数学教学的边界在哪里？

摘要：理清数学教学边界的价值在于：让教师的教学、学生的学习、教学的评价有明确的标准、可操作的载体、可实施的内容和具体的要求;数学教学边界的确定要遵循数学知识的阶段性与发展性、数学概念的严谨性与合理性、数学方法的程序性与灵活性、数学思维的静态性与动态性、数学活动的过程性与结果性等“五个相结合”原则;数学教学要严格遵守“知识内容”边界，正确理解“数学概念”边界，准确把握“学生认知”边界。

关键词：数学教学 边界 价值 原则 方法

一线教师经常会有一些教学困惑：某个内容讲不讲？某个结论能不能在解题中直接运用？学生这样解答扣不扣分？数学教学的过程与结果的分寸如何把握？解题中回归本质与模型套用的关系如何处理？凡此种种，皆指向一个核心问题：数学教学的边界在哪里？

一、确定数学教学边界的价值

对于数学教学的“边界”问题，一线数学教师、课程与教材专家、教研与命题人员的关注点不尽相同。受现行评价体制的影响，不少一线数学教师关注学生的应试能力、考试的分数。反映到教学中，充满功利色彩的“越界”和“缺位”现象比比皆是。课程与教材专家关注的是如何制定课程、教材与教学的边界;教研与命题人员需要研究这个“边界”，充当连接课程、教材与教师、教学的桥梁角色。一方面，通过课程研究与解读、教材分析与培训、教学诊断与指导、试题命制与评价，影响教师的教学行为和学生的学习行为，力求体现教材意图，落实课程目标;另一方面，发现、收集并反馈教学问题、困惑和教师建议，为课程设计、教材修订提供参考。

因此，有必要确定数学教学的边界，在课程、教材与教学三者间找到契合点。数学教学的边界是教学的“底线”，有了这个边界，教师的教学、学生的学习、教学的评价就会有明确的标准、有可操作的载体、有可实施的内容、有具体的要求，数学教学活动才能在边界内自由地、灵动地、创造性地开展。

二、数学的发展无边界，教学有边界

1.数学的发展没有边界。

数学知识呈螺旋式上升、波浪式前进的趋势。如“1+1=2”，这是幼儿园小朋友也不会怀疑的结论，那么“1+1为什么等于2”，看似了然的问题如何解释呢？学生能说清楚吗？教学时可以先承认其正确性，至于原理不妨先放一放，到了《数论》的学习与研究时再给予理论的解释;随着数学的发展，数学各分支更加细化，但又相互交叉融合。比如三角函数和指数函数是两个不同的分支，但数学分析的出现，又让二者在幂级数上得到了统一;复数、向量、三角函数等知识经常在同一问题的解决上相遇。作为数学教师，应该用高观点理解数学内部知识间的联系、数学与外部的联系，理解数学发展的趋势，对数学知识“从哪里来，会向哪里去、怎么去”了然于心，对教学内容有前瞻性、本质的认识。

2.数学的教学有边界。

国家课程标准提出了课程理念，制定了课程目标，确定了课程内容，给出了课程实施方案，明确了教学评价要求，教材是课程标准的具体化，这些应该成为数学教学的边界。“边界意味着一种自由，边界内的任何研究都是自由的、合规范的。同时，边界也意味着一种制约，边界的规范就是边界的束缚，边界内的自由也就意味着边界外的不自由。”一方面，对课程标准、教材内容、学生认知的“边界”有敬畏之心，一切数学教学活动都必须在这些“边界”内开展，不可越雷池半步;另一方面，要在“边界”内大胆探索与实践，自由地开展数学教学活动。

数学教学边界的确定要遵循“五结合”原则，即数学知识的阶段性与发展性有机结合，数学概念的严谨性与合理性有机结合，数学方法的程序性与灵活性有机结合，数学思维的静态性与动态性有机结合，数学活动的过程性与结果性有机结合。

