政府补贴下供应链合作减排的微分博弈

王道平, 王婷婷, 张博卿

(北京科技大学 东凌经济管理学院,北京 100083)

0 引言

近些年来，世界各国政府、学者以及企业关于环境问题产生了一些共识：温室效应是引起全球气候变化的关键因素，且温室效应的主要成因是人类在生产以及生活中造成的碳排放。因此，亟需大力开展节能减排活动，发展以低能耗和低污染为特征的低碳经济模式，从而实现全球经济的可持续发展。为加快节能低碳产业的发展，国家质量监督检验检疫总局、国家发展和改革委员会于2015年9月公布了《节能低碳产品认证管理办法》，规范了节能产品和低碳产品的认证活动。低碳产品认证的实施使得消费者的购买行为发生了改变，更青睐于有低碳认证标识的产品，进一步激励了企业进行减排成本投入，大力开发低碳产品。这意味着，企业的竞争力越来越取决于它们能否应对可持续发展的要求。

低碳背景下，高生产相应带来高碳排放，如何吸引企业进行减排技术投资，进而降低碳排放是学者和企业有待解决的关键问题。由于生产产品的整个过程体现为供应链的形式，为减少产品的碳排放，需要供应链上下游企业密切合作，共同探求降低碳排放的方法和策略。与此同时，政府作为社会主体，可利用补贴政策来引导企业进行生产和制定减排决策。并且在具体实现过程中，需要制定合理的利益分配机制，协调供应链成员企业的运作，进而促进供应链整体低碳化运营。因此，研究政府减排成本补贴下，供应链上下游企业间合作减排问题具有重要的理论和现实意义。

1 文献综述

近些年，研究者从生产运营的角度对企业的减排决策行为进行了深入的研究，Benjaafar等讨论了通过调整运营决策以减少碳排放的方法，且分析了供应链中企业合作对碳排放降低的影响[1]。Battini等将影响环境的因素整合到传统EOQ模型中，构建了“可持续的EOQ模型”，并分析了此模型对采购决策的影响[2]。Hovelaque等考虑库存政策和环境等参数影响需求的情况下，提出一种新的模型，有效地减少了生产运营中的碳排放[3]。Hammami等将碳排放因素引入具有提前期限制的多级生产库存模型中，构建了一种新的确定性优化模型，决策者可借助此模型制定合理的运营决策[4]。付秋芳等通过建立供应商和制造商减排投入的博弈模型，得到了供应商和制造商减排投入行为的演化稳定策略[5]。曹晓刚等考虑在随机市场需求下，研究了集中、分散决策下制造商和两个具有竞争性零售商的定价决策问题，并通过设计收入费用共享契约实现闭环供应链的协调[6]。江世英等以单个制造商和单个零售商组成的绿色供应链为研究对象，建立了四种绿色供应链博弈模型，分析比较了四种模型下的产品绿色度、批发价格以及产品价格等，并进一步通过收益共享契约协调供应链[7]。Elhedhli等将二氧化碳排放量引入到供应链网络设计中进行研究，发现碳排放成本可以改变供应链的最优配置[8]。杨仕辉等通过构建供应商和制造商组成的两级供应链博弈模型，对比分析了分散、集中以及收益共享契约这三种情形下供应链的碳减排量和利润，为供应链上下游企业合作减排提供了理论依据[9]。

此外政府在供应链减排决策活动中也发挥着重要的作用，如张汉江等在低碳背景下，通过建立供应链无减排研发、单独减排研发以及合作减排研发模型，研究了考虑政府征收碳税的供应链最优决策问题[10]。Sheu等借助三阶段博弈模型，研究了政府财政干预对绿色供应链竞争的影响[11]。Ma等研究了政府提供的消费补贴对双渠道闭环供应链的影响，发现了制造商和零售商都是消费补贴的受益者，而消费补贴未必能使电子零售商受益[12]。刘超等研究了政府提供的低碳减排价格补贴对供应链决策的影响，为政府决策的制定提供理论依据[13]。朱庆华等考虑了政府补贴、市场竞争和消费者低碳偏好等因素的情况下，建立了政府和两个生产商之间的三阶段博弈模型，为政府和供应链成员的决策提供理论依据[14]。

