直觉思维与高中数学问题解决

摘 要：数学是一门抽象性、严谨性和系统性的学科，在数学教学中，教师比较重视抽象逻辑思维的训练，直觉思维往往容易被忽略。本文主要研究了直觉思维的概念，直觉思维与数学问题解决，以及培养学生的直觉思维的策略。

关键词：直觉思维；数学；问题解决；培养方法

一、 直觉思维的定义

直觉思维也称非逻辑思维，它是一种没有完整的分析过程与逻辑程序，依靠灵感或顿悟迅速理解并做出判断和结论的思维。

二、 直觉思维与数学问题解决

在数学问题解决过程中常用的解决问题的方式是先运用直觉找到可能的方法和结论，再运用逻辑推理证明我们的猜想是否正确。彭加勒强调了直觉思维对于数学问题解决的重要性。

（一） 直觉猜想

学生在做题出现思路受阻，问题得不到解决时，此时学生应该从所给的条件和结论入手，大胆猜测证明思路，然后验证我们的猜想是否正确。在数学解题中经常会用到“构造函数法”。其中，函数的构造完全是凭一个人的经验和直觉，是不可能用逻辑推理得到。

例1 设函数f（x）的导函数为f′（x），对任意x∈R都有f（x）>f′（x）成立，则（ ）

A. 3f（ln2）>2f（ln3）

B. 3f（ln2）=2f（ln3）

C. 3f（ln2）<2f（ln3）

D. 3f（ln2）与2f（ln3）的大小不确定

解：由经验和直觉构造函数g（x）=f（x）ex，则：

g′（x）=f′（x）-f（x）ex<0，即g（x）在R上是减函数，所以g（ln2）>g（ln3），即f（ln2）eln2>f（ln3）eln3，即f（ln2）2>f（ln3）3，

所以3f（ln2）>2f（ln3）选A。

（二） 直觉类比

数学中的类比是两个数学对象之间的空间形式与数量之间的相似。在学习高中数学选修2-1空间向量时候，通过类比必修四所学的平面向量引入了空间向量的概念、表示、相同或相等关系、加减运算及其运算律等内容。

例如在平面几何中，设在△ABC中，AB，AC互相垂直，则有勾股定理：

AB2+AC2=BC2，设三棱锥A-BCD的三个侧面ABC，ACD，ADB两两互相垂直，类比平面几何的勾股定理，得到三棱锥的侧面面积与底面面积之间的关系：

平面问题与空间问题进行类比：

多面体多边形 面边

体积面积 二面角平面角

面积线段长

因此凭直觉猜出本题答案：S2△ABC+S2△ACD+S2△ADB=S2△BCD

（三） 直觉连接

在解决数学问题时，经常把一些抽象的概念与具体形象之间相结合，也就是把代数问题与几何图形相互连接。比如，一看到（x-a）2+（y-b）2=r2，就会想到圆心为（a，b）半径为r的圆，一看到f′（x）>0会第一反应想到曲线上升，f′（x）<0立马想到曲线下降。

例2 不等式ax<4x-x2的解集是（0，4]，则a的取值范围是（ ）

A. a≤0

B. a<4

C. a<0

D. a>0

分析：分别作出y=ax与y=4x-x2的图像，从图像上很容易得到结论。

解：令y=ax，y=4x-x2（0≤x≤4），画出图形如下

不等式4x-x2>ax的几何意义是直线处于半圆在（0，4]上的下方可知a<0，所以a的取值范围是a<0，选C。

这里，把不等式转化为函数的图像，解答的关键是借助于直觉洞察力来画出函数的图像，通过观察图像得到答案，这里直觉连接法起了关键的作用，把抽象的代数不等式问题与直观的函数图像连接使得问题变得简单。

（四） 直觉整体法

对数学问题进行整体分析，进行有目的、有意识的整体处理，可以帮助我们在解决问题的时候迅速做出直觉判断，从而使问题得到解决。比如解方程3x+4x=5x，用常规方法根本无从下手，若从整体观察，产生直觉——3，4，5刚好是一组勾股数，所以可以快速得到方程的解为：x=2

三、 直觉思维的培养

直觉思维形成过程可谓只可意会不可言传，经常以顿悟的形式出现，教师不能像讲授知识那样培养学生的直觉思维。在数学教学中教师应结合生活经验，引导学生独立思考。因此在数学教学中不仅重视培养学生的抽象逻辑思维，还要培养学生的直觉思维，两者相结合学生的解题能力才会不断提高。

（一） 要有坚实的基础知识

直觉思维不是凭空想象的，而是以扎实的数学知识为前提的。如果学生对问题没有一定的知识储备，直觉思维就很难产生，从而导致问题得不到解决。知识结构组块越多，经验越丰富，直觉的判断、猜测的成功率也就越大。因此，我们在教学中要抓好学生的数学基础知识。比如学生学习完同角三角函数的基本关系，布置了一道题目：已知sinx+cosxsinx-cosx=3，求tanx的值，很多学生看到题目无从下手，有部分学生很快得出答案：学生已经学习了tanx=sinxcosx，分子分母同时除以cosx，构造成一个关于tanx的方程，直接解方程进而求出答案。直觉思维是在学生具备了扎实的数学基础知识和数学结构的基础上才能产生。

（二） 培养学生观察能力

有了观察才会有发现。瓦特观察烧沸的水会把壶盖顶开，发明了蒸汽机，莱特兄弟观察空气动力学原理发明了飞机，张衡观察月食发明了地动仪，贝尔观察了声音能产生电流的原理发明了电话，爱迪生观察电流通过某些物体会发光，发明了电灯。中学数学学习中都离不开观察。在学生进行观察问题之前，教师要给学生布置清晰的任务，要让学生逐步养成观察的习惯。

（三） 培养学生大胆猜想的能力

任何伟大的发现、发明都是在人们大胆猜想的基础上出现的，猜想不是异想天开，更不是胡思乱想，而是以科学、合理的形式进行猜想。因此在数学教学中，教师要鼓励学生大胆地“猜想”，在分析和解决数学问题时，学生应该自觉使用直觉思维。

参考文献：

[1]徐兴成.浅谈高中数学新课程中类比思维能力的培养[J].基础教育论坛，2010.

[2]范亚浩，王套.浅谈数学直觉思维的特性及在学习中的重要性[J].郑州：河南科学技术出版社，2013：191.

作者簡介：

张丽，广东省湛江市，湛江市爱周高级中学。