三、数学教学的边界在哪里？

数学教学的“边界”是多角度、多维度的，本文仅从“知识内容”“数学思维”“学生认知”等3个方面进行阐述。

1.严格遵守“知识内容”边界。

数学知识、数学结论犹如浩瀚的海洋。如果不加限制地延伸，就可能拓展出超出学生认知基础和承受能力的知识内容。因此，数学教学必须严格遵守“知识内容”的边界。

在一次教研活动中有位老师提问： “已知直線l1∶y=k1x+b1与l2∶y=k2x+b2，则l1⊥ l2k1·k2=

-1。这个命题在中考中能否直接用？”

笔者直言：初中阶段肯定不能直接用。

该校校长（笔者的好友、教初中数学）和笔者针锋相对：“我认为可以直接用，即使学生用了大学的知识，只要用得正确，都不能算错，况且我们还鼓励学生自学呢。”校长的振振有词似乎很有道理。我反问：“如果允许初中学生用这个结论，那么教学会出现什么状况呢？”现场顿时沉默了。

笔者知道，校长明知这个结论在初中数学解题中直接用是“越界”行为，只是有意用这样一个极端的例子表明态度而已。类似的问题笔者几乎每天都能碰到。由此笔者又想到了在另一个场合，一位老师与笔者的对话：“物高之比等于影长之比需要证相似吗？”

笔者：“你的问题我很难回答，如果证明一定不错。”

老师：“不证明可以吗？证明有点繁琐，还要重画图。”

笔者：“还是以教材要求为准吧。”

这是苏科版初中数学教材九年级下册《6.7 用相似三角形解决问题》中的结论。教材在介绍了“平行投影”概念后，通过在同一时刻分别测量三根木杆及在阳光下的影长，进而得出结论：“在平行光的照射下，在同一时刻，不同物体的物高与影长成比例”，但这个结论在教材中并没有用黑体字。

老师们的意图很明显：如果一些结论可以直接用，那么在考试中，学生就可以走“捷径”，既节约了时间，也省去好多事。

真的会“省事”吗？我们不妨设想：如果类似结论允许直接用，会对教学产生什么影响？课堂上教师必然会补充大量的结论让学生机械记忆，教师、学生只关注结论是什么，不会思考、探究结论的由来，如果学生失去了经历结论探究过程的体验，那么学生的学习则毫无乐趣可言，学业负担势必加重，数学思维与探究能力势必削弱。

这不禁让笔者思考：数学教学的目的是什么？是记住一大堆结论，然后套用结论解题吗？显然不是！数学教学的目的是促进学生的生命成长和全面发展。具体地说，数学教学应该是“一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程”，“既要使学生掌握现代生活和学习中所需要的数学知识与技能，更要发挥数学在培养人的理性思维和创新能力方面的不可替代的作用”。如果教学一味让学生死记硬背大量数学结论，考试时让学生套用现成结论，那学生数学学习还有什么快乐可言，还谈什么学生思维发展，更不用说理性思维、创新能力和核心素养了。

客观地说，当今的教育最不缺的是理念、思想和模式。新课程理念、教育目标和正确的教学方式教师都心知肚明，现在迫切需要解决的问题是如何让正确的教学价值取向在数学教师心底扎根。除了在命题上强调问题的开放性、探究性、过程性和发展性，通过教学评价引导教学外，一定要旗帜鲜明地确定好数学教学的“知识内容”的边界：教学活动一定要在课程标准要求内、在现行数学教材内容中开展。凡教材中明确的定义、黑体字印刷的公理、定理、法则和公式才可以直接运用，一些所谓的模型、技巧必须回到教材知识内容上来。

2.正确理解“数学概念”边界。

将“数学概念”与“知识内容”“学生认知”并列，从逻辑上看不太合理，但“数学概念”教学“越界”现象比较突出，因此作为特别的内容专门阐述。

教材中的每一个数学概念在相应学段是明确的、规范的，有清晰的外延和内涵。但数学概念又是动态的，会随着数学自身的发展、随着学生认知进步而加深，因此数学概念有时需要结合具体情境加以理解和运用。

