在“数学实验”中引导学生“数学地思考”——以《钉子板上的多边形》教学为例

□江苏省南京市樱花小学 林超

一、案例引言

数学实验是一种为了获得某种数学结论，检验某种数学猜想，解决某类数学问题，而引导学生在创设的特定物质条件下，经过操作、探究、发现、思考、分析、归纳等思维活动，最后领悟概念和解决问题的教学手段，这种教学手段能将抽象的理论具体化，从而带动全体学生的思考活动，提高对疑问的兴趣。因此将“数学实验”提炼到课程的层次，则是对数学教学体系的有益补充，而在以“数学实验”为载体的《钉子板上的多边形》一课教学中，我就深刻认识到，需着眼于让学生明确探究的问题，亲历探索的过程，在主动思考、探索操作中合理猜想，学会“数学地思考”，并积累数学活动的经验，提升数学素养。

二、案例描述

来自“给予”和“生成”的思考：如何让实验成为需要？

【前期的试上】（片段1）

1.课前，我请同学们发挥想象，在钉子板上或是在点子图上创作多边形，黑板上就是同学们的部分作品。

而我在和同学们一起参观时，发现大家的想象力都非常丰富，因为同学们设计出的多边形很有心思，我这也选取了其中两个作品，现在就请作者来介绍一下自己的设计想法。（字母P、圣诞树）（为什么设计这个多边形，多边形的面积又是怎样算的？）

2.介绍非常清楚，同时大家有没有注意，这两位同学在介绍时，特别关注了三个数量，分别是？（多边形的面积、多边形边上的钉子数、里面的钉子数）（贴条）

3.那么，同学们有没有想过在计算面积时它们之间可能会有什么规律吗？

不仅是在座的同学们，数学家们也希望找到这三个数量之间的关系，研究它们之间千变万化的规律，其实，奥地利有位数学家叫做乔治皮克，他就是专门研究这个问题的，并且获得了非常大的成就。

今天，我们每个同学都可以做小小数学家，尝试做些数学小实验，试着找出其中的规律，大家愿不愿意试一试？

以上的片段1是我教学的引入环节，设计意图是希望在我适当的“扶持”下，学生们通过对两幅作品的观察比较，发现要使“多边形的面积”“边上的钉子数”“里面的钉子数”这三个数量呈现规律，必须经历实验的环节，方能得出结论，最终能体会到实验的必要性。按说这样的设计并没有问题，但我在与学生互动时，就已经听到有不少孩子小声嘀咕道：“这节课好难啊！实验？怎么去做实验？”“黑板上怎么突然多了三个数量，我都晕了。”“这些数量怎么可能会有规律？面积和钉子数压根儿没关系啊！”“那为什么要研究边上的钉子和里面的钉子？”“可是书上说的就是钉子板上的多边形，那肯定和钉子有关！”此言一出，争议声似乎也没有了。课后，这样的声音虽在耳边消失，却在我的心间萦绕，为什么会让孩子们有“难”的感觉呢？那正是因为孩子们有感于：“明明不相关的三个数量怎么可能会有规律呢？”正是有了这个潜意识，后续的实验环节就是以严谨缜密的成人思维垄断了学生的自我成长。我想，这不仅仅是个别学生曾有过的疑问，若再投射到一个个孩子学习数学的经历上，再具体到一节节的数学课上，好像这样的悬而未决的问题之所以仍能存在，或与我们没有找到不同领域、不同知识的相似之处、激活学生的经验、让学生大胆地提出猜想有关。

我想，在课堂中，教师给予学生的研究路径多是能找到答案的路径，只不过在实际的课堂生成中，情况往往是无法预设的：既不知道问题在哪里，也不知道能不能解决，更不知道该用什么方法来解决。为了帮助学生捅破这层窗户纸，我们就要相信学生是与生俱来的探究者，引导他们自主生成研究的路径。我不禁想到了特级教师刘德武说过的一句话：“只有在对比的情况下，学生才能深刻经历、感受。”那我们应在把准知识的生成点、学生的困惑点的基础上，学生的实践操作应伴随着问题的发生而逐步展开，数学思维自然地植入其中，让实验成为知识与思维融合的媒介。故而，我做了以下的点滴改变。

