海底管道整体屈曲摄动解与Galerkin解的对比分析

吉婷婷，李成凤，刘 润

(天津大学 水利工程仿真与安全国家重点实验室，天津 300350)

*通讯作者：刘润(1974-)，女，河北省人，教授，博导，主要从事结构物与土的相互作用研究。E-mail: liurun@tju.edu.cn。

20世纪70年代起，管道运输已经成为世界上大多数国家运输油气的主要方式之一[1-2]。随着人口增加，能源消耗与日俱增，浅海油气的开发已经无法满足人们日常生活工作的需求，因此海洋油气开发亟待走向深海[3]。由于管道内承载着大量油气，而且考虑到环境的制约，海底管道维修困难，一旦发生屈曲甚至破坏，就会导致油气泄漏，不仅造成资源的严重浪费，而且会对海洋生物及人类的安全构成威胁。因此研究高温高压下海底管道的水平向整体屈曲，有着重要的理论意义和工程价值。

Hobbs[4]和Taylor[5]推导的海底管道发生水平向整体屈曲的理论解被认为是经典的理论解，因此被广泛应用于实际的管道设计中。但该理论解均将土体抗力简化为库伦摩擦或线弹性行为，即土体抗力为固定值，因此管道屈曲控制方程均为线性微分方程。而在实际工程中，管道受到的土体抗力是动态变化的，因此上述理论解在一定程度上不能真实反映管道发生水平向整体屈曲时的形态和特点。

本文基于非线性土体抗力模型，运用摄动法和Galerkin法求解理想管道与具有初始缺陷管道水平向整体屈曲，并分析了两种方法的差异。

1 管道整体屈曲的摄动解

1.1 理想管道水平向整体屈曲的摄动解

高温高压作用下，理想管道可能发生多阶屈曲模态的水平向整体屈曲，取管道屈曲的微元段受力分析，得到理想管道水平向整体屈曲的控制方程[6]为

(1)

式中：E为杨氏模量；EI为管道的弯曲刚度；w为管道水平向屈曲位移；假设非线性土抗力F的函数表达式为

F=kw-ew2+hw3

(2)

将式(3)代入控制方程(1)，系数ε、ε2……依次设为零，得到关于w1、w2、……的一系列有序的线性微分方程。通过求解各级线性微分方程，得到理想管道水平向整体屈曲w的表达式

w=A1cos(ωx)ε+(A2+A3cos(2ωx))ε2+A4cos(3ωx)ε3

(3)

式中：

(4)

A1由ε3得到的第三个线性微分方程求解

(5)

抑制上式(5)中的长期项，并代入A2和A3的值，得到关于A1(X)的二阶非线性微分方程

(6)

1.2 具有初始缺陷管道水平向整体屈曲的摄动解

引进Wang[7]研究中所述的初始缺陷表达式进行分析。

(7)

式中：l01为管道初始缺陷的波长，m；w0m为初始缺陷的幅值，m。

根据理想管道的水平向整体屈曲，得到具有初始缺陷管道水平向整体屈曲的控制方程为

(8)

将式(3)和式(7)带入式(8)，得到屈曲轴力表达式

(9)

1.3 一阶至四阶摄动解的差异

基于摄动法求解理想管道水平向整体屈曲，分析一阶至四阶摄动法解的区别。为便于计算，假设k=1，e=1，h=1，EI=1。运用摄动法求解式(1)，得到理想管道屈曲形态的一阶至四阶摄动法解(图1)。

由图1可知，管道屈曲形态的一阶和二阶摄动法解相差较大，但管道屈曲形态的二阶、三阶与四阶摄动法解相差较小。因为在求解过程中A1的大小至关重要，在进行三阶摄动法的迭代时，得到了求解A1的表达式，在进行四阶以后的迭代发现，A1的大小几乎不影响结果，因此选用三阶摄动法解作为管道屈曲的最终形态。

2 管道整体屈曲的Galerkin解

2.1 理想管道水平向整体屈曲的Galerkin解

图1 管道水平向整体屈曲图Fig.1 Lateral global buckling of a pipeline

1997年，Whiting[8]运用Galerkin解法，假设结果为关于小参数的泰勒级数，推导出函数形式为F(w)=kw-cw3的非线性土抗力模型下弹性梁的整体屈曲，弹性梁和理想管道发生水平向整体屈曲的控制方程相同。但该方法求解过程繁杂、计算量大。

