巧构模型?妙解赛题

韦珍

一元二次方程是初中数学的重要内容，在数学竞赛中经常出现.有些竞赛题从表面上看不是一元二次方程的问题，但是通过转化、变换，可以构造一元二次方程，并借助已熟悉的一元二次方程的知识及解题技巧，达到化难为易进而解决问题.下面以四道竞赛题为例，介绍构造一元二次方程的几种方法.

一、以根定义 巧构方程

例1 已知实数 ，且满足 ， ，则 .

分析 乍看这道题，好像要分别求出 和 ，若求 ，计算量非常大。我们只要将这两个方程各自整理成一般式，再观察所得的两个方程的系数，不难发现，其本质上为同一个方程.

解 由已知得： 为方程 的两個实数根，即为 的实数根；

所以 ， ，可得：

所以，原式=

= .

二、二元礼让 巧构方程

例 2 已知 都是整数，且 ， ，求 的值.

分析 以上组合是三元二次方程组，若是直接求 的值，难度较大，不妨通过消元，整理成一个二元二次方程，再将其看成关于 的一元二次方程.

解 由 得 ；

将 代入 ，得： ；

整理得： ；

解得： ；

∵ 都是整数，

∴ 是完全平方数4；

∴ 只能取 ； ； ； ；

∴相对应 4；0；4；0；

故 5或-1或3或-3.

三、用判别式 巧构方程

例3 已知： 是完全平方式.求证： .

分析 题目中的完全平方式出现了四个字母，要直接应用它来证 ，相当难，但若将已知条件转化成“关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根”，此题就非常简单了.

证明 把已知代数式整理成关于 的二次三项式，得

原式= ，①

∵它是完全平方式，

∴关于 的一元二次方程 有两个相等的实数根；

∴△=0.

即 .

整理得：

∴ ，

∴ .

要使等式成立，必须且只需： ，解得 .

四、根与系数 巧构方程

例4 已知实数 满足： ，（1）求 中的最大者的最小值；（2）求 的最小值（2003年全国初中数学竞赛试题）.

分析 从形式上看，容易联想到可以转化为两数和与两数积的形式，这样就可以根据根与系数的关系，构造一元二次方程来求解.

解 （1） 设 是最大者，由 ，可知 ，并可化为 ， 由 可化为 ，因此，实数 可以看作关于 的一元二次方程 的两个根，由 是实数，所以 ，得：

，即 ， ，因c>0，

所以c+2>0，得（c-2）（c-4）≥0，解得：c≤2或c≥4，因为c是最大者，故c的最小值是4..

（2） 因为 ，

所以 .

故： 的最小值是6.