【正式的课上】（片段2）

1.现在请每个同学在钉子板上围一个面积是4平方厘米的多边形，尽量围得和别人不一样。

2.你是怎样确定这些多边形的面积是4平方厘米的？除了数格子、用公式计算，还有其他的方法吗？可以大胆地猜想一下。

3.虽然都是4平方厘米，可这些多边形有没有不同之处？要不，你再变一变，能围出一个比4平方厘米大的多边形吗？

4.通过变一变、围一围，你现在又有什么感觉吗？你觉得钉子板上的多边形的面积可能与什么有关？

5.我也学着大家的样子变一变，面积变大，边长变长，边上的钉子数呢？里面的钉子数呢？

6.多边形里面的钉子数、边上的钉子数和多边形的面积，这三个数量之间到底又有怎样的关系呢？你觉得可以从哪里开始研究呢？

如片段2，研究路径必须由学生说了算，想来，着眼于学生的潜意识，让学生学会确定研究的路径或许比发现的规律更加重要。在片段1中，研究路径的设计痕迹明显，由教师一步步“给予”孩子的，而片段2中则花了数倍于前者的时间引导学生“生成”实验研究的路径，孩子们虽然经历了前期的海阔天空般的创想，但围出了各种奇思妙想的图形，这是基于经验、感悟的创造，最终基于思辨，明确了研究的路径，为下一步数学实验的开展制造了认知条件。

当然，此时的孩子们内心中也产生了一个大大的疑问：“这三个数量之间到底又有怎样的关系呢？”进而联系第3问和第4问的提出，在制造认知矛盾的过程中造成认知的不平衡，再次激发学生刨根问底般的探究欲，为后面运用“数学实验”研究多边形内部有1个钉子及更多钉子数的情况做好铺垫。这样看来，数学实验的本质不正是让学生在动手操作中打开被掩盖的思维轨迹吗？通过多种学习方式的参与，增强对实验目标的融入程度，感受到实验的必要性。

来自“牵引”和“生长”的思考：如何明确实验的路径？

【前期的试上】（片段3）

1.那今天这节课我们就一起从最简单的开始研究，当多边形内部只有1个钉子时，看看会有什么发现。出示：研究单一。

2.小组内完成表格并交流汇报。

提问：可以怎样计算面积？（可以数方格计算，还可以用公式计算）

3.观察这些数据，你有什么发现？

预设：（1）多边形边上的钉子数越多，面积越大；（2）多边形的面积等于多边形边上钉子数的一半；（3）多边形的面积乘2等于多边形边上的钉子数（追问：反过来就是说……）

