基于智能优化算法和有限元法的多线圈均匀磁场优化设计

吕志峰， 张金生， 王仕成， 赵欣， 李婷

(火箭军工程大学精确制导与仿真实验室, 西安 710025)

磁场模拟装置在地磁导航等航空航天工程中具有重要的应用价值[1-3]。理想的磁场模拟装置应能够在足够大的空间内产生高均匀度的磁场，因此，磁场均匀性是衡量磁场模拟装置性能的关键技术指标之一。近年来，随着磁场模拟装置的应用领域越来越广泛，其磁场分布的均匀性得到了越来越多科研工作者的重视[4-6]。文献[4]基于亥姆霍兹线圈加工设计了一套磁场模拟装置，并对磁场分布的均匀性进行了测试，结果表明该装置基本能够满足地磁导航半实物仿真系统中的磁场模拟需求。文献[5]针对磁传感器标定环境中均匀磁场的要求，对四线圈磁场分布的均匀性进行了仿真计算。文献[6]针对某型号光纤陀螺性能测试的要求，设计了一套满足磁场分布均匀性要求的大型磁场模拟装置。

目前，均匀磁场的产生主要依靠亥姆霍兹线圈[7-8]。随着工程应用对磁场均匀性的要求不断提高，传统的亥姆霍兹线圈已经很难满足实际需求，因此，有学者提出采用共轴多组线圈组合的方式来提高磁场的均匀性[9-11]。但是，由于线圈组数增多，如果各组线圈的位置、尺寸及匝数等参数设计不合理，就会导致磁场的均匀区域大大减小，这就需要对线圈的参数进行优化使其均匀区达到最大化。对于线圈参数的优化，目前通常采用数学求导的方式求取最优参数，但是线圈组数的增多会导致待优化变量也相应增加，这就需要进行高阶求导，如文献[11]对9线圈系统的参数进行优化，进行了16阶求导;文献[12]对四环圆形线圈的参数进行优化，进行了8阶求导，其计算较为复杂。因此，如何避免对函数高阶求导是多线圈参数优化需要解决的一个问题。对此，文献[13-14]提出采用差分进化算法对线圈的均匀磁场进行优化设计，取得了较好的效果，但是智能优化算法普遍存在容易陷入局部最优的缺点，而上述研究未讨论寻优得到的结果是否为全局最优。另外，线圈参数的优化都基于解析式，很多学者直接以解析优化的结果作为最终参数，并根据这些参数加工制作磁场模拟装置，但是装置的最终性能与理论分析存在不同程度的偏差[15-16]。分析原因，解析式是在理想化条件下推导出来的，基于解析式得到的优化结果的可信度如果未进行有效评估，一旦参数优化有误就会导致磁场的均匀性不理想，使已制作好的磁场模拟装置的均匀性无法满足要求，造成人力物力财力的浪费。因此，如何对优化结果的可信度进行有效评估也是线圈参数优化的重要一环。

鉴于此，本文提出一种基于智能优化算法的共轴多线圈参数优化方法，并通过Ansoft Maxwell软件，采用有限元法对优化结果的可信度进行检验与评估，从而为产生高均匀度磁场的磁场模拟装置的设计提供一种高可信度优化方法。

1 方形线圈均匀磁场的基本理论

目前，关于圆形亥姆霍兹线圈构建均匀磁场的研究较多，但是圆形线圈加工、固定等不方便，故在实际工程中多采用方形线圈用于模拟磁场。本文就以方形线圈为研究对象，对其磁场分布的均匀性进行分析研究。

1.1 方形线圈轴线上的磁场计算

首先分析单个方形线圈轴线的磁感应强度。假设方形线圈的边长为2l，其中心为坐标原点O，水平向右为x轴的正方向，垂直于纸面向内为y轴的正方向，z轴垂直于线圈平面且向上为正方向，电流方向为逆时针，与z轴正方向满足右手螺旋关系，线圈匝数为N，如图1所示。P(0,0,z)为z轴上任意一点，那么根据毕奥-萨法尔定律，可以

图1 单个方形载流线圈Fig.1 Single square current-carrying coil

求得P点处的磁场强度大小为

(1)