以上文献主要从静态视角考虑了低碳供应链的运营合作问题，然而企业经营往往具有跨越多个周期的特点，因此从动态视角研究低碳供应链上下游企业间的合作问题是至关重要的。Mohamad等通过建立具有协调机制的两阶段动态模型，对超出碳排放限制时，供应链管理者为最小化库存和减排成本时最佳合作模式的选择问题进行了研究[15]。任杰等在低碳背景下，通过两阶段动态博弈的方法研究了政府补贴策略对企业决策行为的影响[16]。Giovanni建立了由制造商和零售商组成的闭环供应链动态合作模型，分别研究了批发价契约以及逆向收益共享契约下供应链成员的最优绿色广告投入和定价策略[17]。黄宗盛等构建了零售商回收的闭环供应链微分博弈模型，得到并分析制造商和零售商的最优控制策略[18]。徐春秋等考虑到市场需求受产品减排量和零售商低碳宣传的双重影响下，构建了制造商和零售商的三种微分博弈模型, 为供应链上下游企业制定科学的合作策略以及供应链低碳化的管理实践提供理论依据[19]。游达明等将产品低碳度和商誉同时作为状态变量，借助微分博弈模型，对低碳供应链研发、促销以及定价问题进行了研究[20]。赵道致等基于微分博弈理论，分析了以制造商占主导且供应商跟随的Stackelberg博弈情形以及供应商和制造商合作减排的博弈情形，构建了这两种情形下的低碳供应链微分博弈模型；分别得到了两种情形下供应链成员的最优均衡策略以及各自的最优利润，并对产品碳排放量随时间变化的最优轨迹进行了推导[21,22]。

从文献回顾可以看出，已有很多国内外学者对低碳供应链运营问题进行了深入的研究，且取得了丰硕的成果，但是多数文献都侧重于研究制造商进行减排研发投入且零售商通过低碳宣传或促销对其进行激励，鲜有文献借助微分博弈理论研究供应商和制造商均参与减排的情形。此外，考虑到随着时间的推移，产品的减排量作为影响产品需求的主要因素之一，具有自然衰减的特征，因此会影响企业减排投资的积极性；此时，可采取企业内部激励及政府外部激励相结合的方法，提高供应链成员的减排积极性，调节企业的收益。基于上述分析，本文在现有成果的基础上，借助微分博弈模型，研究政府补贴下，由供应商和制造商组成的两级供应链长期合作减排问题。本文的贡献之处主要体现在两个方面：一方面，考虑供应商和制造商均参与减排成本投资的情况下，构建集中式和分散式Nash微分博弈模型，并设计了成本分担契约对供应链进行协调；不仅可以实现供应链系统利润的最大化，而且提高了产品减排量，改善了环境，提升了企业的竞争力。另一方面，研究了政府补贴对产品减排量、需求量以及供应链成员企业利润的影响，即政府补贴对企业决策行为的影响；尤其是引入成本分担契约后的决策情形下，政府补贴能够提高供应链各成员企业长期合作减排的积极性。

2 模型建立与求解

2.1 模型的假设与符号说明

低碳背景下，随着消费者低碳意识的增强，低碳产品的需求量逐渐增大，这将激发制造商推出低碳产品积极性。制造低碳产品需要制造商和供应商的共同努力，即需要制造商M进行减排技术投资，且需要供应商S提供低碳原材料。为鼓励供应链成员进行更多的减排投资，政府也给予供应商和制造商一定的减排成本补贴。供应商和制造商进行Nash博弈，双方同时进行决策，而将政府补贴率作为外生变量，进而研究政府补贴对企业决策行为的影响。文中主要符号说明见表1：

