智慧教学，探究数学本质

☉江苏省常熟市梅李高级中学 马俊华

数学具有抽象性、逻辑性等特点，因此在高中数学教学中，教师要引领学生认识数学的本质，关注数学学科自身的特点，强调数学知识的逻辑衔接与拓展延伸，以促进学生智慧学习.在核心素养的引领下，如何立足于高中数学的教学实际，发展学生的数学核心素养呢？教师需要从挖掘数学教法，创设数学学习情境，启发学生数学思维等方面，透析数学的本质，增进学生对数学概念、结论、方法的深刻理解与灵活运用.

一、数学概念的学习，要把握其本质

在高中数学教材中，方程是其重要内容，也是最基本的概念之一.何为方程？教材中明确定义为“含有未知数的等式”.但对于该描述，很多学生虽然会背、会解方程，但并未建立全面的“方程观”.对于方程的概念，以及方程的解法，可以从训练中来获得.但怎样理解方程的本质、未知数及等式，这都需要从挖掘概念的本质中获取.首先，对方程本质的理解，要突出“变量”.在某一个方程x2+4y2=4中，通过观察，该方程有两个未知数，这两个未知数也是两个变量.如果我们对该方程进行变形处理得到：从解析几何视角来分析，该方程表示为一个椭圆.根据椭圆的定义，“到两个定点的距离之和等于一个常数的点的轨迹”就是椭圆.对于该常数，应该大于两个定点的距离.因此在椭圆方程中，x，y为两个变量，而2a=4则为不变量.由此，椭圆方程是通过这个定量关系来构建起来的.为此，探讨方程的本质，就是要寻找等量关系.如求等面积、等体积的三角形或三棱锥的高，其中“面积、体积是不变量”是重要条件.当然，在方程中还有静态、动态之分.通过对“零点”的认识，让方程与函数实现统一.方程可以是函数的一部分，如y=f（x），令y=0，则f（x）=0.同样，借助于函数图像、性质，还能为研究方程提供更宽广的认知空间.如某方程x3-3x-a=0有三个不同的根，求a的取值范围.从方程的视角来看，对于该方程的求解较为困难.但如果我们将该方程延伸到函数领域，利用数形结合思想，借助于函数的单调性、极值等特点来进行求解则较为简易.根据方程，我们假设y=x3-3x与y=a相交的点的横坐标为方程的根，则可以将三个根等价转换为函数y=x3-3x与y=a的图像有三个不同的交点.另外，对于数学概念的本质分析，还要体现出数学学科知识的承接性.在初中阶段对函数的理解，以“变量说”为主，体现了函数的变化观点，表示为两个变量之间的关系.在高中阶段，函数的概念解释为“对应说”，将函数的两个数集按照某种法则形成对应的映射关系.

二、数学结论的学习，要把握其本质

在数学领域，定理、公式、法则等结论性知识点很多，这些结论既反映了数学领域的一种特定现象，又是对数学知识的抽象概括.通常在高中数学课堂中，教师往往强调让学生背诵、记忆这些结论，而很少关注对结论的解读与理解.如对于函数图像的平移问题，我们的背诵口诀为“左加右减”.但对于为什么，却很少有学生能透彻明白其原因.可见，对于数学中的结论性知识，很多学生都停留于一般的直观性认知层面，并未进行理性分析.函数的图像是函数直观化的表示方式，其变换规律可以从函数解析式入手，让学生从中认识函数，进而培养理性精神.在不等式中，从代数结构上体现了算术平均数与几何平均数的不等关系，也是对这两种基本运算“和”与“积”的大小关系的表现.同样，对于a+b+ab=1（a＞0，b＞0），求a+b与ab的取值范围？在解该题时，需要我们认识到“和”与“积”的不等关系.首先，利用，将“积”转换为“和”的形式，得到；再利用将“和”转换为“积”的形式，得到，即可得到解题结果.另外，对于均值不等式的理解，我们还可以将之与几何图形相结合，如图1所示.

图1

在半圆O中，AD=a，DB=b，CD⊥AB，求的大小.从图中分析可知，对于CD，可以得出等于在圆内，因为CD≤OC，所以可以得到.同样我们也可以利用面积关系来建立不等式.在正方形BCDE中，假设，则正方形的面积大于或等于四个直角形的面积之和，即.由此结合几何图形，来加深学生对不等式的理解，拓展学生的数学解题思维.

