫做幂函数，其中x为自变量， 为常数。

情景引入

（ppt）

问题1：请将下列问题中的y表示成x的函数.

1. 如果小明购买了价格为1元的种子包装盒x个，那么他支付的钱数y=x

2. 如果正方体种子包装盒的棱长为x，那么包装盒的体积y= x3 ；

3. 如果正方形丁香花地的边长为x，那么正方形地的面积y= x2 ；

4. 如果这块正方形花地的面积为x，那么这块地的边长y= ；

如果小明再买些种子，x小时内骑车行进1千米，那么他骑车的平均速度y=

幻灯片演示问题。学生口答，教师板书答案。

教学环节 教学目标 教學步骤 问题设计 师生活动

合作交流探究新知 结合幂函数的定义，分析其三个特性，从而能举出幂函数的其他例子

探究幂函数特征，板书幂函数定义 问题2：上述函数解析式的结构形式有什么共同特征？（右端都是幂的形式，并且底数是自变量x，幂指数是常数.幂的系数为1）

学生相互讨论，教师引导学生观察、总结出幂函数三个特征

举其他幂函数例子巩固定义 问题3：根据幂函数的定义，大家能总结三个幂函数的特征，那请同学们尝试举几个幂函数的例子 分小组讨论，每组出一学生代表举例

通过描点法能绘制特殊的幂函数图像

探究幂函数图象的变化规律，归纳幂函数的性质. 描点法绘制图像 问题4：请同学们用描点法在同一平面直角坐标系中分别画出 上述函数的图象.

根据手里作出的图象，以小组为单位对照函数图象，讨论以下问题：

Q1.描点法画函数图象的步骤；（列表、描点、连线）

Q2.互相检查函数图象的画法，图象是否一致；

Q3.小组讨论在画图象过程中出现的问题 师生共同回顾描点作图法步骤，学生分小组用描点法在同一平面直角坐标系中分别画出上述函数的图象.

观察图象

问题5：类比之前研究的指数函数对数函数的学习方法，根据图像研究函数性质时，从哪些角度入手？（观察上述幂函数在同一坐标系中的图象，指出它们的定义域、值域、奇偶性、单调性）问题6：指数对数函数图像都有横过定点这一性质，观察上述五个函数图像横过哪个定点？

投影展示小组同图象，学生观察，讨论并回答

总结规律 根据图像，请同学们将上述五个函数图像性质汇总如下表：

学生观察思考，教师引导学生总结填空。

学生进一步体会数形结合的思想，加深对幂函数性质的理解 几何画板动态演示幂函数性质

通过几何画板展示，改变幂指数的值，观察函数图象的变化趋势，不难发现，所有幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；当幂指数 时，幂函数都过原点，在 上是增函数；当幂指数 时，在 上是减函数，在第一象限内，当 从右边趋向于0时，图象在 轴右方无限地逼近 轴， 当趋于 时，图象在 轴上方无限地逼近 轴.

教师展示变化过程，学生感悟思考

例题解析 应用幂函数单调性比较大小. 教师板演 例1.比较下列各题中两数值的大小

（1）1.73，1.83 （2）0.8-1 ，0.9-1

解

（1）∵幂函数y=x3 在R上是单调增函数.又∵1.7<1.8∴1.73<1.83

（2）∵幂函数y= x-1在（0，+∞）上是单调减函数.又∵0.8<0.9∴0.8-1 > 0.9-1

教师板演

学生整理

巩固反馈拓展提升 学生练习 比较下列几组代数式值的大小：

； ；

思维升华：

指数相同的幂，利用单调性比较大小

底数相同的幂，利用单调性比较大小

若不能直接比较，插入中间数来解决

学生完成学练习，教师巡视，及时指导学困学生，学生给出答案，

总结课题回顾反思 本节课我们学习了幂函数的定义，类比之前研究的指数函数对数函数的学习方法通过作出5个具有代表意义的幂函数的图象，归纳总结幂函数的共同性质，这也是我们研究函数的一般思想方法.

一.幂函数的图象与性质

定义域，根式求；一象限，都有图；

正递增，负递减；都过1，正过0；

二.思想与方法

1.数形结合的思想

2.类比思想

3.从特殊到一般研究方法 教师引导，学生回答。