没有“约”还能估算吗？

王颖

【摘   要】估算能力并不只是简单的计算能力，它是一种数学推理能力。课标要求培养学生的估算意识，发展学生的估算能力。而在实际教学中，学生往往习惯于精算，不愿意运用估算，不能灵活地选择估算策略来解决具体问题。教师可通过“创设选择性情境，体会估算需要”“引入不等式概念，简化估算步骤”“设计多元化练习，发展估算意识”开展课堂学习，为估算教学实践提供思路。

【关键词】估算;实践 ;策略

一、问题的缘起

估算是一种非常重要的计算策略。在解决实际问题时，根据不同的需要，可以采取不同的估算策略。然而，正是估算策略的多样化，导致学生往往很难选准估算策略。常常可以听到教师们感叹：“这道题明明可以采用更为简便的估算来计算，为什么还要用复杂的精确计算来解决呢？”究竟是什么原因导致学生舍易就难？带着这个困惑，我们提出了以下三个问题：在学生正式学习估算之前，他们会估算吗？学习估算后，他们能根据解决问题的需要正确选择估算方法或精算方法吗？怎么培养学生的估算意识？

二、分析与思考

（一）教材编排比较与分析

带着疑问，笔者选择了人教版、浙教版两个版本教材进行整理与分析。

1.人教版“估算与近似数”教学内容整理

2.浙教版“估算与近似数”教学内容整理

通过对两个版本教材的梳理，我们发现无论是人教版还是浙教版，在估算内容的安排上都有近似数、加减法估算、乘除法估算、四舍五入法估算等学习内容，只不过在认识顺序上教材的安排各有差异。那么这些内容编排上的差异对教学实践会有什么影响呢？

（二）素材内容选择与分析

两个版本的教材都将二年级下册作为估算正式教学的起始时间，且都是在学习了《万以内数的认识》以后，将《三位数加减法估算》作为估算教学的第一课。那么对于估算教学的起始课，教材又是选择怎样的素材情境开展教学的？为什么选择这些素材呢？为此，笔者对两个版本的《三位数加减法估算》这一课的例题素材进行了比较与分析。

1.人教版教学素材分析

人教版教材选择了学生生活中常遇到的人民币购物作为教学素材（见教材第96页例13）。通过判断500元钱是否够买两件商品，引导学生发现可以估算的解决策略。在此之前学生已经认识了近似数、万以内各数以及整百、整千数的计算，但还没有学习三位数加减法的计算。因此，教材将估算教学的起始课安排在这里，一是因为学生已经具有一定的估算知识的基础，二是三、四位数的数值较大，学生又还没有学过多位数的加减法计算，由于没有精确计算作为基础，学生在計算上存在一定的困难，采用估算的意识会更强。

2.浙教版教学素材分析

浙教版教材选取了图书馆藏书、购书这一学生生活中常见的实际问题作为估算教学的载体，结合情境提供的信息，提出数学问题，通过问题中的“大约”引出估算。从教材中我们可以发现，浙教版除了要学习怎样估算，其实也学习了什么是“近似数”。如389接近400，308接近300等，这是因为在问题中出现了“大约”，这里的近似数正是基于估算的需要。此外，第一次出现了“≈”，约等号的出现有助于学生更好地表达估算结果，区分精算与估算的区别。

那么将是否有相应精算经验作为基础来学习估算，学生在算法选择上又会有什么差异呢？

（三）学情调查分析与思考

为了进一步了解学生的学习状况，找到问题的症结所在，笔者进行了两次调查，对象分别是二上学生和三上学生。调查二上学生主要是为了了解学生在学习估算之前是否具有一些估算的技能，调查三上学生主要是为了了解在学习乘法估算之前学生是否能够利用知识的迁移，解决乘法的估算问题，同时了解学生在学习了近一年的估算计算后，是否形成一定的估算意识。下面就来看看我们的调查结果。