表1 模型参数涵义

文中给出如下五个假设条件：

假设1考虑到减排努力成本和零售商保鲜努力成本具有相同的凸性特征，借鉴文献[23]对保鲜努力成本的假设，则t时刻供应链成员i的减排成本为：

(1)

其中，ηi为供应链成员i的减排成本系数。

假设2供应商和制造商减排努力水平对产品的减排量产生正向的影响，且假定已有的减排设备随着时间的推移出现不断老化的现象，那么产品减排量存在一个自然衰减率；受文献[24]中动态模型的启发，则产品减排量的微分方程可刻画为：

(2)

其中，x0表示初始时刻产品的减排量。

假设3借鉴文献[25]。关于市场价格和产品质量对需求影响的函数形式，则t时刻产品需求可表示为：

D(x(t),t)=D0+ωx(t)

(3)

其中，D0(D0≥0)表示产品的初始需求。

假设4受文献[26]的启发，本文侧重在研究中考虑供应商和制造商减排成本因素，为简化模型，不考虑二者的库存和缺货成本，不考虑产品需求受市场价格等其他因素的影响，且双方基于完全信息进行决策。

假设5借鉴文献[26]中的假设条件，在无限时间区间内，供应商和制造商在任意时刻均具有相同的贴现因子ρ，其中ρ>0。

综上可得到供应商、制造商以及供应链的长期利润分别为：

(4)

(5)

为书写方便，下文将t省略。

2.2 供应链减排的微分博弈

1)集中式决策

集中式决策(用上角标c表示)以供应链整体利润最优为目标，则集中式决策下供应链的决策目标为：

(7)

定理1集中式决策下的均衡结果为：

1)供应商和制造商的最优均衡策略分别为

(8)

(9)

2)产品减排量的最优轨迹为

xc*=λc-(λc-x0)e-γt

(10)

3)产品需求量为

(11)

4)供应链的总利润最优值为

(12)

2)分散式决策

分散式决策(用上角标d表示)下供应商和制造商均以自身利润最优为目标进行决策，即：

(13)

(14)

定理2分散式决策下的均衡结果为：

1)供应商和制造商的最优均衡策略分别为

(15)

(16)

2)产品减排量的最优轨迹为

xd*=λd-(λd-x0)e-γt

(17)

3)产品需求量为

(18)

4)供应商、制造商以及供应链的利润最优值分别为

(19)

(20)

(21)

3)引入成本分担契约后的决策

本节通过引入成本分担契约实现供应链的协调。引入成本分担契约后的决策情形下，为提高供应商和制造商的减排积极性，除采用政府补贴激励措施外，还采用供应链系统内部成员间相互激励措施，即供应商为制造商分担比例为θ的减排努力成本，制造商为供应商分担比例为μ的减排努力成本，其中0≤θ≤1且0≤μ≤1。此情形下供应商和制造商的决策目标分别为

(22)

(23)

定理3引入成本分担契约后的决策下的均衡结果为：

1)制造商为供应商分担的最优减排努力成本比例、供应商为制造商分担的最优减排努力成本比例以及供应商和制造商的最优努力水平分别为

(24)

(25)

(26)

(27)

2)产品减排量的最优轨迹为

x*=λ-(λ-x0)e-γt

(28)

3)产品需求量为

(29)

4)引入成本分担契约后供应商、制造商以及供应链的利润最优值分别为

(30)

(31)

(32)

引入成本分担契约后，供应链整体利润较分散式决策情形时得到提高，且达到集中式决策时的水平(证明过程见命题2)，但是供应商和制造商各自的利润较分散情形下未必得到提高，所以为使得引入契约后的决策能够顺利实施，应增加一些协调策略。此时可通过引入转移支付参数R将供应商和制造商的利润计算模型修正为

(33)

(34)

与分散式决策相比，供应商和制造商的利润变化量分别为

(35)