式中:μ0=4π×10-7N·A-2为真空磁导率;I为电流大小。

1.2 方形线圈均匀磁场的传统优化设计方法

目前，磁场的模拟主要依靠亥姆霍兹线圈。亥姆霍兹线圈是由一对相同线圈匝数、相同缠绕方式、同轴平行放置的线圈组成。首先以方形亥姆霍兹线圈轴线上的均匀磁场区域为研究对象，采用传统的优化方法对线圈参数进行优化。设有2个方形载流线圈1和线圈2，其边长均为2l，匝数均为N，所通电流I同向，线圈之间相距为2a，以两线圈中心轴线的中点作为坐标原点O，如图2所示。

根据磁场的叠加原理及式(1)可知，两线圈在中心轴线上任意一点Q(0,0,z)处产生的磁感应强度为

(2)

对B(z)在中心点O附近进行泰勒展开，得

(3)

从式(3)中可以看出，应尽可能使z=0处的各阶导数均为0，从而使中心点附近的磁感应强度B(z)→B(0)，进而使中心点附近的均匀磁场范围尽可能大。下面对式(2)进行一阶、二阶求导，分别为

图2 方形亥姆霍兹线圈示意图Fig.2 Schematic diagram of square Helmholtz coil

(4)

(5)

显然，由于B(z)为偶函数，那么其在z=0处的奇数阶导数均为0，故dB/dz=0自动满足。如果要使z=0处的二阶导数d2B/dz2=0，则根据式(5)需要满足：

F(a)=6a6+18a4l2+11a2-5l6=0

(6)

经计算，可得a=0.544 5l，即当方形亥姆霍兹线圈参数之间的关系满足a=0.544 5l时，线圈轴线中心点附近的磁场均匀性最好。由式(2)可知，对于方形亥姆霍兹线圈，B(z)在z=0处的各阶导数是否为0仅由间距参数a和边长参数l之间的关系决定，在满足d2B/dz2=0的情况下(即a=0.544 5l时)，d2nB/dz2n≠0(n≥2,n∈Z)，这就从根本上限制了方形亥姆霍兹线圈磁场均匀区域的大小。

鉴于此，可以采用多组线圈，通过增加参数的个数，使各参数之间满足一定的关系，使z=0处的各阶导数尽可能多为0，从而提高线圈磁场的均匀性。以两组方形亥姆霍兹线圈为例，4个线圈的边长均为2l，通入电流均为I，且电流方向相同。中间一组线圈之间的距离为2a1，线圈匝数均为N1，两侧一组线圈之间的距离为2a2，线圈匝数均为N2，且线圈1、2之间的距离与线圈3、4之间的距离相等，如图3所示。

图3 两组方形亥姆霍兹线圈示意图Fig.3 Schematic diagram of two sets of square Helmholtz coils

图3中线圈在中心轴线上任意一点Q(0,0,z)处产生的磁感应强度为

(7)

对于式(7)，B(z)在z=0处的各阶导数是否为0由间距参数a1、a2与边长参数l之间的关系及匝数参数N1与N2之间的关系共同决定，故需要确定3组参数关系，即k1=a1/l、k2=a2/l、k3=N1/N2，这3组参数关系的确定至少需要3个方程。由于B(z)为偶函数，那么其在z=0处的奇数阶导数均为0，即dB/dz=0、d3B/dz3=0、d5B/dz5=0自动满足。因此，需要通过d2B/dz2=0、d4B/dz4=0、d6B/dz6=0这3个方程共同确定这3组参数关系，从而使线圈在中心点附近的均匀磁场区域达到最大。式(5)是单组亥姆霍兹线圈的二阶导数，其求导已经较为复杂，那么对2组亥姆霍兹线圈(即式(7))求6阶导数必然会更加复杂，如果需要更大的磁场均匀区域就要采用更多组线圈，参数增多就需要求更高阶导数，其计算复杂性可想而知。不难看出，在多组线圈均匀磁场优化设计过程中，如果仍采用传统的求导优化方法，势必会导致问题求解复杂化，因此，需要寻求一种新的解决方法以避免高阶求导。

另外，实际的磁场模拟装置都是由多匝线圈缠绕而成，故会形成一定的缠绕宽度和缠绕厚度，而传统的解析理论分析将线圈抽象为一根没有宽度和厚度的导线，即式(2)和式(7)是一种理想情况下的解析式，这就导致理论分析与工程实际存在一定的偏差。然而很多学者直接以解析式优化的结果作为最终参数，并根据这些参数加工制作磁场模拟装置，那么可能会导致最终的实际系统性能与理论分析出现较大偏差，因此还需要对解析式的优化结果的正确性进行检验与评估。