三、数学方法的学习，要把握其本质

在数学领域，有很多方法性的常识或者约定，如度量的方法、运算的规则、变换的方法、论证的方法等.在高中阶段的数学教学中，教师要认识到方法的重要性，要关注对于数学方法本质的理解，让学生了解数学方法，认识数学方法，知其然且知其所以然.对于数学方法，其本质的挖掘在于突出数学方法与数学问题之间的关联性.如在高中数学归纳法的探讨中，归纳法是一种证明方法，其核心思想是建立在递推的逻辑关系上.比如对于P（n）表示为与正整数n有关的命题，要想证明该命题成立，需要把握两个步骤.一是证明P（1）为真；二是证明假设P（k）为真，则可以递推P（k+1）为真，由此，对于该命题，就可以实现无穷动态的递推过程.如P（1）为真，P（2）为真，P（3）为真→P（k）为真，P（k+1）为真→P（n-1）为真，P（n）为真.也就是说，对于任何一个正整数n，命题P（n）均为真.同样，在应用数学归纳法时，还要强调两点：第一点是对递推基础的确定；第二点是对递推依据的确定.在应用数学归纳法时，要严格遵守证明方法的逻辑性，进行完全归纳，对于特殊情形若不完全归纳，都具有不确定性.所以说，一般在科学实验中，对于大量个别事实的观察，需通过归纳来形成一般性的结论，并通过反复验证后得到正确性的结论.在高中数学中，对于数列求和方法的学习，可以有倒序相加法，也可以有错位相减法，但不管采用什么方法，其本质都是通过消项，将无限变为有限，将不可求变为可求.同样，在对等差数列进行前n项求和时，我们可以结合等差数列的性质，若m+n=p+q，则有am+an=ap+aq，利用倒序相加法，可以得到，从而得到.对于等差数列求前n项和的运算过程，主要是考查学生的求简意识以及转化技巧，让学生能够化无限为两项，便于求解.对于等比数列的前n项和，我们可以利用相邻项的关系an=an-1q，来计算Sn=a1+a2+…+an-1+an.两边乘以q，得到qSn=a1q+a2q+…+an-1q+anq，利用等比关系，对两式进行综合，得到，从而得到从该解题过程来看，在进行公式推导时，利用了错位相减法，可以很好地将中间项进行消项处理，得到有限项的差.其实数列求和的方法还有很多种，但不同方法的运用都是将消项作为主要目标.如分组求和法、并项法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等等.教师在引领学生认识数列求和的方法时，都要突出消项这个目标，让学生明白数列求和的本质，即化无限或化不可求为有限或为可求.

四、精心设计教学，把握数学思维

运用系统论来探究数学智慧教学，需要从教师、学生、教学内容，以及教学过程的各个方面来统合，明确相互之间的逻辑与关系，搭建起有序的数学课堂.教学设计是课堂教学的前提，因此教师要钻研教材，挖掘数学知识点，并结合学生学情，兼顾知识与能力的培养.教师要激活学生的数学思维，通过优化教学设计来启发学生的智慧.面对数学问题，教师要激发学生的猜想与想象，提升学生对数学概念、数学解法、数学问题的透彻分析.在函数的学习中，由于集合语言、运算语言等较为抽象，学生往往感到难度大，因此教师在呈现知识点时，要化解概念的难点，巧妙地安排一些课堂追问.如对于单调性的理解，在初中数学中，函数y随x的增大而增大（减小）；在高中数学中，利用集合语言来定义函数的单调性，从而帮助学生把握函数的本质特点.同样，教师还要关注学生数学建模能力的培养，从数学函数知识的学习，到函数思维的建构，都要把握关键信息，综合运用数学思想.如类比法、化归法的应用，从而降低数学函数问题的难度.在学习完指数函数后，我们可以通过对指数函数的构建模型来分析对数函数，从函数的三要素、性质以及图像等方面，运用类比、化归、数形结合思想，提高学生对数学问题的理解和应变能力.

总之，高中阶段的数学教学，教师要把握数学的本质，充分挖掘教材知识，全面备课，对所讲的数学概念、法则、结论等内容，积极借鉴其他教学成果，并融入到课堂教学设计中，以直观、生动、趣味的方式揭示数学的本质，促进学生理解数学知识，学深、学透、学懂数学知识.除此之外，教师也要加强对专业知识的学习，参与学科教研和交流，提高自身数学素养，以便于更好的打造数学智慧课堂.W