回收率不确定闭环供应链零售商最优订购策略

邢光军　夏敏

摘要：以零售商订购行为和库存控制为研究对象，考虑回收率不确定及订购数量问题，建立零售商单位成本的数学模型，确定零售商最优订购时间、缺货点及最优经济订购量。研究结论表明：随着订货周期延长，零售商单位成本呈下降趋势；随缺货时间的缩短，零售商平均成本下降；回收率增加，零售商单位成本下降。

关键词：零售商回收；经济订购量模型；逆向物流

一、引言

近年来，国内外学者逐渐倾向于从回收角度开始零售商回收衍生的逆向物流问题。罗冰等研究需求和采购时变的EOQ模型，考虑缺货情境中资金时间价值等因素对库存管理的影响。Jaber等认为将热力学第一和第二原理应用到库存管理，会降低发生紊乱的可能性，提出熵订购量模型，考虑了产品变质对库存的影响，产品更快分销，产品变质降低额外成本支出。聂佳佳等探讨联合采购对零售商回收策略的影响。Sandun Perera等在传统EOQ模型中引入关于订购成本和持货成本的假设，拓展现有（s，S）型库存策略，指出改进EOQ模型中总存在一个非（s，S）型备选存储方案。Cheng Kang Chen等以补给产品的数量和回收率作为决策变量，得到零售商价格决策模型，以确保零售商利润最大化。

本文从零售商角度出发，基于传统EOQ模型，在Chen等基础上引入缺货成本、库存影响销售系数和缺货造成的销售损失成本，研究存在回收环节的零售商成本最小化问题，并探究缺货情境下零售商最优库存控制策略。

二、零售商回收模型

零售商将待出售商品和从消费者处回收的废旧产品均存储在零售商库存内，回收废旧产品需支付消费者一定费用，存储过程中产生持货费用。制造商将废旧产品汇总收回后进行再制造和废弃处置，需支付零售商一定的回收费用。

提出如下假设：

1.模型中产品订购单价恒定；

2.设时刻的需求函数为：D（t）=D+a·I（t），I（t）≥0D，I（t）<0

D为单位基本需求量，a为在库产品数量对销售率的影响系数，D，a均为正常数；I（t）为时刻零售商在库库存量；

3.缺货影响因子δ，缺货率 ，（T-t0）顾客等待时间，缺货量 ，t1≤t≤T，δ>0；

4.销售率是库存量的函数；

5.前i周期回收率τ为∑ τ0ri-1=τ0/（1-r）；

6.回收产品的成本函数ln（a）=PLτ2，回收率，PL换算因子；

7.C（t0，T，τ）为零售商单位时间内的成本函数。

定义T表示一个订货周期，t0表示每订购周期内缺货点，t0是关于T的函数，t0和T为决策变量。每次购买产品订购费为K，每单位产品可变成本为Cp，Q为每周期订货数量。每单位产品存储成本为h。t时刻缺货量S（t），S表示每周期内最大允许缺货量，单位产品单位时间内缺货费用为cs。单位缺货产品造成销售损失的沉没成本为cr。A为回收废旧产品所需要支付的单位费用， B为零售商将回收废旧产品卖给制造商所获得的单位收入，且满足B-A>0。

三、模型建立及求解

I（t0）=0，库存量状态变化方程为 =-D-aI（t），0≤t≤t0（1）

代入（1）每个周期库存量最大值为I（0）= （2）

缺货周期内消费者等待的产品数量为S（t）：

= ，t ≤t≤TS（t ）=0（3）

求解（3）：S（t）= dx（4）

式（4）知订货周期T内最大缺货量

S=S（T）= dx（5）

每个订货周期内订货数量Q=I（0）+S= + dx（6）

因此零售商每个订货周期成本由5部分组成：

1.每周期采购成本为K+cpQ=K+cp[ + dx]

2.每周期持货成本为h I（t）dt=h dt=

3.每周期缺货成本cs S（t）dt=cs dxdt=cs xdx

4.每周期回收成本为PLτ2

5.每周期回收收益为（B-A）RQ=（B-A）τQ=（B-A）τ + dx

因此零售商单位时间内成本C（t0，T，τ）表示为：

C（t0，T，τ）= [K+cpQ+h I（t）dt+cs S（t）dt+cr（（T-t0）D-S）+PLτ2-（B-A）τQ]= （K+cp（ + dx）+ +cs ）dx+PLτ2-（B-A）τ（ + dx））（7）

因此零售商库存最小成本可表示为：

minC（t0，T，τ） s.t. 0≤t0≤T，0≤τ≤1

运用Mathematica 9.0进行计算，得到如下定理。

订货周期内，在库产品数量影响的销售收入远高于缺货影响销售的沉没成本，回收收益大于回收成本和投入，因此在订货周期内，存货越少，零售商单位成本越低，即零售商最小庫存成本不存在。

定理1：对？坌T>0，minC（t0，T，τ）没有最优解。

证明：对？坌T>0，式（7）关于t0求偏导，得：

=

+ + +（ +2e Log[e]）cp-

（8）

a∈[0，1]，lolg[a]≤0，所以， ≤0， <0；，B-A>0，τ∈[0，1]，τ（A-B）<0，（（T-t0）2δ+2e （1+（T-t0）δ）2Log[e]-2t0）>（（T-t0）2δ+ （1+（T-t0）δ）2-2t0）