2 多线圈均匀磁场优化设计方法

2.1 智能优化算法基本理论

经典优化理论的局限性在于过度依赖优化问题的数学特征，但是，随着问题规模的扩大及问题种类的增多，实际优化问题的数学特征越来越难以得到。在数学知识尚未能提供理论支撑的情况下，针对复杂优化系统出现的大规模、强非线性、不可微等特征，经典优化理论的局限性越来越明显。因此，学者们在观察现实世界中存在的自发性优化现象的基础上，进行数学抽象以模拟该现象中的智能行为，提出了一类无需依赖优化问题数学特征的优化算法，这类算法统称为智能优化算法。目前，常用的智能优化算法有遗传算法、粒子群优化算法、蚁群算法、人工免疫算法、模拟退火算法、禁忌搜索等[17]，这些算法虽然模拟的个体或群体现象不同，但是其共同之处都是利用它们的智能特性和行为方式来解决实际优化问题。智能优化算法为解决复杂优化问题提供了一种新的解决途径。后续仿真实验中，本文将采用粒子群优化算法进行寻优。

2.2 磁场的有限元分析方法

麦克斯韦方程组是电磁场计算的基本出发点及核心。目前，磁场的计算主要有解析法和数值法。这2种方法的理论基础都是麦克斯韦方程组，但由于数学理论的局限性，对于复杂情况的磁场计算，需要通过一些近似处理才能得到其解析式，故解析法的计算精度相对较低。随着计算机硬件的迅猛发展，数值法被广泛应用于磁场的计算，其中最具代表性的就是有限元法。

有限元法是以变分原理为基础逐步发展起来的，其基本思想是把待求解场域剖分成若干个小单元，然后利用一定的线性算法来求解各单元，而求解这些小单元是很简单的，最后将所有单元的求解结果进行综合便可得到整个场域的数值解[18]。从有限元法的基本思想可以看出，如果剖分的单元足够小，计算结果就会无限趋近于理论解，故有限元法的求解精度要高于解析法。从现有文献也可以看出，与解析法相比，有限元法的计算结果与实际系统的吻合度也较高[19-20]，正因如此，有限元法常常被用于校验解析计算结果的准确性。目前，世界上有多款电磁场有限元分析软件，如美国的Ansoft Maxwell、法国的Flux、加拿大的Infolytica和日本的JMAG等，其中，Ansoft Maxwell软件具有功能强大、计算结果精确、易于使用等优点，本文将采用这款软件用于磁场的有限元计算。

2.3 线圈均匀磁场优化设计流程

在实际情况中，对线圈的均匀磁场进行优化并不是要求磁场的均匀区域无限大，而是在满足我们的工程技术指标的前提下，使磁场的均匀区域尽可能最大化。

由 1.2 节可知，对于多组线圈结构参数的传统优化设计，其难点在于高阶求导，且基于解析法得到的优化结果的可信度有待确认，为此，本文提出一种基于智能优化算法和有限元法相结合的高可信度参数优化方法。首先，确定线圈的组数和待优化参数，同时，确定磁场均匀度指标，并以此作为待优化的目标函数。然后，采用智能优化算法对目标函数进行寻优，由于智能优化算法在寻优过程中具有随机性并容易陷入局部极值，可以采用蒙特卡罗方法进行多次智能寻优。若大部分优化结果较为集中，说明大部分寻优收敛到了全局最优附近，就以众多优化结果中的最优值作为最优参数；若大部分优化结果分散，说明寻优可能陷入了局部最优，即使是众多优化结果中的最优值，也无法保证其是全局最优，造成这种结果可能是因为种群规模太小，这时需要增加种群的数量，进而增加了潜在解的多样性，进行重新寻优，直到得到最优参数。由于智能优化算法寻优得到的线圈匝数比很可能不是整数比，而线圈的实际加工是以整数匝缠绕的，将匝数比近似成整数比后，在该匝数比的情况下，原来的间距比很有可能不再是最优间距比，因此，需要在该匝数比固定的情况下，进行重新寻优以调整间距比。得到最优参数后，需要判断该参数下磁场的均匀性指标是否满足工程要求，如果不满足要求，说明线圈组数不够多，需要增加线圈组数进行重新优化。最后，在智能寻优结果满足均匀性指标的情况下，采用有限元法对优化结果的可信度进行检验与评估。由于有限元仿真更加接近真实条件，故如果有限元计算结果不满足均匀性指标，说明按照智能寻优得到的最优参数加工成型的线圈很大程度上难以满足均匀性指标，因此仍然需要增加线圈组数重新优化，反之，即可确认智能优化算法寻优得到的参数为最优参数。整个优化流程如图4 所示。

