H-联图的拟拉普拉斯能量的上界

周琨强，王维忠

(兰州交通大学 数理学院，甘肃 兰州 730070)

0 引 言

文中所涉及的图都是简单图. 设图G的顶点集V(G)={v1,v2,…,vn}, 边集E(G)={e1,e2,…,em}. 设A(G)和D(G)=diag(d1,d2,…,dn)(di是图G中顶点vi的度)分别为图G的邻接矩阵与度对角矩阵, 则图G的拉普拉斯矩阵定义为L(G)=D(G)-A(G)[1-2]. 由于L(G)是半正定的实对称矩阵, 从而其特征值满足u1≥u2≥…≥un=0. 2008年, 柳柏濂等[3]引入了图G的拟拉普拉斯能量(LEL)的概念, 即L(G)的所有特征值的算术平方根之和, 亦即

在理论化学中,LEL是一个与图的拉普拉斯谱密切相关的分子描述子, 是一个新的拓扑指标. 相比较化学研究中使用的其它拓扑指标，LEL不仅能够很好地描述大部分描述子已经证明了的性质, 而且也能够描述一些更难获得的性质, 如沸点、熔点、分配函数等.关于LEL的最新研究成果参见文献[4-11]等.

H-联图(∨H(G1,G2,…,Gk))是在不交图G1,G2,…,Gk基础上, 对于H中的任意顶点i,j, 若ij∈H, 则将Gi的所有顶点与Gj的每一个顶点相连所得到的图如图1 所示，其中图H的顶点集为{1,2,…,k}. 特别地, 如果H=P2, 那么，∨P2(G1,G2)就是常见的普通联图G1∨G2[12-13]. 目前,H-联图的研究已取得了一些成果, 如文献[12]较早地给出了它的邻接特征多项式, 文献[13-14]确定了它的邻接谱和拉普拉斯谱, 文献[15]刻画了这类图的无符号拉普拉斯谱和正规拉普拉斯谱. 在文献[13-14]的基础上, 本文对H在一定限制条件下, 给出了H-联图的拟拉普拉斯能量的上界.

图1 {K1,K2,K2}的H-联图Fig.1 The H-join graph of disjoint graphs K1,K2,K2

1 H-联图的拟拉普拉斯能量

为了叙述方便, 引入两个记号:a+SpecL(Gi)(aSpecL(Gi))表示给SpecL(Gi)中的每个元素都加上常数a(乘以常数a).

SpecL(∨H(G1,G2,…,Gk))=

证明设L(Gi)的特征值为ui1≥ui2≥…≥uini=0(i=1,2,…,k), 则由引理1可知,

又由引理1可得

(((N-n1)-n2)(n2-1),((N-n1)-n3)(n3-1),…,((N-n1)-nk)(nk-1))∪

(0,(N-n1)(k-2)),

则

((N-n2)(n2-1),(N-n3)(n3-1),…,(N-nk)(nk-1))∪(0,N(k-1)),

(1)

同理可得

((N-n1)(n1-1),(N-n3)(n3-1),…,(N-nk)(nk-1))∪(0,N(k-1)),

(2)

……

((N-n1)(n1-1),(N-n2)(n2-1),…,(N-ni-1)(ni-1-1))∪

(N-ni+1)(ni+1-1,…,(N-nk)nk-1)∪(0,N(k-1)),

(3)

……

((N-n1)(n1-1),(N-n2)(n2-1),…,(N-nk-1)(nk-1-1))∪(0,N(k-1)).

(4)

又由引理1可知

SpecL(∨H(G1,G2,…,Gk))=(N-n1+(u11,u12,…,u1(n1-1)))∪

(N-n2+(u21,u22,…,u2(n2-1)))∪…∪

(N-nk+(uk1,uk2,…,uk(nk-1)))∪(0,N(k-1)),

(5)

以及

(0,N(k-1)).

(6)

由式(1)可得

(7)

由式(2)可得

(8)

由式(3)可得

(9)

由式(4)可得

(10)

由式(5)可得

(11)

由式(6)可得

(12)

将式(7)～式(10)等k个等式左右两端分别求和, 则有

(13)

结合式(12)和(13)两式可得

(14)

再结合式(11)和(14)两式可得

定理得证.

(15)

证明设L(Gi)的特征值为ui1≥ui2≥…≥uini=0(i=1,2,…,k), 则由引理1可知,

SpecL(∨H(G1,G2,…,Gk))=(N-n1+(u11,u12,…,u1(n1-1)))∪

(N-n2+(u21,u22,…,u2(n2-1)))∪…∪(N-nk+(uk1,uk2,…,uk(nk-1)))∪(0,Nk-1).

(16)

由式(16)可知

(17)

注2定理2利用H和Gi的阶数以及Gi的拟拉普拉斯能量的值(i=1,2,…,k), 刻画了相应H-联图的拟拉普拉斯能量的上界.

证明由定理2可知

(18)

引理2[14]设H的度序列为d1,d2,…,dk,Gi(i=1,2,…,k)均为n阶图, 则

SpecL(∨H(G1,G2,…,Gk))=

定理3设H的度序列为d1,d2,…,dk,Gi(i=1,2,…,k)均为n阶图, 则

证明设L(Gi)的特征值为ui1≥ui2≥…≥uini=0(i=1,2,…,k), 则由引理2可知,

SpecL(∨H(G1,G2,…,Gk))=(nd1+(u11,u12,…,u1(n-1))∪(nd2+(u21,u22,…,u2(n-1))∪…∪

(ndk+(uk1,uk2,…,uk(n-1))∪(nSpecL(H)).

(19)

由式(19)可知

(20)

SpecL(∨H(G1,G2,…,Gs+t))=

{0,NX+NY,NXs-1,NYt-1}.

LEL(∨H(G1,G2,…,Gs+t))≤

证明设L(Gi)的特征值为ui1≥ui2≥…≥uini=0(i=1,2,…,s+t), 则由引理3可知

SpecL(∨H(G1,G2,…,Gs+t))=(NX+(u11,u12,…,u1(n1-1)))∪(NX+(u21,u22,…,u2(n2-1)))∪…∪

(NX+(us1,us2,…,us(ns-1)))∪(NY+(u(s+1)1,u(s+1)2,…,u(s+1)(ns+1-1))∪…∪

(NY+(u(s+t)1,u(s+t)2,…,u(s+t)(ns+t-1))),

(21)