岭南数学家凌步芳算稿及书版的新发现

廖运章

(广州大学 数学与信息科学学院 广州 510006)

凌步芳是晚清岭南一位布衣数学家，世人对其生平事迹和数学成就的了解，大多源自他的数学著作《凌百砚斋算稿八种》，其中已刻三种即《杜德美割圆捷术通义》(上下卷)、《衍粟布衍草》《算学答问》，而《火器说略》《指数变法》《重学详说》《微分详说》《积分详说》五种未刻。数学史研究著述最早提及凌步芳的应是中国数学史名著《中算史论丛》(第三集)[1]，李俨先生认为“凌步芳(字仲儒号贲南，番禺人，？—1902)之《割圆捷术通义》四卷，则于杜氏外增三十二术，并取径于《微积溯源》。其第三十术‘弧求正切’自注称：弧在半象限以下，切线甚小者，可用此术求之。即

(近似值)”论及凌步芳运用微积分方法推证杜氏九术并将之推广的事实。

对于未刊刻的五种算稿，宣统《番禺县续志》记载“国朝凌步芳撰，存，手钞本”。然“存”于何处史料未曾具体说明。李迪则称“《百砚斋算稿》，八种(已刊三种)……余五种：《火器说略》一卷、《指数变法》一卷、《重学详说》六卷、《微分详说》三卷、《积分详说》四卷，未出。”[2]郭书春认为“《指数变法》一卷，未刊……《积分详说》四卷，疑收入《百砚斋算稿》，未刊……《百砚斋算稿》，八种，光绪二十八年(一九二年)刊本。”[3]

多年来，笔者多方搜寻凌步芳未刊行的珍贵书稿及相关史料，2015年2月终如愿以偿，在凌步芳后裔处发现全部《凌百砚斋算稿八种》原/书稿以及已刻三种书稿的雕刻版，书籍原稿与数学书版目前由凌步芳后裔完好保存，经凌步芳后裔许可，笔者已把新发现的五种未刻算稿及已刻三种数学书版制成电子数据文献复本，这是研究我国晚清数学史不可或缺的重要史料，将成为了解和研究凌步芳生平著述以及微积分思想等在广东乃至全国传播与发展的重要文献。本文拟对新发现的凌步芳算稿及书版作一简要介绍。

1 凌步芳生平事迹考

关于凌步芳的生平事迹，现存史料有限，凌步芳后裔称家谱文革期间已散失，凌步芳坟茔迁移时墓碑已毁，现祖屋尚留有两块石碑，其中之一刻“清光绪辛卯年正科第十七名举人凌步芳”字样，宣统《番禺县续志》在叙记《算法新裁》(二卷)作者时称：“国朝凌文海撰。谨按，凌文海，凌边人，与族弟步芳同习算学。”其余便是《凌百砚斋算稿八种》原/书稿及书版。

凌步芳(1849—1902)，字仲孺，号贲南，广东番禺人，清朝光绪辛卯年(1891)举人，后曾2次上京应会试不中，落榜后心灰意冷，从此不踏举业，专心于数学研究并开馆授徒，晚年曾在广州的宣城书院(大塘秉政街，1938年6月4日被日军飞机炸毁，仅余书院门额，今广州市国家档案馆仅存现场图片)、邝氏书院(今广卫路与吉祥路附近的卫边街)等教授学生数学。他曾计划收集端砚100方，故将自己书房命名为“百砚斋”，可惜未能如愿即英年故去，令人扼腕长叹。

据凌步芳的侄孙凌慕增先生(1936年5月生，称凌步芳为伯公)回忆，他祖父凌允扬曾说，凌步芳的父亲凌侣鸿共育有儿女10人，凌步芳排行第六，凌允扬排行老幺(第十)。凌步芳只生一女凌巧嫦(裹小脚)，成家后一直未到婆家生活，后与和她经历相似的一堂姐/妹共同生活，直至1961年6月去世，享年81岁，无子女。这与现存《割圆捷术通义》向广东提学使司“请版权事由……还恳给予版权以赡孀孤，自应准如所请……”所述相吻合。因凌步芳无子嗣，故将凌慕增的父亲凌沛江过继给凌步芳(继香火)，1902年凌步芳去世，享年53岁，其著作等由凌沛江承继，收藏保存至今，由此推知凌步芳应诞生于1849年。

