电力系统经济调度的正余弦优化算法的仿真研究

熊国江， 张 靖， 何 宇

(贵州大学 电气工程学院, 贵阳 550025)

0 引 言

经济调度(economic dispatch，ED)是指通过合理分配各台发电机的发电功率，使总发电费用最小，从而达到节能降耗的目的，在此过程中需要满足一定约束条件。在数学上，ED问题是一个典型的含多重复杂约束条件的非线性优化问题，而发电机阀点效应的引入进一步加剧了该问题的求解难度。为了有效求解ED问题，国内外学者提出了诸多求解方法，一类是传统数学规划方法。这类方法以梯度信息为基础，具有严密的数学逻辑，但对初始点和梯度较为敏感，在求解多峰优化问题时容易陷入局部寻优。

现代智能优化方法作为计算机技术与人工智能技术不断发展的产物，其兴起为ED问题的求解提供了另外一种新途径。智能优化算法在求解过程中摒弃了梯度信息的计算，从而对初始点的选择不敏感，不依赖梯度信息，具有良好的全局搜索能力。目前已成功应用于ED问题中的智能优化算法包括:进化规划算法(evolutionary programming, EP)[1],遗传算法(genetic algorithm, GA)[2]，粒子群优化算法(particle swarm optimization, PSO)[3-8]，市场交易算法(exchange market algorithm, EMA)[9]，差分进化算法(differential evolution, ED)[10-12]，布谷鸟算法(cuckoo search, CS)[13]，人工蜜蜂群算法(artificial bee colony, ABC)[14-15]，萤火虫算法(firefly algorithm, FA)[16]等。

根据“没有免费的午餐”(no-free-lunch theorem)理论[17]，没有任何一种优化方法能永远保持最优。该理论也激励研究者们不断寻找更加高效的方法来求解ED问题，探讨其他方法在该问题上的可行性和有效性，丰富ED问题的求解思路。正余弦优化算法(sine cosine algorithm, SCA)[18]是近年来提出的一种新的智能优化算法，采用正弦函数与余弦函数完成迭代运算，其设计遵循简单、快速的原则，算法无需额外调节的参数，从而提高了应用的便利性。与GA、PSO等相比，SCA在多峰优化问题上表现出了较强的竞争力。基于上述背景，本文将SCA算法应用于求解ED问题，探讨该求解方法的可行性和有效性。在Matlab软件平台[19-21]上，计及了阀点效应、爬坡率约束、运行禁区约束等实际情形，利用一种规避罚因子方法来处理ED问题的多重复杂约束条件，通过3个不同类型算例从不同角度验证了SCA算法的优化性能。仿真实验结果表明，与GA和PSO相比，SCA算法可以快速获得更加稳定、经济的调度方案。

1 ED数学模型

1.1 目标函数

ED是一个非线性优化问题，可描述为[22]：

(1)

式中：C为发电费用；N为并网发电机台数；P=[P1,P2,…,PN]为发电机组出力向量；Pn为第n台发电机的出力；Fn(Pn)为第n台发电机的成本函数；gj(P)和hj(P)分别为不等式约束和等式约束。传统上，Fn(Pn)可近似为如下二次函数[2-4]：

(2)

式中，an、bn、cn为成本系数。

火电机组在实际运行过程中存在阀点效应，该效应可表示为[3-4]：

(3)

阀点效应使目标函数存在很多极值点，极大地增加了ED问题的优化难度。

1.2 约束条件

供需平衡约束：

(4)

式中：Pdem为总负荷；Ploss为总网损。一般计算如下[2-4]：

(5)

式中，Bij、B0i、B00分别为常数系数。

发电机出力约束：

(6)

发电机爬坡率约束：

(7)

n=1,2,…,N

式(6)和式(7)可以统一为：

(8)

发电机运行禁区约束：发电机在实际运行过程中，受自身或某些辅机的影响，不能运行在某些区域内，否则可能会造成设备损坏。

(9)

2 SCA算法

SCA算法的设计遵循简单、快速的原则，每个个体可表示为：

Xi=[xi,1,xi,2,…,xi,D]，i=1, 2, …, NP

NP为种群规模。SCA的迭代过程仅仅依据式(10)和式(11)所示的正弦函数与余弦函数实现：

(10)

(11)