理想管道水平向整体屈曲的控制方程为

(10)

根据线性微分方程特征值的定义，可知式(10)中屈曲轴力的临界值为

(11)

Galerkin解法与非线性摄动法求解式(10)方法类似，但其不采用逐级带入的方式，而是采用等高线积分和残差演算的方式得到方程(10)的渐进解。

根据Galerkin解法，方程(10)的解为

w=A11cos(ωx)ε+B12sin(ωx)ε2+(A13cos(ωx)+A33cos(3ωx))ε3
+(B14sin(ωx)+B34sin(3ωx))ε4

(12)

式(12)中：

(13)

2.2 具有初始缺陷管道水平向整体屈曲的Galerkin解

基于理想管道水平向整体屈曲控制方程，得到含初始缺陷管道水平向整体屈曲的控制方程为

(14)

采用Galerkin解法求解方程(14)，假设含初始缺陷管道的屈曲形态与理想管道屈曲形态相同，得到管道屈曲轴力为

(15)

3 摄动解与Galerkin解的对比

3.1 理想管道整体屈曲解的对比

Galerkin解法中非线性土体抗力模型的函数形式为F(w)=kw-cw3。为了对比的合理性，运用摄动法求解理想管道水平向整体屈曲控制方程时，土抗力模型的函数形式应该是相同的。选取k=1，c=1时的土抗力模型，如图2所示。

基于图2的土抗力模型，分别运用Galerkin解法和摄动法求解理想管道水平向屈曲的控制方程，得到管道水平向屈曲形态(图3)，管道屈曲轴力与屈曲幅值的关系(图4)。

图2 土体抗力模型Fig.2 Soil resistance model图3 管道水平向整体屈曲形态Fig.3 Lateral global buckling of a pipeline

由图3可知，Galerkin解法和摄动法得到管道正向水平向位移与屈曲波长几乎一致，但两者的负向水平向位移略有不同，相差较小。

图4 管道屈曲轴力与屈曲幅值关系图Fig.4 Buckling axial force and lateral buckling amplitude of a pipeline图5 管道水平向整体屈曲形态Fig.5 Lateral global buckling of a pipeline

图6 管道屈曲轴力与屈曲幅值关系图Fig.6 Buckling axial force and lateral buckling amplitude of a pipeline

由图4可知，Galerkin解法和摄动法求解得到的管道屈曲轴力随屈曲幅值的增大逐渐减小，开始时减小的幅度一致，但当屈曲幅值大于1 m时，Galerkin解法中管道屈曲轴力下降的速度略高于摄动法。

3.2 含初始缺陷管道整体屈曲解的对比

Galerkin解法求解理想管道水平向整体屈曲的土抗力模型(图2)，假设管道初始缺陷幅值为0.05 m，管道屈曲波长为2 m。运用Galerkin解法求解含初始缺陷管道水平向整体屈曲，将得到的结果与摄动法进行对比(图5和图6)。

由图5可知，运用Galerkin解法和摄动法求解得到管道正向水平向位移和管道屈曲波长几乎一致，但管道负向水平向位移有较小的偏差，但偏差较小。摄动法解的管道负向水平向位移为0.2 m，Galerkin解法中管道的负向水平向位移为0.1 m。

由图6可知，运用Galerkin解法和摄动法求解得到的管道屈曲轴力均随屈曲幅值的增大而减小，当管道屈曲幅值在0.05～0.9 m时，Galerkin解法和摄动法得到的管道屈曲轴力几乎相同。但当管道屈曲幅值继续增大时，摄动法求解得到的管道屈曲轴力略高于Galerkin解法得到的屈曲轴力。

4 结论

本文以非线性土体抗力模型为基础，运用摄动法和Galerkin法求解了海底管道水平向整体屈曲的解析解，通过对比发现，两者得到的管道整体屈曲结果相差较小，摄动法求解过程简单且易于理解，土抗力的函数表达式可以多元化，而Galerkin法的土抗力函数表达式较为单一，不能反映土抗力变化过程的复杂性。