只有小学文化的凌慕增，至今还能朗朗背出其祖父凌允扬口授凌步芳借用时传并能表达其际遇的词句：“士农工商，终日茫茫，人生碌碌，竞短争长，叹西风金谷，夜月乌江，阿房宫冷，铜雀台荒。真乃凄凉，真乃彷徨，总不如乐天知命，安分守常。”

这可能源自沈复《浮生六记》、亦或是俗传康熙逍遥词“看士农工商，终日奔忙，人生碌碌，竞短争长，却不道荣枯有分，得失难量。叹秋风金谷，夜月乌江，阿房宫冷，铜雀台荒，却做了邯郸梦一场。真乃凄凉，真乃彷徨，道不如乐天知命，守分安常。”

凌步芳何时、何处、向谁学算等，迄今发现的相关史料难以查考，但他以自学为主习得数学知识却是不争的事实。他在《衍粟布衍草》序中写道，“余幼习举业，……惟闻同郡某先生以算鸣于时，心好之尝往而请业，而门墙高峻不易得入，又索重贽，非白金四十两不许及门，余既呀其世道，又自顾寒畯无力办此，嗒然退而自怼也。自是乃渐购算书，以私意解之，亦似易易，遂慨然欲奉古人以为师，随购随读，渐有所得，而其时风气未开，按张南皮书目答问内所列算书，索之书肆十不得二三……”[4]张之洞《书目答问》是一部令初学者易买易读、便于翻检之书，子部“天文算法第七”著录算术、几何、代数、天文、历法等书籍，中西兼顾，其中大多为中国古算书，涉及一些西方数学如《代数术》《代微积拾级》《数学启蒙》等，凌步芳正是沿着《书目答问》引导的中西数学书目，自学成才的。

凌步芳曾寄望清末旨在增设算学科的科举内容改革，试图通过数学科举考试获取功名，以自己的数学专长效力于国家，“忧忆前十年，时闻大臣议开算学科，则跃跃然，喜以为余所学将有用于世”，但残酷的现实使之望而却步，最终放弃科名以数学为业，“天马行空不可羁，壮心犹记读书时，如今屡受同人笑，道是贲南老算师。假馆宣城学课徒，重阳未近已催租，及门旧友多通算，为算今年过得无。”[5]致力于传播数学文化的数学著述和数学教育，成为继陈澧、邹伯奇等人之后岭南又一位重要的数学家。

2 百砚斋算稿及书版保存现状

迄今，学界对《凌百砚斋算稿八种》已刊三种、未刊五种书名不存疑义，但每种卷数多少说法稍有出入，但都依据《杜德美割圆捷术通义》之百砚斋卷首纲目所述“《割圆捷术通义》二卷、《衍粟布衍草》一卷、《算学答问》一卷，《火器说略》一卷、《指数变法》一卷、《重学详说》六卷、《微分详说》三卷、《积分详说》四卷。”

李俨先生称《割圆捷术通义》四卷，可能是笔误，将《衍粟布衍草》一卷、《算学答问》一卷和《割圆捷术通义》二卷合成四卷了。事实上，《割圆捷术通义》二卷正式书名，分别称为《杜德美割圆捷术通义》《杜德美割圆捷术通义下卷》。

从新发现的未刻五种手稿本来看，《微分详说》分四册(本)，由卷首、卷一至卷十一构成；《积分详说》分三册(本)，包括卷一至卷十一；《重学详说》分六册(本)，从卷一至卷十六(含流质重学)；《火器说略》与《指数变法》各为一册(本)。不难发现，百砚斋卷首纲目所称的“卷”，实为“册”也。

2.1 凌步芳已刻三种算稿

凌步芳在世时，《凌百砚斋算稿八种》已先后成书，并附有凌步芳自序，光绪辛丑年嘉平月(1901年12月)其在《自题百砚斋算稿绝句十五首并序》中写到，“……故于写定全稿之余，略举大旨，题之简端，都为截句十五首……”描述其学算、著述的过程和其中的苦辣酸甜。比如，凌步芳在丁酉(1897)腊月自记的《衍粟布衍草》序中指出，戊子年(1888)友人从湖南买回《粟布衍草》，“余性好思……以代数术推之，又别有所见，然不知与诸先生立术之旨果有合焉否也，乃一片纸书之夹于《粟布衍草》中……后馆于邝氏书院，是年即丁酉科也揭晓后……复理旧业，无意中于《粟布衍草》内忽见故纸……伸纸惘惘，强理前说，按法推算，夜以继日，则向之所谓根数藏匿隐而未宣者，皆豁然开通……乃编次细草而抄存之，以为一家之言……”可见，《衍粟布衍草》写作前后历时十年，成书于1897年。