二上年级学生的调查情况如下（共45人）：

（分析：在这一连线题中，45位学生都是用精确计算出得数的方法来完成这一题的，可见在学生学习估算之前，他们还不会运用估算来解决问题。）

三上年级学生的调查情况如下（共43人）：

题1：估一估，连一连。

（分析：这一题有38位学生已经能够把两位数看成整数，把8、9看成10来进行计算，只有5位学生采用了精确计算的方法。可见当学生有了估算的体验，而缺少两位数乘一位数精算经验时，能够自发地将估算策略运用到乘法中去。）

题2：湖边种着4排柳树，每排有62棵。一共约有多少棵？

（分析：这一题有33位学生能够运用估算的方法正确解决问题，有5位学生采用了精确计算的方法，有1位学生方法错误，还有4位学生采用了左图这样的方法。这样的做法只是对数进行了估计，而不是估算，更没有用到估算的方法。）

题3：一篇文章400字，张叔叔平均每分钟打53个字，8分钟能打完吗？

（分析：这道题在解决问题的方法上其实和题2是一样的。但是学生采用的策略却截然不同。43位同学中有40位是采用计算出准确得数来判断的，只有3位同学采用的是估算方法。）

从中我们可以发现，在二年级学习了估算之后，三年级学生对估算有了一定的认识，能够把一个数看成整十或者整百数来计算。但是到了第3题，学生却都喜欢用准确计算的方法来解决问题，原因是问题中没有“大约”这样的文字。由此可见，学生的估算还是机械式的，还没有形成自主估算的意识。

三、方法与策略

难道没有“约”学生就不会“估”了吗？在估算教学的起始课中，我们该怎么做才能提升学生的估算意识，提高学生的估算能力呢？

（一）从课标教参中寻找方向

让我们先来看看课标中关于“估算”的目标要求：能结合具体情境，选择适当的单位进行简单的估算（第一学段）;在解决问题的过程中，能选择合适的方法进行估算（第二学段）。

那么，如何理解“选择适当的单位”进行简单的估算？笔者认为，这里的“单位”并不仅仅是指度量单位，同时也指计数单位，即个、十、百、千、万。学习估算方法首先要学会对数的估计，而对数的估计其实质就是对计数单位的选择。从表述中我们可以发现，课标对于“估算”的要求比较侧重于“能估算”，强调“理解估算的意义”，但没有明确具体地提出估算的方法。

那么，二年级下册的教参对于估算又有哪些要求呢？

从两个版本教参的教学目标来看，人教版的教学目标从物的估计、数的估计一直到算的估计，具体详细，体现了梯度性;浙教版的教学目标则从口算、笔算、估算一直到算法的意识，顺应了计算的发展过程，从中体会估算的价值。

（二）在已有设计中发现思路

那么，在具体教学中我们又是怎样处理教材，开展教学的呢？以三位数加减法估算为例，从平时的教学研讨以及通过上网查阅，我们发现了这样一些做法（如下表）。

有“约”版教学设计的流程是：提出问题—区分问题—探讨新知—认识估算。有“约”版是带有指向性的，在教学开始就明确了精算与估算的区别。带“约”的数学问题对于学生来说要求更加明确，更具可操作性，同时在解决问题时，使用“≈”也更符合学生的列式习惯。但这样的设计教学容量过大，教学时容易流于表面。

无“约”版教学设计的流程是：解读问题—探究方法—体验新知—认识估算。无“约”版的教学设计则更加开放，内容更加集中。它将近似数的认识、整百整千的计算分别单独作为一课时，在学习估算之前就进行了教学，保证了估算教学的基础，留给估算教学更多的体验时间。虽然数学问题中缺少“大约”“估计”这样的指向性词语，学生在实际解决问题时仍然容易使用精算的方法，对于后30%的学生来说理解的难度较大，但是学生经历了算法选择的过程，并且把估算的结果回到具体的情境中去分析，有利于估算意识的培养。