τ（A-B）（（T-t0）2δ+2e （1+（T-t0）δ）2log[e]-2t0）<0， +2e log[e]<δ（T-t0）2-t0<-2t0<0，（2t0（t0-T）δ-3t0-T）<0，t0-T<0，故 <0在T>0恒成立，则C（t0，T，τ）关于t0递减，C（t0，T，τ）最小值为C（T，T，τ）= ，M= >0，N= >0，W= <0。C（T，T，τ）对T求偏导数，对？坌T∈（0，+∞），下式成立： = - <0，故C（T，T，τ）关于T递减，minC（t0，T，τ）无最优解。证毕

回收率越高，每个订货周期回收收益高于回收成本，产品回收数量取决于订货周期内订货数量，由定理1知：订货周期内，存货量越低，零售商平均成本越低，购买量增加。

定理2：对？坌T>0，单位时间平均成本函数C（t0，T，τ）是关于回收率τ的凹函数，且单调递减。

证明：对？坌T>0，式（8）关于τ求偏导，可得：

=

+ + （9）

对式（9）关于τ求二阶偏导数，可得： = （10）

P >0，式（11）得到的结果恒为正，二阶偏导大于0，式（10）在τ∈[0，1]递增，τ∈[0，1]原函数C（t0，T，τ）在τ∈[0，1]上为凹函数。

以下证明（7）单调性。a，？鄣∈[0，1]， >0，所以 在τ=1处取最大值，有 <1，所以 < （ + ），又B>A，所以 <0恒成立，由此可得 最大值仍小于0，零售商单位时间平均成本函数C（t0，T，τ）在τ∈[0，1]单调递减。故：对？坌T>0，C（t0，T，τ）为单调递减凹函数。证毕

定理3 若K+PLτ2

证明：已知t0是关于T的函数，单位时间平均成本函数可表示为：

C（t0（T），T，τ）= [K+cpQ+h I（t）dt+cs S（t）dt+cr（（T-t0（T））D-S）+PLτ2-

（B-A）τQ（11）

C（t0（T），T，τ）关于T可导，最优值点满足 =0，由式（11）得到如下：

=- P（T）（12）

P（T，τ）=K-τ（B-A） + +

+PLτ2+cp

+ +

csD （13）

求 =0即求 =0，对P（T，τ）关于求偏导得：

=

（14）

式（14）小于0恒成立，因此函数P（T，τ）关于T严格递减。又 t0（T）=0，因此 P（T，τ）=K+PLτ2>0。T→∞时，有：

P（T，τ）=K-τ（B-A） - + +PLτ2。

若K+PLτ2

四、算例分析

（一）数值算例

D（t）=800+0.4I（t），I（t）≥0800，I（t）<0，K，=1200，cp=10元，h=3元，cs=2元，PL=2000，a=0.4。A=4元/单位，B=10元/单位，τ为34.32%，缺货影响因子？鄣=2.3。

得出零售商最佳购买周期T*=14.4天，最佳缺货点t0*=8.6天，经济订购量Q=64095单位，单位时间零售商平均成本C*=24323元。

（二）灵敏度分析

1. 购买周期的敏感性分析

随着T的增加，零售商平均成本先下降至最优购买周期T*处，由产品变质等原因，平均成本短时间内激增，但顾客愿意等待补货，收益流失尚可控，成本随后继续下降。建议如下：零售商延长购买周期，降低持货和购买成本，同时增强消费者忠诚度，以保证机会成本不会激增，同时延长回收周期，回收收益也可调和零售商在这段期间内需要支付的成本。

2. 缺货时间点的敏感性分析

随着的增加，缺货时间点延后，库存量满足部分市场需求，由缺货带来损失成本也降低，一段采购周期内采购产品数量减少，零售商购买产品的采购成本也降低。

（3）回收率的敏感性分析

随着回收率的增加，采购周期内回收产品数量增加，回收收益增加，调和零售商成本，零售商平均成本会随回收率增加而降低。建议如下：零售商可通过宣传、优惠等激励策略提升回收率，增加回收环节收入，降低零售商成本。

五、结论

本文探究回收率不确定情境下零售商的最优经济订购问题和库存策略问题，以降低零售商单位时间成本。通过分析零售商采购周期、缺货时间点及回收率对零售商平均成本的影响，建立存在回收环节的零售商成本模型，提出零售商库存管控策略，确定了产品最优购买周期、缺货时间点及零售商回收率，从而解决了零售商经济购买量、单位平均成本的优化问题。

参考文献：

[1]罗兵，杨帅，熊中楷.短缺量拖后率、需求和采购价均为时变的变质物品EOQ模型[J].中国管理科学，2005（03）.

[2]Jaber M Y， Bonney M C， Rosen M A， et al. Entropic order quantity （EnOQ） model for deteriorating items[J]. Applied Mathematical Modelling， 2009（01）.

[3]聂佳佳，张娜娜.联合采购对存在强势零售商闭环供应链回收策略的影響[J].系统管理学报，2015（01）.

[4]Perera S， Janakiraman G， Niu S， et al. Optimality of（s，S）policies in EOQ models with general cost structures[J]. International Journal of Production Economics， 2016.

[5]Chen C， Weng T， Lo C， et al. Optimal replenishment quantity for new products and return rate of used products for a retailer[J]. Applied Mathematical Modelling， 2016（23）.

*基金项目：国家自然科学基金“学习效应嵌入下动态决策单元DEA效率评价与管理目标设定的研究及应用”（71771126）；江苏省社会科学基金资助项目（14HQ005）；江苏省研究生科研与实践创新计划项目“回收不确定的闭环供应链双源库存控制策略”（KYCX17_0807）。

（作者单位：南京邮电大学）