因刻资欠缺，《凌百砚斋算稿八种》一直未能出版，直至凌步芳光绪壬寅年去世(1902年)后，其门生和亲朋好友才捐资刻印《杜德美割圆捷术通义》《衍粟布衍草》《算学答问》三种，光绪二十八年开雕、三十二年刊竣(“遗书付梓请给版权由”)。《火器说略》《指数变法》《重学详说》《微分详说》《积分详说》“以上五种容后续出”，但迄今均未能面世。

图1

图2

图3

凌步芳已刻三种算稿，目前流传于世的至少有11套，分别藏于凌步芳后裔、广东省立中山图书馆(粤图)、李俨、钱宝琮、李迪、北京图书馆北海分馆、南开大学图书馆、安徽师范大学图书馆、内蒙古师范大学科学史研究所资料室、东北师范大学图书馆、中国科学院自然科学史研究所图书馆等处[6]。2015年4月，广州出版社出版的《广州大典》(第四十五辑·子部天文算法类第一册)，收录该三种算稿的影印本(依粤图藏本复制)[7]，向海内外公开发行。

按“页”指书(稿)中标示的页码、1页包括左半页和右半页、封面算半页(0.5页)计算，《凌百砚斋算稿》已刻三种共163页，具体页数如下：

(1)“凌百砚斋算稿八种”售卖广告、“钦命三品衔(署理广东提学使司学使准补高雷阳道)段批，光绪三十二年十一月初三日示”字样的版权页、“光绪壬寅粤东番禺灵山凌百砚斋开雕”页各0.5页。

(2)《杜德美割圆捷术通义》封面0.5页，自序4页，百砚斋卷首纲目1页，百砚斋卷首自序5页，百砚斋卷首附序4页，正文41页；《杜德美割圆捷术通义下卷》封面、目录、正文共29页；《衍粟布衍草一卷》封面0.5页，序2页，正文30页；《算学答问一卷》封面0.5页，序3页，正文38页，后序3页。

2.2 凌步芳已刻三种算稿版片

凌步芳已刻三种算稿为私刻，以凌步芳的书斋名“百砚斋”为书号，由门生亲友募资、借众人之力刊刻，以纪念和缅怀刚去世的凌步芳，勉励子孙后学，沿承前学的宝贵遗产。因乏资财，心有余而力不足，其余五种算稿只能搁置至今，不得出版，落下遗憾。

已刻三种算稿版片的数量(页数)、大小规格、保存状况等基本信息，除版权页、《割圆捷术通义下卷》第19—20页的1块版片缺失外，其余保存基本完好，共81块板。同时，新发现一块单面“凌百砚斋算稿八种”售卖广告版片，上书“三种先出分装——凌仲孺师百砚斋算稿八——四本定价八角”(图1)；另“百砚斋算稿八种”(图2)、各书封面也为单面木刻版(共4块)，如《割圆捷术通义下卷》封面(图3)；其余版片多为双面木刻版。

售卖广告版片的大小为宽22.6厘米、左右边框高20.5厘米、中间框高24厘米、厚1.7厘米，“百砚斋算稿八种”版片的大小为内/外宽12.6/13厘米、内/外高18.6/19厘米、厚1.4厘米。

《杜德美割圆捷术通义》23块板，封面与开雕页同一块板(图4)，封面内/外宽26.1/26.5厘米、内/外高18.3/18.7厘米、厚1.3厘米，其余内/外宽27/27.4厘米、内/外高17.4/17.8厘米、厚1.2厘米，上象鼻4.3厘米、下象鼻长3.5厘米，版心长，9.1厘米、宽1.2厘米。