那么如何才能让学生自觉地运用估算的方法解决问题呢？能不能将以上两种设计思路融合起来解决我们教学时遇到的困难呢？

（三）将素材设计予以重组更新

我们尝试将有“约”的具有可操作性的估算教学活动方式与无“约”的基于生活经验的估算教学活动方式相结合，力图兼顾两者的特色及长处，对课堂教学进行重组与更新。下面的教学设计片段就以人教版二年级下册《三位数加减法估算》为例。

1.创设选择性情境，体会估算需要

什么情况需要运用精算，什么时候运用估算策略更合适，这是在估算课堂教学时需要培养学生形成的一种解决问题的意识。教材现有的例题情境既可以用估算也可以用精算。为了帮助学生更清晰地区分估算与精算在解决问题时的差异，引导学生选择更合适的问题解决策略，我们对教材原有的例题进行了改编。

问题一：下面哪种情况你会运用估算来解决问题，为什么？

A.售货员阿姨要将微波炉和电饭煲这两种电器的价格输入收银机的时候。

B.围裙妈妈要确定700元钱是否够买微波炉和电饭煲这两种电器的时候。

C.当售货员阿姨告诉围裙妈妈微波炉和电饭煲一共要付多少钱的时候。

D.当售货员阿姨在清点围裙妈妈的付款的时候。

（分析：本题的四个选项中有三个选项是需要精算的，一个选项是可以估算的。在不需要计算只需要判断的情况下，通过合理的观察与思考，引导学生在对比中发现估算与精算在实际运用中的范围差异，初步体会估算的作用。）

问题二：600元钱够买上面哪两种电器呢？（小组讨论）

（分析：这是个开放性的问题，范围比较广，因此教学时运用了小组讨论的模式。这个问题如果采用精算的方法也可以解决，但是计算会比较复杂。如果运用估算方法，以“百”作为计算单位，那么计算将会变得极为简单。在这个研讨的过程中，学生将充分体会估算在实际使用中的价值与意义，对估算产生好感。）

2.引入不等式概念，简化估算步骤

估算在计算上虽然比精算要简单，但其思维复杂程度却远远大于精算。估算虽然仅仅呈现一个近似值，但这个近似值必须是在合理范围内的。而教师又往往要求学生将估算的思路用算式的方式呈现出来，这就导致估算的步骤远远多于精算的步骤。再加上现有的估算练习往往也可以用精算来解决，学生自然愿意用思维、步骤更简单的精算来解读问题了。

（1）弱化估大估小。

估大估小是估算教学中常常要面对的一个教学难点。很多学生能根据估算正确判断出结果，但其估大估小的策略却有可能是错误的。

比如“围裙妈妈要买微波炉和电饭煲这两种电器，700元钱够吗？”这个问题，在完成练习的41位学生中，有35位都能够判断是不够的。但是在这35位学生中，有9位是估大的，他们估成430+360=790。有6位是一个数估大，一个数估小，他们估成420+360=780。而他们的判断结果又都是一致的，都认为700元不够。这样做能算对吗？下面是课堂教学中师生的一段对话。

师：为什么估成430+360=790？

生1：430、360只比原數估大一点，但是两个数加起来要比700多很多，所以原来的数加起来肯定比700大。

师：为什么估成420+360=780？

生2说：420少估了3，358多估了2，一共少估了1，少估了1还比700大这么多，原来数的和一定比700大。

（分析：多美妙的回答！可见学生在根据估算情况判断结果时，对数据信息的处理过程、思考过程更为复杂，估算的思路也并不是只有一条。因此，笔者认为是否可以尝试弱化对估大估小的要求，即在某些问题中只要学生能够理解具体题目的含义，能够根据估算进行正确判断，就不必规定一定要用估大或者估小的方法。）