4.刚才几位同学都把意思表达出来了，只是还不够简洁。

在数学上，一般用a表示多边形内的钉子数，S表示面积，n表示多边形边上的钉子数，那么这个发现可以怎样说？（板书）

5.那S=n2这个发现是不是适用于钉子板上所有的多边形呢？（多边形内部只能有1个钉子）

如果，a=2、3、4、5……的话，面积和边上的钉子数会有怎样的关系呢？谁能大胆地猜测一下？（板书）

【正式的课上】（片段4）

1.学生1：为了找到多边形里面的钉子数、边上的钉子数和多边形的面积这三个数量之间的关系，我们小组准备通过实验的方法来研究。

学生2：可以在钉子板上先确定里面的钉子数，再改变边上的钉子数，这样可以看看面积有没有变化，说不定就能看出它们之间的关系。

2.教师：那你们准备先确定多边形里面有几枚钉子呢？先动手试一试吧！出示：

3.教师：小组内做实验时，你觉得要注意什么？观察每组汇报的数据，你发现了什么？

4.现在能下结论——多边形里面只有1枚钉子时，面积就一定是边上钉子数的一半吗？为什么？有没有类似的例子，看看你们组的例子是不是符合这个发现。这样的例子举得完吗？

5.我们再来看看多边形里面有2枚钉子时的例子吧。（逐一展示多边形内有多枚钉子的情况）

以上两个片段的设计思路都是希望通过实验操作，由具体到抽象，引导学生学会实验分工、实验设计，在完善实验方案的过程中感受到规律，毕竟过程的感知比发现规律更为重要。在授课过程中，我发现前者虽然程序性强，与知识版块结合紧密，活动容易开展，讨论容易进行，也更容易得出结论，但是，总感觉实验的展开是被我牵着走的，数学味淡，学生的参与感不强烈，思维没有那种自然而生的味道。而后者也有程序的设计，但是，在学生自主的讨论中产生与提出疑问，再由自己分析解决这些产生的问题，注重了学生活动过程中思维“生长”的力量，比如“研究单一”的设计完全推翻了片段3中的设计，三个实验步骤的提出，着眼点在于使学生自己“生长”出发现的过程，逐渐明白为什么这样做，需要注意些什么，还可以怎样做，呈现了数学实验之序。

三、案例反思

《钉子板上的多边形》是一节数学活动课，教材所提供的素材也非常便于实验的开展。按照以往的经验，这节课无论怎样安排教学环节，学生个体的操作和师生的互动都会频繁交替出现，整个课堂会显得非常忙碌。而这次，我用数学实验的思路去思考了本节课，思维顿时豁然开朗，原来数学课还可以这样上。整节课，我没有组织繁多的交流反馈，也没有口若悬河地引导讲解，在一片“此处无声胜有声”的氛围中，学生全身心地投入数学实验中，较圆满地完成了研究任务。

回想《数学课程标准》，其中也明确指出：“教师应注重数学知识与学生活动经验的联系、与学生学科知识的联系，组织学生开展实验、操作、尝试等活动，引导学生进行观察、分析，抽象概括，运用知识进行判断……”我想，这里的“实验”是有别于我们曾经自以为是的“实验”。那种看作数学实验的形式，更多是一种操作演示：或是教师的操作演示，或是组内个别学生的操作演示，更多的学生只是看客。课标所提倡的“实验”是当面对一个数学问题时，全员全程参与到探索研究的活动中来，即可独立实验，也可组内实验，“推着”所有学生参与，避免看客的存在。在学习时，美国学者H·拉斯维尔《传播在社会中的结构与功能》一文给了我很大的启发，文中首次提出“五W模式”，即“拉斯维尔程式”。这五个W分别是英语中五个疑问代词的第一个字母，即：Who（谁）、Says What（说了什么）、In Which Channal（通过什么渠道）、To Whom（向谁说）、With What Effect（有什么效果）。这一过程模式，正是教材想向学生表达的，若是运用到数学教学实践中来，可以培养学生阅读问题及自我反思的能力。因为学生对新知都具备或多或少的认识，所以才会在学习过程中不断在脑中问一问Why。而敢于提出问题，本身就是一种高效的学习方式，初期，学生对为什么要实验产生了疑惑，后又对实验的路径产生了不认同，这还是与数学实验的方式有关。数学实验是“自下而上”的，应首先向学生明确实验的目的与任务，再让学生带着目的和任务进行探究，学生在任务的驱动下进行实验，可以保证不偏离实验的方向，而我后续的教学设计也是聚焦于这五个W与数学实验的结合开展的。

两组教学片段的呈现都是面对动态多变的课堂而自然生成的，学生在实验的过程中也暴露出模糊、片面之处，可这恰恰可能是学生的学习起点，能将学生置身于一个“实验操作”的环境中，学生或可通过动手实验提出问题、再解决问题，从而构建出属于自己的知识体系，真正实现认知的再创造。