图4

《杜德美割圆捷术通义下卷》15块板，缺第19—20页的1块板，封面内/外宽12/12.3厘米、内/外高17.7/18厘米、厚1.6厘米，其余内/外宽27/27.4厘米、内/外高17.6/18厘米、厚1.2-1.5厘米，上象鼻5.1厘米、下象鼻长3.6厘米，版心长8.5厘米、宽1.2厘米。

《衍粟布衍草一卷》17块板，其中第13—14页多1块备用板，内/外宽27.1/27.5厘米、内/外高17.6/18厘米、厚1.2厘米，上象鼻5厘米、下象鼻长3.5厘米，版心长8.4厘米、宽1.2厘米。

《算学答问一卷》24块板，封面、最后一页、自序第3页为单面，封面内/外宽15.6/16厘米、内/外高18.6/19厘米、厚1.4厘米，其余内/外宽28.4/28.7厘米、内/外高18.3/18.6厘米、厚1.2厘米，上象鼻7.2厘米、下象鼻长2.9厘米，版心长8厘米、宽1.2厘米。

翻译难在两种语言的文化存在很大的差异。“由于地理、历史、宗教信仰、生活习惯等方面的差异，英汉英语典故性成语具有不同的民族文化特征和文化信息。有些事情在一种文化中是不言而喻的，然而在另一种文化中却很难理解。不同国家的同一个词或典故性成语的含义往往是不同的。”（英语典故性成语来源与文化差异，《求索》，2005年 04期）因此，要准确理解和翻译每一个典故性成语，必须了解其文化背景，文化内涵，采用正确的翻译方法，透过语言表面，了解其深层文化内涵。所谓翻译就是用另一种语言传达某种语言的文化信息。

从版式设计看，与大书局如广雅书局等所刻书籍如出一辙。如行款为半页十一行，每行二十四字，大小字数相同，有的行还可能会出现小字双行的注解，但出现数学式子或图形时，就比较灵活，会根据具体情况作出调整，并不按固定格式排列(图5)。而晚晴数学书籍如《几何原本》行款大多采用半页10行22字，间有少量的10行20/21/24/25字或11行21字，凌步芳已刻三种算稿的行款设计体现其印刷文化的地域特征。版框，各书规格相同，都为四周双边，高度大致为18厘米，整框宽度约为28厘米，而广雅书局所刊书籍大多为四周单边、版框的高度大致为20厘米、半框宽度稍大于15厘米。版心，刻有书名、卷次、页数，如“卷一 割圆捷术通义 八”(只有“割圆捷术通义 七”漏了卷次)、“卷二 割圆捷术通义 二十七”“卷三 衍粟布衍草 三十七”“卷四 算学答问 八”等，版心长约8.5厘米、宽1.2厘米，印有页数。鱼尾采用黑口单鱼尾(上鱼尾)，上象鼻(花口)刻有“百砚斋算稿八种”，下象鼻为阔黑口，上花口长、下象鼻长各板不一。

图5

图6

从字体和排印方式看，除封面、自序、后序等用篆书或草书体外，正文等都选择通行的宋体字，数学语言符号则采用李善兰创制的体系；书的排印方式，按传统的由右向左直行规格，数学式子则是从左到右的横排格式。

从刻印者看，作为私刻的凌步芳已刻三种算稿，未曾记载刻书人、承印人等相关信息，这与官刻、坊刻标识其字号或名称不同。所幸《杜德美割圆捷术通义》末页板背面书有“书板三扎，交省双门底上街儒雅堂大宝号收入，马冈冯继善”字样(图6)，可推知凌步芳已刻三种算稿由马冈冯继善承刻、粤东儒雅堂承印。广东顺德县马冈几乎成为清朝广东乃至全国的刻书中心，工匠主力多为妇女，是国内几个存在过女子刻书的地区之一，有着长期的刻书传统和业绩，冯继善即冯继善堂是当时马冈重要的刻字铺号，其所刻之书常题“粤东顺邑马冈乡冯继善承刊”等铺名牌记，往往书刻成后未下墨刷印即送广州等地印刷[8]。清代广州书坊(卖书、刻书、印书等)数量之多仅次于北京、苏州，大小120多家，多集中于双门底(即今北京路北段)、西湖街、学院前等地，官刻、私刻大量委托书坊代印，儒雅堂书坊即在双门底，是清代广州书坊数量最多的地方。由记载的内容看，“省双门底上街”即广州北京路北段，大意是冯继善堂将所刻的三部书刻板，送交广州双门底上街的儒雅堂书坊承印。