式中，G=[g1,g2,…,gD]为最优个体；r1随机分布于(0,1)范围内，r2随机分布于(0,2π)范围内，r3随机分布于(0,2)范围内。

SCA在迭代过程中，采用一个(0,1)范围内的随机数r4来选择式(10)或式(11)。SCA算法流程：

1. 初始化种群X=[X1,X2,…,XN]

2. 计算种群所有个体的目标函数值

3. 初始化迭代次数t=1

4. While终止判据未满足do

5. 通过目标函数值确定最优个体G

6. fori=1 to NP do

7. ford=1 to D do

8. 生成随机数r4

9. ifr4<0.5 do

10. 采用式(10)更新xi,d

11. else

12. 采用式(11)更新xi,d

13. end if

14. end for

15. end for

16. 计算所有更新个体的目标函数值

17.t=t+1

18. End while

3 SCA算法的ED求解流程

基于SCA算法的ED问题求解流程如图1所示。首先输入系统相关参数并初始化SCA，然后按照SCA的流程进行循环迭代，待达到终止条件后，结束SCA并输出优化结果，从而获取所有发电机的出力分配方案。值得说明的是，在计算每个个体的目标函数值之前，需要对其进行处理以满足所有约束条件。本文采用文献[23-24]中提出的规避罚因子方法来处理约束条件。

图1 基于SCA算法的ED求解流程

4 Matlab的算例仿真

4.1 测试系统

采用3个系统来检测SCA算法：

(1) 13机系统和40机系统[1]，均考虑发电机阀点效应；

(2) 15机系统[9]，考虑发电机爬坡率约束、运行禁区约束和系统网损。

4.2 仿真结果

为了测试SCA的优化性能，采用GA和PSO进行对比，各算法独立执行50次。所有仿真均在Matlab R2010b中进行，硬件参数为3.70 GHz CPU，8 GB内存。对于所有算法，NP=100，最大迭代次数Tmax=100×D。3个算例的实验结果列于表1～3中，平均成本对应的收敛曲线见图2～4。

表1 13机系统仿真结果(算例1)

表2 15机系统仿真结果(算例2)

表3 40机系统仿真结果(算例3)

4.3 结果分析与比较

(1) 经济性比较。算例2的目标函数是二次函数，运行禁区使其解空间呈现出多分段、非连续特性，但其解空间只有一个极值点，对求解方法的局部寻优能力要求较高。由表2可知，SCA在50次独立重复实验中，不管是最大成本、最小成本还是平均成本均最优，表明SCA的局部搜索能力较强。

图2 算例1收敛曲线

图3 算例2收敛曲线

图4 算例3收敛曲线

算例1和3考虑了发电机阀点效应，解空间具有很多极值点，对求解方法的要求更高，特别是算例3，其维度更多，解空间更加复杂，不仅要求求解方法能实现局部精细搜索，而且还需要有足够的摆脱局部极值点吸附的全局搜索能力。由表1和表3可知，SCA的优化结果均优于GA和PSO的优化结果，且在40机系统上的优势更大，说明SCA可以有效跳出局部极值点，朝着更优的方向继续搜索。

此外，与部分文献的仿真结果比较，SCA也表现出了很强的竞争力。

(2) 快速性比较。虽然ED问题的首要目标是提高系统经济性，节能降耗，但对求解方法的求解速度也有一定要求。由表1～3可知，SCA在3个算例上的求解耗时分别为6.39、20.12、56.61 s，求解速度最快，能满足ED问题的求解需求，这也正是SCA遵循简单、快速的设计原则的结果。

(3) 收敛性比较。由图2～4可知，GA的收敛速度最慢；PSO虽然在前期的收敛速度较快，但后期明显呈现停滞现象，特别是对于13机系统和40机系统，表明算法在进化后期陷入了局部搜索，产生早熟； SCA自始至终均保持较快的收敛速度，从另一个角度表明该算法能有效跨过局部极值点，具有较强的全局搜索能力。

(4) 鲁棒性比较。标准差可以用于评价一个算法的鲁棒性。由表1～3可知，SCA在3个算例上50次仿真结果的标准差分别为20.53、2.29、46.37，均小于其他方法，表明该算法的稳定性较好，即具有较强的鲁棒性。

5 结 语

本文将SCA算法应用于求解ED问题，通过3个算例从经济性、快速性、收敛性、鲁棒性4个角度验证了该方法的求解性能。仿真结果表明，与其他算法相比，SCA算法能有效兼顾局部搜索和全局搜索，表现出了较强的竞争力，可作为ED问题求解的一种有效方法。