图4 参数优化流程图Fig.4 Flowchart of parameter optimization

3 仿真分析

3.1 有效性验证

为了说明智能优化算法寻优与求导寻优的结果具有一致性，本文以单组亥姆霍兹线圈(如图2所示)的参数优化为例，采用2种不同的方法进行优化，将2种方法得到的结果进行对比。

首先，确定待优化参数及目标函数，由1.2节式(2)可知，待优化参数为k=a/l，定义磁场偏差率f=|B(z)-B(0)|/B(0)，并以此作为目标函数，即以中心点附近的磁感应强度B(z)与中心点处的磁感应强度B(0)之间的相对偏差为目标函数，当二者之间的偏差最小时，线圈产生的磁场最均匀。然后，采用智能优化算法对目标函数进行寻优，这里，智能优化算法选用粒子群优化算法，该算法的基本思想是模拟鸟类的群体行为，具有群体智能、并行计算、快速收敛等优点[17]，在MATLAB环境下编程运行，求得最优参数为k=a/l=0.546 4。

由1.2节可知，求导寻优得到的最优参数为k=a/l=0.544 5，经计算，智能优化算法得到的最优参数与求导寻优得到的最优参数的相对偏差仅为0.35%。这里需要说明的是，智能优化算法是一种近似算法，其在有限的时间开销、资源消耗等成本约束下求得的是近似最优解，因此，2种结果出现一定的偏差是必然的，但是二者偏差仅为0.35%，可以看做2种方法的求解结果具有一致性。假设线圈的的半边长l=0.5 m，那么在2种参数情况下，线圈中心轴线1 m长度范围内，以磁场偏差率f=|B(z)-B(0)|/B(0)作为磁场均匀性评价指标进行定量计算，计算结果如表1所示。

从表1可以看出，本文方法和求导方法得到的参数下，相同范围内的线圈的磁场偏差率保持在同一数量级且基本相近，这说明本文提出的方法是有效的，能够代替传统的求导寻优。

表1 单组线圈中心轴线磁场偏差率Table 1 Magnetic field deviation rate of single set of coils along central axis

3.2 优势性验证

本文以2组亥姆霍兹线圈(如图3所示)的参数优化为例，通过与传统的求导方法进行对比说明本文所提方法具有一定的优势性。这里，假设均匀性指标为：沿着轴线方向，以轴线中点为中心的0.6倍线圈长度范围内，磁场偏差率小于0.05%。

3.2.1 两组亥姆霍兹线圈均匀磁场优化设计

首先采用本文提出的方法进行参数优化。以磁场偏差率f=|B(z)-B(0)|/B(0)为目标函数，采用粒子群优化算法对如图3所示的2组亥姆霍兹线圈的结构参数进行优化，得到最优参数为k1=a1/l=0.293 4，k2=a2/l=1.101 4，k3=N1/N2=0.465 9。由于线圈的匝数只能为整数，为了尽可能接近k3=N1/N2=0.465 9，将匝数比设置为整数比k3=N1/N2=7/15≈0.466 7。固定该匝数比，按照图4所示流程图，对间距参数k1和k2进行再次寻优，得到最终的最优参数为k1=a1/l=0.294 2，k2=a2/l=1.103 0，k3=N1/N2=7/15。

最后，在结构参数固定的情况下，调整电流的大小，使2种情况下中心点处产生的磁感应强度大小一致，从而更直观地体现2种情况下磁场均匀性的好坏。2种情况的参数设置如表2所示。

按照表2的结构参数，将其代入式(7)，通过MATLAB软件计算得到2种参数情况下线圈中心轴线上的磁场如图5所示。

从图5中可以定性看出，本文方法得到的磁场均匀性明显优于传统求导方法的磁场均匀性。为了定量说明本文方法具有优势，在图5所示的线圈中心轴线1 m长度范围内，以磁场偏差率f=|B(z)-B(0)|/B(0)作为磁场均匀性评价指标进行定量计算，计算结果如表3所示。

图5 两种参数情况磁场分布均匀性对比Fig.5 Comparison of magnetic field distribution uniformity between two different parameters

轴线长度/m磁场偏差率本文方法传统求导方法0.21.8471×10-51.2616×10-40.46.5529×10-56.2984×10-40.62.6851×10-40.00390.80.00640.020710.03560.0702

