关于高中数学三角函数中数形结合的实践及思考

刘国君

【摘 要】数学是高中阶段的一门基础学科，也是极其重要的一门学科，而三角函数知识内容是高中数学中的重要内容，是学生理解困难的知识之一。如何构建高效的高中数学课堂，降低课堂教学难度，是数学教师应当思考的问题。数形结合思想是重要的数学思想，在三角函数教学和问题解答中有效利用数形结合，能够帮助学生理解三角函数的概念、性质，可提高学生的解题能力。本文结合高中数学教学，分析数形结合思想在三角函数中的实践和思考。

【关键词】高中数学;三角函数;数形结合;实践思考

数形结合思想是数学教学中的重要思想方法，数与形是数学知识结构中的基本概念。高中数学问题解答的过程中，常利用图形表示数学内容，思考数学问题。三角函数是高中数学的重要内容，知识内容非常抽象，学生的学习和理解存在一定的困难，教师需合理利用数形结合思想，帮助学生深入学习和理解三角函数知识，解决三角函数问题。教师可借助数形结合将三角函数直观展示，从不同角度解决三角函数问题，弥补传统教学的不足，激发学生的学习兴趣。

一、三角函数定义教学中应用数形结合方法

在高中数学三角函数教学中，教师可合理利用数形结合方法，加强学生对三角函数的理解，提高学生对三角函数知识的应用能力。可在实际教学中结合三角函数实际问题，在求解的过程中对取点法和单位圆两种解题方式进行对比，单位圆方式更加的简单、方便，且解题效率更高。

解析：通过对问题已知条件进行分析，可以使用取点法、单位圆的方式完成解答。在解答过程中，应用取点法：将角放入相应的直角坐标系中，并在角的边上任意取一点p，向x轴作垂线，构建相应的直角三角形，结合p的坐标计算出三角形各个边的边长，结合三角函数的定义，求解出角的正弦值、余弦值和正切值。单位圆法：将角放入到直角坐标系中，并画出一个单位圆，角和单位圆相交于点p，从p点向x轴引出垂线，结合三角函数在单位圆的特殊性质，可以更加轻松地解决角的正弦值、余弦值和正切值。在此种类型三角函数问题的解答中，采取上述两种方式需要應用数形结合法，画出直角坐标系和单位圆，通过观察和分析，做出相应的计算。相比较而言，单位圆法更的简单，利用p点坐标可以求解答案。

二、三角函数性质教学中应用数形结合方法

高中数学教学中，大多数学生对三角函数性质已经有所了解，但在实际问题解答中，依然不够灵活，导致问题解决不够顺利，导致问题解答出现错误。在三角函数问题解答中，三角函数性质是重要的切入点，想要灵活合理利用三角函数性质，应有效利用数形结合方法，将数形结合方法渗透到三角函数性质教学中，有利于学生更好地理解数与形的关系，降低数学问题难度，保证三角函数问题的有效解答。三角函数在不等式、方程等问题中，可将问题转化成图形，有效解决数学问题。

分析：在解答过程中，仅从已知条件入手难以有效解答，如果有效利用三角函数性质，构建相应的图形，结合图形观察，可以有效解答数学问题。在解题中，首先需要根据题目内容构建关于x的函数，创设平面直角坐标系，画出函数cosx的图象，解题题意以及三角函数性质，得出满足 的角的集合。在此种类型问题解答中，将问题转化为求解角的问题，需要合理利用数形结合方法，将余弦图象和代数运算有效结合。在解答此种类型的问题时，需要深入理解和掌握三角函数性质，构建相应的函数，将函数图像形象展示，有效降低三角函数题目的难度，不断扩展学生的思维。

三、同角三角函数关系教学中应用数形结合方法

三角函数知识内容教学中，同角三角函数关系是重要内容，结合数学教材内容，借助数形结合思想，从数与形的角度对同角三角函数关系深入理解和掌握。在同角三角函数关系中，主要有平方关系和商数关系，可以借助数形结合方法进行推导。在实际解题过程中，不少学生难以灵活利用平方关系和商数关系，对同角三角关系难以真正掌握，出现各种类型的问题，导致学生丧失学习兴趣和信心。

解析：面对这样的习题，大多数学生会根据平方关系和商数关系的两个关系式，构建相应的方程组，通过方程组的构建，代入其中运算，求解出α的正弦值和余弦值。此种计算方式的计算量比较复杂，常常出现计算错误的情况。因此，教师可引导学生根据已知内容，在直角坐标系中构建相应的点，构建相应的直角三角形，结合题目已知和图形，求解出α的正弦值和余弦值。因此，在高中数学三角函数同角三角函数关系问题的解答中，可结合已知条件，绘制相应的三角函数图像，根据三角函数相关定义，在脑海中形成直观的结果，避免复杂繁重的计算，提高学生的解题效率，避免问题解答错误。

四、三角函数与其他函数交点求解中应用数形结合

函数是高中数学的重要内容，三角函数是重要的内容之一，在数学问题中，三角函数和其他函数结合是重要题型，此类型的题目对学生分析能力和逻辑能力有较高的要求，通过相应的分析将代数问题转化成图像完成解题。因此，在高中三角函数问题的解答中，应有效利用数形结合方法，培养学生的解题能力，提高课堂教学有效性。

五、三角函数大小比较中应用数形结合

高中数学三角函数知识内容，有一些角属于特殊角，可以对其数值进行记忆。对于一些任意角则难以掌握其值的大小，面对三角函数值的大小比较问题时，往往难以做出正确的判断，因此，在对这些问题进行解答时，需要灵活利用数形结合方法，有效判断三角函数值的大小。

解析：面对这样的例题，可以采取多种解题方式，不少学生通常将cos15°进行转化，cos15°=cos（90°-75°）=sin75°，假设y=sinx，x∈[0，90°]时，函数y是增函数，所以sin15°比cos15°小。此种方式通常对单调区间内的角度进行大小比较，做出准确的判断。同时教师应引导学生利用数形结合方法，构建相应的平面直角坐标系，在象限中找出相应的角，对其进行观察和分析，做出相应的判断。因此，在高中数学三角函数大小比较的问题中，应灵活利用数形结合方法，绘制函数图像，完成题目解答。

六、结语

高中数学三角函数知识内容，涉及比较多的图像、数量和数形结合的问题，学生利用数形结合方式，可以很好地解决三角函数问题。但由于多方面因素的影响，学生不能灵活利用数形结合方法，难以有效解题。高中数学教师应重视数形结合思想，在课堂教学中对其有效利用，引导学生掌握数与形的转化，降低数学内容和数学问题的难度，提高学生解题效率，提高课堂教学有效性。

【参考文献】

[1]徐永杰，袁进.数形结合在三角函数中的应用[J].高中生学习（高考冲刺），2016（3）：34-35

[2]马赋.数形结合思想在三角函数教学中的应用[J].甘肃教育，2017：104

[3]蔡晓红.数形结合方法在高中数学教学中的应用[J].中学数学，2018（1）：60-62