例析构造三角形中 位 线

冯海亮

在初中几何中，有关三角形、四边形的问题中时常会出现线段的中点，在这种情况下，我们可以联想构造三角形中位线，将图形中分散的线段集中起来，从而解决问题。

A.3 B.4 C.2 3 D.32

图1

【解析】如图2，取BC的中点G，连接EG，根据三角形的中位线定理得：EG=4。设CD=x，则EF=BC=2x，证明四边形EGDF是平行四边形，可得DF=EG=4。

图2

【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质、三角形中位线定理，通过辅助线构造三角形的中位线是解题关键。

例2 如图3，在△ABC中，用直尺和圆规作AB、AC的垂直平分线，分别交AB、AC于点D、E，连接DE。若BC=10cm，则DE= cm。

图3

【解析】直接利用线段垂直平分线的性质，得出DE是△ABC的中位线，进而得出答案。

解：∵用直尺和圆规作AB、AC的垂直平分线，

∴D为AB的中点，E为AC的中点，

∴DE是△ABC的中位线，

故答案为：5。

【点评】此题主要考查了基本作图以及线段垂直平分线的性质，正确得出DE是△ABC的中位线是解题关键。

例3 如图4，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，∠ACD=∠ABC=90°，E、F分别为AC、CD的中点，∠D=α，则∠BEF的度数为 （用含α的式子表示）。

图4

【解析】根据直角三角形的性质得到∠DAC=90°-α，根据角平分线的定义、三角形的外角的性质得到∠CEB=180°-2α，根据三角形中位线定理、平行线的性质得到∠CEF=∠DAC=90°-α，结合图形计算即可。

解：∵∠ACD=90°，∠D=α，

∴∠DAC=90°-α，

∵AC平分∠BAD，

∴∠DAC=∠BAC=90°-α，

∵∠ABC=90°，E是AC的中点，

∴BE=AE=EC，

∴∠EAB=∠EBA=90°-α，

∴∠CEB=180°-2α，

∵E、F分别为AC、CD的中点，

∴EF为△ACD的中位线，

∴EF∥AD，

∴∠CEF=∠DAC=90°-α，

∴∠BEF=180°-2α+90°-α=270°-3α。

故答案为：270°-3α。

【点评】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质、角平分线的定义，掌握三角形的中位线性质是解题的关键。

例4 如图5，在四边形ABCD中，AB=CD，G、H分别是BC、AD的中点，BA、CD的延长线分别交GH的延长线于点E、F，猜想∠AEH与∠DFH的关系，并说明理由。

图5

【解析】如图6，连接BD，设BD的中点为M，连接HM、GM。利用三角形中位线，证得△HGM是等腰三角形，则∠MHG=∠MGH。利用三角形中位线定理、平行线的性质推知∠MHG=∠AEH，∠MGH=∠DFH，根据等量代换证得∠AEH=∠DFH。

解：∠AEH=∠DFH。

理由如下：如图6，连接BD，设BD的中点为M，连接HM、GM。

图6

∵点H是AD的中点，

∴∠MHG=∠AEH。

∴∠MGH=∠DFH，

又∵AB=CD，∴GM=HM，

∴∠MHG=∠MGH，∴∠AEH=∠DFH。

【点评】本题主要考查三角形的中位线定理，熟练运用三角形的中位线定理进行线段转换是解题关键，构造合理的辅助线是解题难点。

“有中点，取中点，连中点，造中位线”，这是中点处理常见策略之一。只要你熟练掌握此策略，对于看不见的中位线，也能构造合理的辅助线，任题目变化多端，也能叫它原形毕露！