从表3可以定量看出，求导寻优得到的参数在0.6 m范围内无法满足磁场偏差率小于0.05%的均匀性指标，而智能优化算法寻优得到的参数能够满足。在轴线长度0.2、0.4和0.6 m的范围内，传统求导方法与本文方法的磁场偏差率不在同一数量级，二者的比值分别为6.83、9.61、14.52，采用本文方法求得的结构参数明显优于传统的求导寻优结果，且由中点沿轴线向两侧延伸，本文方法的优势越发明显。

3.2.2 最优参数的可信度检验与评估

下面采用有限元法对智能优化算法得到的最优参数的可信度进行检验与评估，同时，为了进一步说明智能寻优优于传统的求导寻优，本文在这部分对求导寻优得到的参数也进行有限元仿真，比较二者在更真实的仿真情况下的磁场分布。

按照表2所示的结构参数，在Ansoft Maxwell软件中建立如图6所示的有限元数值仿真模型，其中，为了更符合工程实际情况，线圈的缠绕宽度设定为10 mm，缠绕厚度设定为4 mm，方形线圈4个直角处均以半径为50 mm、R角为90°的圆弧平滑过渡。通过有限元计算，得到本文方法参数和求导方法参数下xOy平面和xOz平面的磁场分布情况，如图7所示。

从图7可以看出，在xOy平面和xOz平面中心区域的很大范围内，无论是本文方法还是传统的求导优化方法，磁场都呈现高度均匀分布，为了更直观地比较2种方法磁场分布的均匀性，取z轴1 m长度范围内的磁场进行考察，将Ansoft Maxwell软件中的仿真结果导出，在MATLAB中作图，结果如图8所示。

对比图8和图5可以看出，有限元法求得的中心点处的磁感应强度大小与解析式求得的结果存在一定的偏差：在智能优化参数下，二者的相对偏差为5.51%；在求导优化参数下，二者的相对偏差为4.55%。这说明纯解析计算与接近实际情况的有限元计算存在一定的偏差，通过优化算法得到的结果的可信度必须经过检验与评估。

图7 不同平面磁场分布Fig.7 Magnetic field distribution in different planes

这里，主要关注的是磁场的均匀性指标。从图8可以看出，单就磁场的均匀性而言，有限元法计算得到的轴线中心点附近的磁场依然具有良好的均匀性。根据图8中的仿真数据，将磁场均匀性进行量化，计算磁场偏差率，将本文方法参数和传统求导方法参数下的有限元计算结果进行比较，如表4所示。

从表4可以看出，在考虑了线圈缠绕宽度、缠绕厚度及R角的情况下，智能优化算法参数下的有限元仿真结果依然满足磁场偏差率小于0.05%的均匀性指标，因此，该结构参数可以得到确认。另外，在轴线长度0.2 m和0.4 m的范围内，传统求导方法与智能优化算法的磁场偏差率相差很小，可以看做基本一致，但是在轴线长度0.6 m的范围内，二者的比值达到了4.29，这与3.2.1节中仿真结论“由中点沿轴线向两侧延伸，本文方法的优势越发明显”相一致，说明智能优化算法优于传统的求导寻优。

图8 z轴磁场分布Fig.8 Magnetic field distribution in z axis

轴线长度/m磁场偏差率本文方法传统求导方法0.28.3268×10-59.2408×10-50.43.2363×10-43.7401×10-40.63.9642×10-40.00170.80.00560.017410.03590.0678

4 结 论

针对多线圈均匀磁场优化设计中的高阶求导及优化结果可信度评估问题，本文提出一种基于智能优化算法和有限元法的多线圈均匀磁场优化设计方法，主要得到以下结论：

1) 较传统的亥姆霍兹线圈，多线圈系统能够扩大磁场的均匀区域，但是其参数优化设计如果仍采用传统的求导优化方法，会增加问题求解的复杂度。

2) 在多线圈系统的参数优化问题中，本文方法要优于传统的求导寻优，对于2组方形亥姆霍兹线圈，在其中心轴线长度为线圈边长的0.2倍、0.4倍和0.6倍的范围内，传统求导方法与本文方法的磁场偏差率不在同一数量级，二者的比值分别为6.83、9.61、14.52，说明由中点沿轴线向两侧延伸，本文方法的优势越发明显。

3) 通过引入有限元法进行验证，一方面能够对本文方法求得的参数的可信度进行检验与评估，另一方面也验证了本文方法优于传统的求导寻优。