（2）引入不等式概念。

弱化估大估小最直接的方式就是在估算教学中引入不等式概念。在人教版二年级下册估算起始课《三位数加减法估算》中，由于学生还没有认识“≈”，教材采用了叙述估算方法加列式的方式来呈现估算的过程（如右下图）。但对于一些孩子来说，他们能够理解估算的意思，但是不会表述。因此，我们能不能用一种更简化的方式来帮助表述估算的意思？其实，估算就是根据不等式性质来判断结果的一种解题策略。我们可以运用这个性质简化估算步骤，体会估算性质。

师：600元钱够买上面哪两种电器呢？请用算式表示你的思考过程。

生1：我觉得能买电饭煲和电风扇，把358看成360，218看成220。360+220=580，所以358+218<600。（师板书算式）

生2：因为两个数都估大了也只有580，所以它们的和一定小于600。

（分析：简单的一个小于号，帮助学生清晰地理解了估算的推理过程，也帮助学生更好地区分了估大与估小在方法上的差异，让学生能够选择更为恰当的方法进行估算。估算的推理过程就是不等式性质在第一學段的渗透过程。）

3.设计多元化练习，发展估算意识

（1）比较区分，加深理解。

问题一：妈妈买这两件商品大约要带多少钱？

问题二：要付给收银员阿姨多少钱？

师：先请大家思考，这两道题你觉得应该用什么方法计算？

生1：问题一应该用估算，而且要估得大一点。

生2：问题一问的是大约要带多少钱，估计一下就可以了，要估大。

生3：问题二是要付多少钱，要准确数，所以用精算。

（分析：运用两个生活中的典型事例，通过对问题的辨析与比较，在解决问题的过程中加深对估算在实际运用中的理解与感受。）

（2）变式提升，发展能力。

下面的三种情况分别应该用什么计算方法来解决，请你算一算。

①青山镇电影院有3000个座位。青山镇的三所小学各有八百多名学生。如果这三所小学的学生同时来看电影，能坐下吗？

②汽车每小时大约行驶80千米，飞机每小时大约行驶810千米，飞机每小时大约比汽车快多少千米？

③小明说：“五一期间参观天文馆的人真多啊，都超过2万人了。”你觉得小明说得对吗？为什么？

（分析：上面三个问题，问题①只能用估算的方法做，因为题目中并没有准确的学生数。问题②表面上看有“大约”这样的文字，但由于汽车和飞机的速度就是一个估计的数字，因此解决问题时不需要把数字再次估算，只要根据数字直接精算就可以了。问题③可以用估算也可以用精算，但是学生会发现精算十分烦琐，而估算则一目了然。通过这样三道题的辨析与思考，可以帮助学生知道，有“约”不一定要估算，无“约”不一定不用“估”，要根据解决问题的实际情况选择合适的计算方法。）

四、成效与反思

通过对教学内容和设计进行重组与更新，我们再一次进行课例探讨和教学实践，并对其进行了后测，情况如下：

从后测情况我们可以发现，学生对估算的理解、使用能力都有了明显的提高，尤其是对“既可精算也可估算的题目”愿意运用估算来解决问题了。

由于第一次后测是在课堂教学结束后一周内进行的检查，是“趁热打铁”的结果。那么经过一个学期后学生对估算的掌握情况又会有怎样的变化呢？我们在新学期开学后又进行了第二次后测，结果如下：

从第二次后测我们发现，前两项测试结果与第一次差别不大，但对第三项“既可精算也可估算的题目”中，有近三分之一的学生选择了用精算的方法来解决问题，可见学生在学习过程中有反复现象。对于估算意识的培养不是一两堂课就能完成的，需要我们在整个教学系列中不断加强估算意识、估算能力的培养。

参考文献：

[1]白改平.中美小学数学估算教学的差异分析及启示[J].小学数学教师，2017（5）：70-71.

（浙江省杭州市余杭区塘栖三小教育集团   311106）