生物学视野下的教学论研究

姜正川

生物学视野下的教学论研究提出：知识如树，知识具有树一样的生命性和生长性。知识是人类生命运动的产物，也是人类生命运动的记录。我们可以把知识看作一种生命运动，知识的发生发展具有树一样的生命性和生长性。知识如树，有树根，树杆，枝杆，枝叶，花果。知识树有其自身的生命运动规律，最为典型的如语文知识和数学知识，语文的字词句章，数学知识的整数，小数，分数，有理数，方程，函数等初等数学，一直到线性代数和微积分等高等数学，每一个知识内容，都有知识之根，都具有树一样的生命性和生长性。

我们先以数学教学为例，知识如树，树有根。在中小学数学学习的过程中，学生学习数学的知识之根是什么呢？

（1）学生熟悉的生活经验是学生学习数学的知识之根。

数学研究的是现实世界中的数量关系和空间形式，数学中的有些知识，有时和学生熟悉的生活经验有密切联系。利用数学知识和学生的生活经验之间的相互联系，可以使抽象的数学变得直观易学。

例如，在教分数概念的时候，常举这样的例子：把一个西瓜平均分成八等份，取其中的一份就是八分之一，记作1/8，取其中的三等分就是八分之三，记作3/8。把一张长方形的纸平均分成4等份，取其中的一份就是四分之一，记作1/4，取其中的三等份就是四分之三，记作3/4。

再如，在学习有理数加法法则时，先开展统计竞赛结果的讨论，规定赢的分数为正，输的分数为负，请同学们统计以下比赛结果：（+3）+（-5）=？（-4）+（+6）=？（-5）+（+5）=？（-2）+（-3）=？（+2）+（+6）= ？。几乎百分之百的学生都能统计出正确的结果。在学生实际上已经理解有理数加法法则的情况下，再学习有理数加法法则，学生很容易学好而且充满信心和兴趣。

学生们熟悉的生活经验，是学生学习数学的知识之根。把一个数学知识和学生们熟悉的生活经验结合起来学习和思考，学生很容易理解所学的数学知识。

（2）学生已有的知识经验是学生学习数学的知识之根。

就学习的本质而言，学生的学习，一般总是利用已有的知识学习新的知识。一个新学的数学知识，如果和学生已有的知识经验有密切联系，就会变得容易学习。在新旧知识有密切联系的情况下，学生的直觉、猜想、估计、比较、分析、转化、感悟、发现、好奇、兴趣等思维和情感的内部机制，往往会得到充分启动。

例如，在教负数的概念时，在学生已有的知识经验的基础上提出新的问题：4-1=3，4-2=2，4-3=1，4-4=0，4-5=？实践证明，几乎所有的学生都会写出答案等于-1。再接下来问学生：1-100=？27-53=？实践证明，同样几乎所有的学生都能写出正确的答案。在此基础上，再引出负数的概念：小于0的数用负数表示。进而指出大于0的数为正数，小于0的数为负数，0既不是正数也不是负数，并且顺势提出数轴的概念和形数结合的思想方法，学生很容易学好所学的知识。

一位学者在回忆自己中学时代的学习时指出：自己中学时代觉得数学很容易学习，教自己的数学老师好像从来不讲新的知识，上课总是和大家讨论，我们已经掌握了什么知识，现在有一个新的问题，这个问题如何解决，师生交流讨论解决新问题的过程就是学习新知识的过程，教师经常这样教我们以已有的知识经验来学习和研究新的知识，我们学习数学很容易而且很有兴趣。