(36)

只有满足约束条件ΔPS≥0且ΔPM≥0时供应链才能达到协调。修正后的模型对于供应商和制造商来说都是一种改善，真正实现供应链双赢。转移支付参数R的值取决于供应商和制造商双方的渠道能力和谈判能力。引入成本分担契约决策模型修正前后，供应链的总利润保持不变。

对集中、分散以及引入成本分担契约这三种情形下供应商和制造商的最优减排努力、减排量、需求量以及供应链的最优利润进行比较，由此得到命题1和命题2。

证明比较引入成本分担契约前后，供应商的最优减排努力可得到

比较引入契约前后产品减排量的最优轨迹可知

所以x*>xd*，同理可证xc*=x*和xc*>xd*。进而比较成本分担契约前后产品需求量可知

因此D*>Dd*，同理证得Dc*=D*和Dc*>Dd*。

命题2与没有使用成本分担契约时相比，引入契约后供应商和制造商的利润均得到提高，且供应链总利润和集中式决策时供应链总利润相等，该契约能够有效地协调分散式情形下的供应链。

证明比较引入成本分担契约前后供应链总利润可知

为了更加直观的对比集中、分散以及引入成本分担契约这三种情形下，供应链的最优均衡策略，表2列出了均衡策略的各项参数。

表2 不同决策情形下微分博弈均衡策略的比较

结合命题1、命题2及表2可知，三种决策下的最优反馈均衡策略均是与时间无关的参数，即最优反馈均衡策略不随时间的改变而发生改变，这与实际情况相符。并且从动态的角度验证了引入成本分担契约后的决策情形下，产品减排量和供应链成员企业的利润均得到提高，达到了集中式决策时的水平，实现了供应链长期合作共赢，这为供应链长期合作提供了有效的理论依据。但是，若要使供应商和制造商自愿参与成本分担契约，需要满足一些约束条件，即供应商和制造商双方在成本分担契约下各自分得的利润值要大于分散决策情形下各自的利润值。有关利润的具体分配方案取决于各自的渠道能力和谈判能力，成本分担协议需要双方一致通过并严格执行，以保障能够实现成本分担契约情形下的最优利润值及最优产品减排量。因此当市场较为成熟时，此供应链系统的运营模式不仅趋于稳定，而且在企业的实际生产和运营中，引入成本分担契约后的策略具有较强的可行性，模型具有良好的管理实践意义，所以实践中应提倡供应链成员企业间的合作减排。

政府单方面补贴和无政府补贴下的博弈模型，可以看作考虑政府补贴下博弈模型的特殊情况；政府单方面补贴下满足φM=0或φS=0，无政府补贴下满足φM=0且φS=0。政府补贴对三种情形下供应商和制造商各自的减排努力水平、最优利润、最优减排量以及需求量均产生积极的影响。

命题3三种决策情形下，供应商和制造商的减排努力水平分别与政府对它们各自的补贴率呈正相关；供应商和制造商的利润、产品减排量及需求量均与政府对它们的补贴率呈正相关。

证明引入成本分担契约情形下，求式(26)关于φS的一阶偏导，可得

命题3说明了供应商和制造商是否有减排意愿，不仅仅取决于它们各自的边际利润，同时还受到消费者低碳购买意识以及政府补贴率等多个因素的影响。尤其是当减排量的相对衰减率比较大，阻碍了企业减排投资的积极性时，可通过增大政府对供应商和制造商的减排补贴率，增大它们自愿减排和合作减排的意愿，进而增大产品减排量。与此同时，供应商和制造商的利润也得到了提高，即政府的减排补贴政策可以有效地激励企业进行减排研发，最终降低碳排放，提升企业的核心竞争力。

命题4引入成本分担契约后，制造商对供应商的减排成本分担量与政府对供应商的补贴率呈负相关，供应商对制造商的减排成本分担量与政府对制造商的补贴率呈负相关；政府能够辅助供应链实现协调。

