证题过程不轻言易证——由数学问题2264解答引发的追问

郑步春

(江苏省盐城市教育科学研究院 224002)

细读《数学通报》2015.10期数学问题2264解答过程，其中有一步骤是易证两个三角形全等. 观察这两个三角形，有两组对边相等，要证明其全等，还少一个条件.另一方面，纵观证题过程∠C=2∠B条件就没有引用. 由此引发的追问如下.

1 这题的结论一定不成立吗

取特殊情形. 若∠BAC=90°，此题成为：

已知△ABC,∠A=90°,∠ABC=30°,点D在BC上，点E在线段AD上，∠BED=∠CED=60°.

求证：BD=2DC.

证明过点B作BF∥AC,与AD的延长线交于点F.连接CF，

△BFC为等边三角形⟹BF=BC.

又在Rt△ABC中，∠ABC=30°⟹

BD=2DC.

由此可见:原题结论是可能成立的.

2 这题的条件∠C=2∠B是多余的吗

调换题目中的条件∠C=2∠B与结论BD=2DC.该题成为：

已知△ABC,点D在BC上，且BD=2DC,点E在线段AD上，∠BED=∠CED=90°-∠ABC.

求证：∠ACB=2∠ABC.

证明过点B作AD的垂线与AD的延长线交于点Q,与EC的延长线交于P.

因为∠BED=∠DEC,BP⊥AQ，

所以Q为BP的中点.

又BD=2DC，

所以D为△EBP的重心，

所以C为EP的中点.

又∠EQP=90°，

所以∠ECQ=2∠EPQ.

又∠CEQ=90°-∠ABC，

所以∠EPQ=∠ABC，∠ECQ=2∠ABC.

(1)

过点B作直线与AB垂直且与AQ延长线交于点F,连接CF,则

∠CBF=90°-∠ABC=∠CEF,

(2)

所以E,B,F,C四点共圆，

所以∠BCF=∠BEF.

又∠BEF=∠CEF，

所以∠BCF=∠CEF.

(3)

由(2),(3)得∠CBF=∠BCF,

所以BF=FC.

在Rt△ABF中,BQ⊥AF,

所以BF2=FQ·FA,从而FC2=FQ·FA,

所以△CFQ∽△AFC

所以∠QCF=∠FAC.

(4)

又∠CEF=∠ACE+∠EAC，

(5)

∠BCF=∠BCQ+∠QCF，

(6)

综合(3),(4),(5),(6)得∠BCQ=∠ACE.

又 ∠ACB=∠ECD+∠ACE,

∠ECQ=∠ECD+∠BCQ,

所以∠ACB=∠ECQ.

(7)

由(1),(7)得∠ACB=2∠ABC.

由此可见:条件∠C=2∠B是结论BD=2DC成立的必要条件. 原证题过程中∠C=2∠B没用引用，表明原证题是有问题的.

3 这题的结论一定成立吗

已知△ABC,点D在BC上，且∠ACB=2∠ABC.点E在线段AD上，∠BED=∠CED=90°-∠ABC.

求证：BD=2DC.

分析根据已知条件∠BED=∠DEC,过点B作AD所在直线的垂线，与AD的延长线交于点P,与EC的延长线交于点Q.从而构造了等腰△EBQ,P为BQ的中点. 因此，结论BD=2DC成立，与D是△EBQ的重心是等价的. 相应地，只要证明点C为EQ的中点，又∠APQ=90°,即只要证明PC=CE.

设∠DEC=β,∠ABC=α,则∠ACB=2α,α+β=90°,为此，只要证明∠EPC=∠CEP=β，即只要证明∠ECP=2α. 如图示，即证∠1=∠2.

又∠2+∠3=β.以CB为边，作∠BCS=β,与AP延长线交于S,连BS.

由∠BCS=∠BED=β知B,S,C,E四点共圆,所以∠CBS=∠CES=β.相应地，SB=SC.

又∠ABC=α,α+β=90°,所以∠ABS=90°,从而SB2=SP·SA,即

SC2=SP·SA,所以△SPC∽△SCA, 因此，∠PCS=∠CAS=∠3.

从而∠1+∠3=∠BCP+∠PCS=∠BCS=β,所以∠1=∠2.

综上分析，这题的结论是成立的.

4 原证题过程错在哪个环节

正如本文开头所述，错在易证△BQC≌△PQC.结合原证题过程，在此环节可改证：

∠CFB=180°-∠BEC

=180°-2∠BEF

=180°-2(90°-∠ABC)

=2∠ABC

=∠ACB.

所以AC为四边形BFCE外接圆的切线. 从而∠PCF=∠CBF=∠BCF.即原证题过程中所要的结论∠BCQ=∠PCQ.