学生已有的知识经验是学生学习数学的知识之根。教一个新的数学知识，设计教法时，尽量和学生已有的知识经验结合起来学习和思考，学生们往往会很容易学好新的知识。

（3）动手操作的实践活动是学生学习数学的知识之根。

数学中的有些知识，通过做中学，通过动一动手，会变得比较容易理解和掌握。

小学生刚开始学习数学时，利用10个手指来学习10以内的加法是一个典型的例子。教圆锥的体积等于等高的圆柱的体积的三分之一这个知识时，让学生动手操作一下，分3次将圆锥中的米倒入等底等高的圆柱容器正好倒满，学生通过动一动手，很容易掌握圆锥的体积公式。让学生把一个粉笔头向上抛出去，再看着粉笔头落下来，进而使学生在头脑中形成抛物线的初步认识。凡是学生动手操作而获得的知识，总是直观易懂，总会深刻而经久不忘。

2001年，教育部和国家科学技术协会共同倡导和推动了有重大意义的“做中学”科学教学实验项目，在幼儿园和小学进行基于动手做的探究式学习和教育。做中学的案例来源于生活，在儿童的生活中就地取材。引导儿童主动探究，亲历发现过程。

近年来，我们开展了平面几何做中学的实验，在小学开展平面几何做中学的活动。如两直线的位置关系有平行和相交，相交中的有垂直。什么是角，锐角、直角、钝角、平角。余角和补角。对顶角，对顶角的性质和证明。三线八角中的同位角、内错角、同旁互角。平行线的判定定理和性质定理，一直到几何证明的基础知识。所有的知识和大多数习题，都是学生动手操作，在动手操作中理解和掌握几何初步知识。实践证明，通过平面几何做中學的活动，小学高年级学生可以熟练地掌握几何初步知识和关于平行线的推理证明，这对他们进入初中后学习几何要顺利得多。

动手操作的实践活动是学生学习数学的知识之根。研究和实践表明，通过“做中学”的活动，数学不仅变得容易学习。而且学生在做中学获得的知识，由于在学生自身的亲自经历中获得，常常可以内化为人的终身难忘的科学素养和文化素质。

（4）数学知识的本质是学生学习数学的知识之根。

有些数学知识比较抽象，学生比较难学。在这种情况下，有时候，直接揭示数学知识的本质，学生对数学知识的理解会变得比较容易。

上世纪八十年代跟随钱学森从事思维科学探究，以研究“相似论”著称的张光鉴先生，经常提起这样的例子：SinA是什么？学生比较难学。教师应当直接告诉学生SinA这个数学符号的本质。SinA就是在一个直角三角形中，锐角A所对的直角边和斜边的比。你揭示了这个本质，看似复杂的三角函数，小学生都很容易理解和学习。另一位学者举了物理学中压强的例子。他提出，压强是什么？压强是压力和面积的比，学生很容易理解，也很容易计算压强。再举一个极限的例子，先和学生一起研究0.999……为什么等于1。对于0.999……=1，学生理解起来总会有一些困惑，总感到0.999……怎么会等于1呢？通过揭示本质的方法，向学生提出两个思考途径。第一途径：0.999……无限地接近1。可以看作0.999……和1之间距离为0，所以0.999……=1。第二途径：0.999……=0.333……乘以3=1/3乘以3=1。通过以上二个途径的思考，学生很容易理解0.999……的极限等于1。

数学知识的本质是学生学习数学的知识之根。有时候，揭示数学知识的本质，学生很容易理解所学的数学知识。

（5）数学知识之间的相似规律是学生学习数学的知识之根。

数学的许多知识之间，存在着广泛的相似性特点，有的是基本原理的相似性，有的是解题思想方法之间的相似性。利用数学之间的相似性规律，可以使数学变得容易学习，

上世纪八十年代，我国著名科学家钱学森在全国组织和发起了思维科学研究。张光鉴先生在思维科学研究中提出了相似论，得到了钱学森的肯定。《相似论》一文，被编入钱学森主编的《思维科学》一书。张光鉴先生在相似论中提出：一切事物都是以相似为中介而联系的。一切创造，无论是自然界的创造还是人类的创造，都是基于某种相似而进行的。事物包含的相似功能越多，其作用就越大，应用就越广。

