从二元一次方程与一次函数的联系说起

肖亚萱 吴佐纪

若新命题与原认知结构中的有关知识具有一定的联系，但既非上位关系，也非下位关系，则称这种命题与原有命题之间是并列关系，这种命题的学习称为并列学习。这是孙道斌先生在《初中数学课型教学研究》一书中的阐述。下面就以北师大版八年级上册第五章第7节《二元一次方程与一次函数》的学习感受来说一说。

1. 课例概述

环节1：作出一次函数y=x+5的图象

这里我们从画一次函数的图象开始，再次感受函数的三种表达式之间的紧密关系：从关系式、到列表、到图象。再说一说我们是怎么画出函数图象的，其中老师特别追问如何从列表到描点的，是如何将x＼y对应取值写成点的坐标。因为画函数图象时有四步作图法：列表、写点坐标、描点坐标、连线。这里比书上多一个步骤，让我们的思维可以从以前得到连续。我们再次经历这个作图过程，借以学生的体验活动助力本节的中心内容学习：以关系式为中心的取值，又把取值写坐标，又可把坐标化为方程的解x=y=。

环节2：合作探究

（1） 方程x+y=5的解有多少個？写出一些。

（2） 在直角坐标系内分别描出以这些解为坐标的点，它们在一次函数y=5-x的图象上吗？

（3） 在一次函数图象上任取一点，它的坐标适合方程x+y=5吗？

（4） 以方程x+y=5的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数y=5-x的图象相同吗？

我们紧紧围绕这些问题进行探究活动，在小组中展开学习互助。在刚才自己作图的基础上与同学合作共同讨论求解以上问题，然后在老师的带领下完成合作探究。

环节3：合作探究

学生在小组里进行探究、讨论和学习，在相互的讨论中预设学生能够发现以下问题：（1） 一些x与y取值一样；（2） 若把解写成点坐标的形式后，与图象上的点坐标一样。

接着老师与学生一起提炼它们之间的关系。从一次函数的关系式y=-x+5与二元一次方程y+x=5的等式来看，同学们看到什么，学生：把-x移项，那么它们就是一样的方程了。教师说，从列表取值上看，你们发现什么？学生：它们的取值一样。教师追问道：这是为什么？学生：它们都是从关系式y=-2x+1或y+2x=1算出的，教师：你们还有什么发现？学生：方程的解，写成实数对后，是点的坐标，或是把点的坐标写成解的形式，那它就是二元一次方程的解。教师再追问道：还有什么发现？学生：它们是一样的。教师重述道：一样的，你们认为呢？他说的有道理吗？

环节4：归纳总结

一次函数y=-2x+1与二元一次方程y+2x=1是一样的。

是真的一样的吗？教师再次发问，引发思考。教师引导学生再次从列表中找其它对应关系，如对于方程，当x=20时，y=-39，当x=-10时y=-21，那么把它们写成实数对（20，-39）、（-10， -21），这些坐标会在一次函数y=-2x+1的图象上吗？你怎么验证？学生：可以代入函数关系式中。而对于一次函数y=-2x+1图象上的点，是否会是二元一次方程y+2x=1的解呢？学生：会，因为都是从同样的等式算出的。

环节5：合作探究

利用教材P123页的“做一做”，进行达标训练。

环节6：课堂检测（略）

2. 课例分析

函数的概念及其三种表达方式是初中学习函数的基础，它处于总的位置，是处在上位上，而一次函数是它的一个特例。方程是一个含有未知数的等式，是纲，而二元一次方程是方程的一种。把握住总属的辩证关系，有利于我们的学习生成。

第一，把握教材前后的联系，学习时把思维放在最近发展区，放在最能引发联系和冲突的地方，使教材前后呈现出承上启下的特性，教材各章节之间不是断裂的，可以激发我们的另类空间想象。

第二，知识的发散与整体的结合，其中利用坐标是一组有序实数对，而方程的解也是一组实数对，这是联系的，是集中地，是各区块链之间的神经元。运用这个神经元，发散到一次函数图象是坐标点，发散到二元一次方程是方程的解。

第三，以函数的三种表达方式为抓手，再创新地运用列表中的数据，对其中的数据进行有理有力地分析和概括，列表时，我们利用函数关系式进行计算，求方程的解时我们也是利用方程这个等式进行计算。然而，关系式与方程是一样的。这个“一样”，一经发现，那么学习函数与二元一次方程的关系就只剩下融会贯通，只差实践锻炼了。

第四，在教学中加入了数据的收集和整理的处理理念，使各模块的知识进行了融合。

《望岳》中有：会当凌绝顶，一览众山小。利用函数关系式，画出图象，在制作图象的过程中，我们感受到了，取一个x值，就会有一个对应的y值，而取值过程是通过函数关系式来进行计算的，关系式是什么？是二元一次方程吗？这里是这堂课的关键节点。如何把方程与函数联系在一起？函数关系式可以是二元一次方程吗？老师的设计，站在探究的角度，引领学生感受到这种“水到渠成”的学法，那就是列表求值和方程求解，是它们连接的地方，是学生在计算的地方，这是问题所在和解决问题的根本。