立足课堂教学，培养数学运算能力

◎周天佐

数学运算能力是最基础的能力，培养数学运算能力是课堂教学的重要任务，要把培养学生的运算能力贯穿于高中数学教学的每个阶段，每个环节。培养运算求解能力应配合教学进度，结合学生的实际知识水平，有目的、有计划地进行。既要抓运算方法的选择，算法、算理、算律的正确使用，又要抓运算技巧的提高，既要培养学生运算的合理性、准确性，又要培养学生运算的熟练性、简捷性。

目前学生在求解运算方面普遍存在的问题是：概念不熟悉，不能正确用公式，方法不当，运算途径和运算方向不合理，不能灵活运用所学的知识，解题速度过慢。选择、填空题由于某一步运算错误，而导致全部失分；有的题由于步骤中某一步运算的错误致使原来很简单的数字变得繁杂而影响了后面的思考；有的题虽然答案算对了，但繁琐而不合理的运算浪费了大量的时间，等等。数学运算求解能力差已成为一些学生提高数学成绩的最大障碍，也直接影响了物理、化学等其他学科的学习。因此进一步培养、提高学生的运算能力显得尤为重要，也是当下高中数学教学的一个重要课题。本文对此作一探讨。

一、提高学生对运算能力的认识

运算能力在高中数学中的各个章节都有所体现，既包括数的运算和含字母的式的运算，也包含代数式和恒等变形、解方程、解不等式、导数运算、概率和统计运算、平面向量与空间向量运算、平面与空间立体几何的运算、解析几何中的运算等.运算能力是学生必备的基础能力，运算能力是高考考查的重要能力之一.

学生中相当多的人对运算不重视，认为运算无关大局，只要考试稍加注意就行了。同时，缺乏对稍为繁琐运算的磨练。因此，一方面教师在平时教学中加强对学生进行思想教育工作，提高学生对运算能力的认识水平，要让学生明白运算能力与他们数学成绩的好坏有密切关系，数学运算能力的提高是一个长期过程。另一方面，教师要重视对学生进行运算能力的培养，在课堂教学中多加训练.学生必须在平时的练习和作业中高度重视，长期练习，逐步提高。

二、教师在教学中应对学生的运算能力进行经常的、具体的指导

1.重视基本概念的教学，打下良好的运算基础 基本概念是进行正确运算的基础，是提高运算求解能力的关键。在平时的教学中除了要求学生熟记定义、定理、性质、法则、公式、数学符号外，还要弄清它们的来龙去脉，只有这样，才能使学生在解题中做到心中有数，运用自如。

2.掌握一些速算知识，提高数学运算速度 在教学中，要求学生熟记常用的重要结论，并在平时的教学中加以应用，这样不仅可以省去许多时间，而且会大大加快解题速度，提高解题效率。如函数中的一些结论：（1）若 f（x）为偶函数，则有 f（x）＝f（｜x｜）.（2）函数 f（x）满足 f（a+x）＝f（a-x）⇔ 函数 y＝f（x）的图像关于直线 x＝a对称.（3）函数周期性的一些结论：对函数f（x）定义域内的任意 x，若常数 a≠0，k≠0，f（x）满足下列之一：①f（x+a）＝-f（x）.②.③.④f（x+a）＝-f（x）+k.⑤.⑥.则函数f（x）必是以2a为周期的周期函 数。（4）复数运算中的式子：i2＝-1；（1±i）2＝±2i；（a+bi）（a-bi）＝a2+b2.（5）立体几何斜二测画法中，原图形的面积与其直观图面积有关系式；（6）抛物线中，过抛物线 y2＝2px（p＞0）焦点 F的直线交抛物线于A，B两点，则.对于其它三个抛物线任然适用.等等.记住这些重要的结论，在解题过程中往往能起到事半功倍的效果。

3.抓算法、算律、公式的正确使用，提高运算的准确性 运算的准确性是运算的最基本的要求，教学中必须从基础抓起，对于学过的概念、运算律、法则、定理、公式、数学符号、结论等，要准确记牢，把这些知识用于解题之中，确保运算的准确性.同时要使学生养成总结解题方法的习惯，在反思中寻找运算的合理性.同时通过总结、反思，加深对数学知识的理解，以达到运用知识和技能提高运算能力.在教学中培养学生学会选择合适的方法，运用合理的运算公式，选择合理的运算途径，合理的寻找和确定运算的方向非常重要。对于运算量大的题目，运算的每一步都要求

仔细、认真去完成，在每一步教学中都强调运算的准确性。

在解题中，一是要充分利用已知条件，判断出sinθ，cosθ的符号.二是熟记三角函数在各个象限的符号，平方关系公式.三是在记准的基础上熟练应用，保证运算的准确性.

4.重视数学运算技能的培养，提高运算速度 在教学过程中，除了运用解题通法，即一般方法外，如果能灵活运用运算技能技巧，不仅可以确保运算的准确性，提高解题速度，而且还可以起到化繁为简、变难为易的作用，达到提高运算速度的效果.因此，在教学中必须高度重视培养学生的运算技能技巧，把通法和运算技能技巧结合起来，有时会促进运算的简洁性，提高运算速度.

例2.已知tanα＝2，求下列各式的值：

解题分析：一是利用三角函数的基本关系，从tanα＝2，求出sinα，cosα的值，代入原式.这样不仅要讨论角的不同象限，而且计算量大.二是利用平方关系sin2α+cos2α＝1和商的关系，造分母，分子分母同除以cosα，cos2α，可以使问题最简，这样计算就方便了.

运算技能需要教师在教学过程中长期培养，教育学生学会学习，养成良好的分析问题和解决问题的习惯。通过运算技能的培养，调动学生学习数学的积极性，使学生积极参与到教学活动中来，从而提高课堂教学效果.

5.利用”一题多解、一题多变”寻求合理简捷的运算途径，简化运算 在教学中教师要根据学生所学的知识，选择合理有效的方法，进行独立的分析判断，研究和探索，提出创造性地解决问题的思路.平时教学适当进行开放性、探索性、研究性试题的训练。在教学中有意识地提供一些有一题多解的题目，并要求学生给出多种解法，让学生分析、比较不同解法，逐步使学生养成一题多思、一题多解的习惯.还可通过一题多变，使学生从会解一道题到会解一类题，起到举一反三，逐类旁通的效果.从而使学生对问题的认识更深刻，提高解题效率.这对于提高学生解决具有复杂问题的能力和创新能力也有一定的引领作用.

例3.已知等差数列｛an｝的前m项和为10，前2m项和为60，则它的前3m项的和为（ ）

A.70 B.100 C.120 D.150

解题分析：设等差数列｛an｝的前n项和为Sn，公差为d.如果用常规方法，则计算量较大。若用等差数列前n项和的性质，则可以简化运算，计算量较小。还可以通过其它方法，得出结论。

思路1：特值法。令 m＝1，则 S1＝10，S2＝60.可得 a1＝10，a1+a2＝60，故 d＝40.求得 a3＝a1+2d＝90，所以S3m＝150.选 D.

思路2：利用等差数列的性质：Sm，S2m-Sm，S3m-S2m成等差数列，即可求解.

思路3：设 Sn＝an2+bn（a，b为常数），则由已知代入，得 am2＝20，bm＝-10，所以

思路4：设 Sn＝an2+bn（a，b为常数）.

此外，要让学生掌握选择题的常用解法，选择题比较灵活，它的解法比较多，如直接法，代入法，观察法，特殊值法，图象法，排除法等，在数学中根据不同题型特点，进行选择题的解题指导，熟悉常见的解题方法，提高学生的运算速度.