【问题呈现】如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6 cm， BC=8 cm。有一动点P从B点出发，沿射线BC方向移动，速度是2 cm/s，在P点出发2 s后，另一个动点Q从A点出发，沿射线AC方向移动，速度是1 cm/s。若设P出发后时间为t s。（1）用含t的代数式分别表示线段AQ、PC的长度，并写出相應的t的取值范围。（问题（2）、（3）略）

图1

有几位教师纠结于该题中的第（1）问“t的取值范围”是“t>0”还是“t≥0”或“t≥2”。这里BP=2t cm（t≥0），AQ=（t-2）cm，他们认为：若t=0，则BP=0，则“不存在线段CP”;若0≤t≤2，则AQ=0，也“不存在线段AQ”。

【问题剖析】这是对“线段的长度”概念脱离实际情境的片面理解。点P、Q的运动是从初始位置出发的连续过程，所以t的取值是从0开始的连续状态，因而BP、AQ的长度也是从0开始的，其中t=0和t=2分别表示点P、Q的初始状态。因此，第（1）问答案应该是：当0≤t≤2时，BP=2t cm，AQ=0;当t>2时，BP=2t cm，AQ=（t-2）cm。即t可以为0，也可以为2。

在研究数学概念时，既要把握好概念理解的边界，掌握其外延与内涵，又不能离开具体的问题情境孤立地理解。教学中要引导学生辩证地、联系地思考问题。如圆的切线可以看成由圆的割线绕一个交点旋转到另一个交点与这个交点重合的特殊位置，即直线与圆的两交点间线段的长变为0，割线的极限位置就是圆的切线。又比如，绝对值表示数轴上一个点到原点的距离，但绝对值是可以为0的。再如：从严格的定义上说，平行四边形与梯形都是“一组对边平行”的四边形，平行四边形是“另一组对边也平行”的四边形，而梯形则是“另一组对边不平行”的四边形，二者之间的概念是不相容的;但从图形变化的角度看，当梯形的另一组对边运动至平行状态时就得到平行四边形。从这个意义上说，平行四边形完全可以看作是特殊的梯形。这就是对数学概念一种动态的、连续性、辩证的理解。

数学教学既要尊重数学概念的规范性、阶段性特点，又要动态地、发展地理解数学概念的边界，不能让数学概念束缚学生的思维。

3.准确把握“学生认知”边界。

上海师范大学王荣生教授认为：“教什么远比怎么教更重要。”数学教什么、起点在哪里、经过哪里、终点在哪里，这是教学设计和实施必须思考的问题。数学教师要及时准确地把握学生的“认知”边界，才能精准施策，开展有效教学，避免出现偏离学生“数学认知”边界的现象。然而，现实的数学课堂中，对“学生认知”理解的“缺位”或“越界”现象屡见不鲜。

【问题呈现】问题1.教者通过几个现实情境，引入了“正数和负数”的概念;

问题2.“-1”的符号“-”怎么读？

有学生读作“负号”，有学生读作“减号”，教师解释：在运算时“-”是运算符号，读作“减号”;像“-1”中的“-”号是性质符号，读作“负号”……

问题3.将数+7，-9，[13]，-4.5，998，0，-[910]填入相应的集合内：

正数集合{       …};负数集合{       …};非负数集合{         …}。

教者继而增加一个填空：“非负整数集合{       …}”，结果有学生在所给定的数中，除了“-9”外的所有数都填入了非负整数集合。

【问题剖析】问题1实际上说明教师没有准确把握学情。那么，学生对“负数”的认知起点是什么呢？以人教版数学教材小学六年级下册《负数》内容为例，教材通过“气温的零上温度和零下温度”“储蓄本上支出与存入”“走路的向西与向东”等现实情境引入了“正数”与“负数”的描述性概念、表示方法，学生知道了相反意义的量，并学会了数的简单分类、大小比较和在直线（数轴）上表示。说明小学阶段对“负数”已经有了一定的认知，因此这节课中对负数引入方式反映了教者对“学生认知”理解的缺位。教学中，应该利用学生已有认知，从数学内部问题出发展开教学活动。如：给出数+7，-9，[13]，-4.5，-20%，+8848，-6000，0，-[910]，让学生说出这些是什么数，并赋予这些数实际意义……这是准确把握学生的认知边界，通过学生熟悉的数学问题激活已有认知，使教学不断深入的应有之举。