引入契约前后，供应商的利润差值为

命题4说明了引入成本分担契约后，供应链成员间减排成本分担量不仅取决于它们各自边际利润占总边际利润的比例，还与政府对供应链成员的外部减排成本补贴率有关。引入成本分担契约决策时，且在未执行转移支付操作之前，若出现供应商和制造商一方利润低于分散式决策情形时，可通过政府补贴调整供应链成员间的利润分配，改善这种情况，协助供应链达到协调。

3 算例分析

为进一步对上述三种情形下的决策结果进行研究，本文利用MATLAB软件进行相关仿真，以验证模型的有效性。对算例中相关参数进行赋值，如下：MS=700，MM=900，ηS=15，βM=20，α=0.5，β=0.3，γ=0.2，ω=2，ρ=0.9，D0=15，x0=0，φS=0.1，φM=0.2，t=1。

对集中、分散以及引入契约后这三种情形下的微分博弈均衡结果进行比较，如表3所示。

表3 不同决策情形下的微分博弈均衡结果

由表3可知：(1)与集中式决策情形时相比，分散式决策下供应商和制造商的减排努力水平分别降低了56.2%和43.8%；产品减排量降低了47.4%；产品需求量降低了42.2%；供应链总利润降低了34.8%，表明了供应链在分散式情形下出现了双重边际效应；(2)引入成本分担契约后供应商和制造商的减排努力水平、产品减排量以及需求量都得到了提升，且供应商和制造商的利润分别提高了42.1%和63.3%，供应链总利润相比分散式决策时提高了53.3%，达到了集中式决策时的水平，表明了该成本分担契约的引入有效地实现了供应链的协调。

限于篇幅，本文仅选取了部分参数进行灵敏度分析。图1和图2分别为在分散式和引入成本分担契约后的决策情形下，产品减排量对制造商减排努力水平的敏感系数α等参数对产品减排量的影响情况。

图1 参数α对产品减排量的影响

图2 参数ηM对产品减排量的影响

从图1可以看出，对于分散和引入成本分担契约后的决策情形而言，产品减排量在任意相同时刻均随着产品减排量对制造商减排努力的敏感系数α的增大而增大，说明当产品的减排努力水平越容易转化为减排量时，供应链成员企业长期合作减排的效果越明显；引入契约后产品减排量较分散时得到提高，等于集中情形时产品减排量，且引入契约前后产品减排量的增加值随着产品减排量对制造商减排努力的敏感系数的增大而增大，说明了减排努力对产品减排量的影响系数越大，引入契约后供应链合作减排效果较分散式决策时的优势越明显。从图2可以看出，对于分散和引入成本分担契约后的决策情形而言，产品减排量在任意相同时刻都随着制造商减排成本系数ηM的增大而减小(也随着供应商减排成本系数ηS的增大而减小，仿真省略)，说明当生产单位低碳产品时，投入的减排成本越高，上下游企业长期合作减排效果越不明显。

图3和图4分别考察了引入成本分担契约后的决策情形下，参数ω和γ对产品减排量的影响情况。

图3 参数ω对产品减排量的影响

图4 参数γ对产品减排量的影响

从图3可以看出，当需求对减排量的敏感系数ω的值一定时，产品的减排量的最优轨迹随着时间的推移具有不断增加且逐渐趋于稳定的趋势，即产品减排量的增加速率越来越小，说明该供应链企业间的合作减排过程具有可控性；且在任意相同时刻，产品减排量的最优轨迹对应的斜率随着需求对减排量的敏感系数ω的增大而增大，说明随着消费者偏好的增强，越来越多的消费者更倾向于购买低碳产品，供应链企业间进行减排合作的效果越佳。从图4可以看出，供应链成员企业已投入的减排设备自然老化越迅速(产品减排量的相对衰减率γ越大)时，产品减排量最优轨迹在同一时刻点的值越小，即供应链企业进行长期合作减排的成效越不明显。