数学的某些知识之间，存在着广泛的相似性。例如，单位相同才能相加减，这是加减法的基本原理。整数加减法强调数位对齐，小数加减法强调小数点对齐，分数加减法强调先通分，分数单位相同后再相加减，整式的加减强调同类项才能合并，分式的加减也是强调先通分，化成同分母分式后再相加减等等，都是基于单位相同才能相加减。整数、小数、分数、整式的加减法法则，看似各不相同，但基本原理都是相似的。小数除法法则和分数除法法则看似根本不同，但它们的推导方法都可以根据被除数和除数扩大相同的倍数商不变的性质而得到。数学的知识之间存在着广泛的相似性，如学好整数的运算，就容易学好小数和分数的运算。学好一元一次方程就容易学好二元一次方程和一元二次方程。学好几何中的三角形就容易学好四边形。所有这些，都是因为数学的知识之间存在着广泛的相似性和内在的密切联系性。在数学的学习过程中，人们经常强调举一反三，触类旁通，万变不离其宗，这里的举一反三的“一”，触类旁通的“类”，万变不离其宗的“宗”都是数学的知识和数学的方法之间存在着广泛的相似性的具体体现。因为知识之间的相似联系是一种事实存在，所以人们在学习数学时才会有比较、转化、归纳、迁移、联想、想象等思维方法。

数学知识之间的相似性规律是学生学习数学的知识之根。它为我们的数学教学提供了两个重要的启示。第一，根据数学之间的相似性规律来设计数学教学内容的编排，可以使数学容易学习，有时可以节省大量时间。第二，在数学的知识之间有相似性联系时，教师揭示这种相似性，学生对数学的理解就会容易很多。

（6）数学基础和数学思想方法是学生学习数学的知识之根。

数学的知识有时比较复杂，数学的习题很多而且有许多变化。如果真正帮助学生打好了基础，如果帮助学生掌握了数学思想方法，学生学习新的知识和思考复杂的数学问题，就会有一个较好的基础和基本的方向和思路，就会以不变应万变，就会容易学好数学和容易解决所面临的数学问题。

学生的学习，总是以已有的知识经验来学习新的知识。在教学过程中，新知识的学习一般总是基于学生已有知识经验而展开的。因此，学生的基础显得极为重要，基础好，新知识的学习必然容易。在该打基础的地方一定要帮助学生打好扎实的基础。乘除法的基础好，学生学习约数和倍数等数的整除性知识就会十分容易。约数和倍数方面的知识基础好，学习通分和约分就会十分容易，进而到初中学习分式时就会很容易。一元一次方程的基础打得好，学习二元一次方程组必然容易。这里所说的基础，除了基础知识和基本技能以外，还有许多极为重要的内容，如良好的学习习惯，科学的学习方法，较高的思维品质和情感品质等等。

数学教学帮助学生打好坚实的基础，包括不断帮助学生掌握数学思想方法。常用的数学思想方法，如类比的方法，化归的方法，归纳的方法，分类讨论的方法，形数结合的方法等等。每一个数学知识点的学习，每一个数学题的解答，都和一定的数学思想方法有关。以初中数学为例，学生进入初中学习数学，一开始学习有理数概念就碰到分类讨论的思想方法，接下来学习绝对值概念时又会碰到分类讨论的思想方法和形数结合的思想方法。教师在教学过程中经常向数学思想方法和哲学理论升华，帮助学生掌握数学知识的本质和结构，帮助学生掌握数学知识的相互联系和规律，学生学习数学知识就会比较容易。

综上所述，学生熟悉的生活经验，学生已有的知识经验，学生的实践活动，数学知识的本质，数学知识之间的相似联系，数学基础和数学思想方法，是学生学习数学的知识之根。在现实的中小学数学教学活动中，当我们教学一个新的知识时，把这个知识和其相应的学生学习数学的知識之根联系起来而设计教学的过程和方法，数学的教学就具有了树一样自然的生命性和生长性，这样的数学教学就会事半功倍。知识如树，学习如树。基于知识如树和学习如树的教学方法，适用于数学教学，也适用于其他学科的教学。