问题2的“-1”中“-”号的读法，就学生现有的理解与认知而言，读作“负号”或“减号”都可以预见。但本节课中教师对读作“负号”的解释则显得空洞、无力，什么是“性质符号”、什么是“运算符号”，学生并没有真正理解。教者必须认识到让学生弄清二者区别的重要性，“-”号不仅是为了表示“负数”之用，也为后面参加有理数的“运算”之用。其实，教者只要给一个算式“-3+（+2）-（-5）”让学生读题，学生很快便能正确地读出“负3加正2减负5”，对所谓的“性质符号”与“运算符号”的意义不言自悟，无须教师太多的提醒和解释。

问题3中，教者的意图很明显，“非负整数”是指“不是负数的整数”，即整数范围内的“0和正整数”，这也是许多人的习惯理解。然而，学生为什么得出了“不是负整数的数”——“在所给的数中除负整数以外的所有数”的错误判断呢？细细分析，发生这种现象并不奇怪：由于学生是在填“非负数集合”的练习后填“非负整数集合”，而“非负数”是指“不是负数的数”（这里的数是学生目前认知的数，即有理数），受此影響，学生必然得出“非负整数”是指“不是负数的整数”的结论，这实际上是“非负数”问题的负迁移作用。

那么，“非负整数”到底指什么呢？有必要追根溯源。翻开义务教育数学课程标准、高中数学课程标准和中学数学教材，包括中高考试卷，均未发现“非负整数”这样的名称和概念。2010年出版的《数学大辞典》中这样写道：“整数可以分成正整数、零与负整数。正整数亦称自然数。”现行教材把0看作自然数，《现代汉语词典》对“自然数”的解释是“零和大于零的整数”。因此，教者所说的“非负整数”——“0和正整数”实际上就是自然数。笔者将这个问题放到数学QQ群让老师们讨论。一位老师贴出“百度”的内容：“自然数是指表示个体的数，即由0开始，0，1，2，3，4，……一个接一个，组成一个无穷的集体，即指非负整数。”“自然数集是全体非负整数组成的集合。”并提出了自己的观点：“整数、有理数、实数这些词都是对数的范围做的限定，然后前面加上非负，也是在这个范围中把负的去掉即可，没有必要给出定义。”笔者认为：百度的内容只能供参考，不可作为佐证。经过多边查证，终于在《数学辞海（第一卷）》发现了“非负整数”的解释：“非负整数即‘自然数。”然而，从学生的认知上说，将“非负整数”理解为“不是负整数的数”也没有什么不妥，他们默认的全集是他们所接触过的有理数集，而教者之所以理解为“不是负数的整数”是源于自己默认的全集是整数。教者应该思考：课程标准、教材为什么不明确给出“非负整数”的定义？很明显，“非负整数”概念完全超出了学生的“认知”边界，也超出了课程标准及教材的“内容”边界，可见这是教者“惯性思维”的结果，反映了教学的随意性。

维果茨基认为，学生的发展有两种水平：一种是学生的现有水平，指独立活动时所能达到的解决问题的水平;另一种是学生可能的发展水平，也就是通过教学所获得的潜力。两者之间的差异就是最近发展区。“最近发展区”其实就是学生的“认知”边界。教师全面了解与准确把握学生的“数学认知”边界是教学设计和课堂教学的前提。教师的作用就是在最近发展区内，帮助学生搭建脚手架，让学生通过探究、思考达到可能的数学发展水平。“脚手架”有时就是一个关键的点拨，有时只是一个简单的暗示。

（作者单位：江苏省泰州市教育局教研室）