图5～8为引入成本分担契约后，政府补贴对产品减排量及供应链成员利润的影响情况。

图5 参数φS和φM对产品减排量的影响

图6 参数φM随着时间t的变化对产品减排量的影响

图7 参数φM和γ对产品减排量的影响

图8 参数φS和φM对供应商利润的影响

由图5可知，产品的减排量随着政府对供应商和制造商补贴率的增大而增大，但是政府对供应商和制造商的补贴率φS和φM，分别对产品的减排量产生不同程度的影响。结合公式(28)可知，这是由于供应商和制造商的其它相关参数(如ηS和ηM)不同造成的。由图6可知，在政府对供应链成员的补贴率一定的情况下，产品减排量随着时间的增加而不断的增大且逐渐趋于稳定；在一确定时刻点时，产品减排量随着政府对制造商补贴率的增大而增大，说明可采用政府补贴措施激励企业进行减排投资。由图7可知，产品减排量随着它的相对衰减率γ的增大而减小，而随着政府对制造商的补贴率的增大而增大，说明当减排量的相对衰减率比较大时，会对企业减排投资的积极性产生一定的阻碍，此时政府可通过增加减排成本补贴激励企业进行减排投资。由图8可知，引入成本分担契约后，供应商的利润随着政府对它的补贴率的增大而增大，且随着政府对制造商补贴率的增大而增大，这说明在供应链系统内部成本分担机制的影响下，政府不仅可以通过增加对供应商的补贴而提高自身的利润，也可以通过增加对其合作伙伴的补贴而提高自身利润，因此政府补贴可以辅助供应链实现协调。

4 结论

本文在低碳背景下，借助微分博弈理论对由供应商和制造商组成的两级供应链纵向合作减排问题进行了研究，且探讨了政府补贴对供应链上下游企业间合作减排的影响。考虑到产品减排量随着时间的推移存在自然衰减的状况，且产品的需求量受减排量的影响下，构建了集中式、分散式以及引入成本分担契约后这三种情形下的供应链微分博弈模型，并通过算例对三种情形下的最优决策结果进行比较分析，得到了一些结论，如下：

(1)成本分担契约的引入使得供应商和制造商各自的减排努力水平、产品减排量、产品需求量以及供应链成员的利润均得到了提高，且供应链总利润达到了集中式决策情形时的水平，有效地实现了供应链的协调；因此引入契约后的减排策略，不仅实现了供应链系统利润的最大化，而且还改善了环境，提升了企业的综合竞争力。三种决策情形下供应链的最优反馈均衡策略都和时间无关，则此系统的减排策略具有一定的管理实践意义。

(2)随着供应商、制造商减排努力对产品减排量以及减排量对需求影响的增大，产品减排量呈上升趋势；说明减排量对供应链成员减排努力的敏感性越强以及消费者低碳意识越强时，对供应链企业间合作减排越有益。

(3)随着供应商、制造商减排成本系数以及产品减排量自衰减率的增大，引入契约后产品减排量呈下降趋势；说明当生产单位低碳产品时，供应商和制造商投入的减排成本越高，将阻碍它们的减排积极性，产品减排量下降。供应链长期开展合作减排的效果随着供应商和制造商已投入的减排设备自然老化速度的加快(产品减排量的自衰减率越大)而变差，这与实际情况相符；此时可通过引入政府补贴提高供应商和制造商的减排积极性，减少其对环境的污染，同时也提升了整个供应链的利润及竞争力。此外，政府的引导可协助供应链实现协调，这为政府制定科学的补贴政策提供了理论参考。

文章侧重于研究成本分担契约对产品减排量和供应链绩效的改善效果，以及政府补贴策略对企业间合作减排策略的作用。但是文中未考虑下游零售商通过低碳宣传推广参与合作减排，且未将政府补贴率作为决策变量进行研究，这些都是值得今后研究的问题。