2.3 凌步芳已刻三种算稿的基本内容

将微积分、代数学、圆锥曲线等西方数学新知识与当时中国数学研究最前沿领域相结合，是凌步芳研习数学的重要特征，已刻三种算书就是其代表性成果，是其数学思想的重要体现。

明末清初是西方数学第一次输入中国，为中国传统数学注入新鲜血液，鸦片战争后，清政府被迫打开中国的大门，西方数学再一次进入中国，伟烈亚力与李善兰合译的《代微积拾级》(1859)等西方近代高等数学，引起清末数学家的极大兴趣，出现研习微积分的热潮，但主要以学习理解微积分为主，运用微积分进行数学研究并有所成就的不多，夏鸾翔、凌步芳等就是其中的佼佼者。18世纪中叶至19世纪中叶百余年间，我国对三角函数和对数函数等幂级数展开式研究是数学研究的前沿课题，源自清初传入的“杜氏三术”，明安图、董祐诚、戴煦、项名达、李善兰、徐有壬、夏鸾翔、邹伯奇、顾观光等数学家均有涉猎，并自成体系，各具特色。然而，运用微积分方法系统研究杜氏级数并有所成就者，即是凌步芳的《杜德美割圆捷术通义》及其下卷。

《杜德美割圆捷术通义》以“杜德美割圆捷法原本(从董氏遗书本)”为蓝本，先依次阐释杜氏九术“第一术圆径求周、第二术通弧求通弦、第三术通弧求矢、第四术弧背求正弦、第五术弧背求正矢、第六术通弦求通弧、第七术矢求通弧、第八术正弦求弧背、第九术正矢求弧背”，然后明确指出“第八术、第一术、第六术、第九术、第七术，共一法；第四术、第二术，共一法；第五术、第三术，共一法。论曰：以上九术共三法，其实则一法矣。……则虽谓杜氏九术，皆统于第八正弦求弧一术可也，各详其法如下。”之后用《微积溯源》卷七第七题的方法，对第八术予以推证，最后再分别对其余八术进行证明。这是凌步芳的创建，为前人未曾有过的。在此基础上，凌步芳又列出新的三十三术，其中除第九术(“弧求余弦，本微积拾级”)、第二十二术(“正切求弧，本微积拾级”)、第二十三术(“正切求弧又法，本微积溯源”)外，“余共三十术皆新定。”但不加证明，“读者自可以上卷诸法，推而得之。”这就是《杜德美割圆捷术通义下卷》的全部内容。李俨先生所言“于杜氏外增三十二术”可能是笔误，实为三十三术。

《衍粟布衍草》是凌步芳用代数方法推广《粟布算草》的研究成果，《粟布算草》是当时数学名家吴嘉善、李善兰、曾纪鸿、丁取忠、左潜、邹伯奇等，通过书信往来的方式，讨论研究借贷计算的论文专集，吴裕宾研究认为把廉法表、天元术、堆垛术、今有术等中国传统数学方法用于借货中原本、利率、收回数的计算，这在中国数学史上尚无先例，在中国数学与金融史上都有积极意义[9]。凌步芳“先立术，次释术，补求收回次数一法，复推广之。”从“立术共四款”(第一款求原本术、第二款求收回术、第三款求利率术、第四款求收回若干次数术)，到第五款论本法一、第六款论本法二、第七款论本法比例、第八款释第一款术、第九款释第二款术、第十款释第三款术、第十一款释第四款术、第十二款释粟布衍草术一、第十三款释粟布衍草术二等方面，论述自己的独到见解，展现素朴的金融数学思想，“而惜乎不得亲见丁果臣暨吴李诸先生执书质疑于芰荷精舍中，故今之所得者止此。呜呼，世之寒士，独学而无师者难矣哉。”

2.4 凌步芳未刻五种算稿

五种未刻算稿都无正式封面和题名，只是在每册书底题写书名与编号(如《微分详说》一、二、三、四，《积分详说》一、二、三等)，但每种书稿都有序、总论或后记(图7)，论及成书的背景或缘由。

图7

“微积初学详说”自序说，“惟教学以来，举业外有算术请者，九章代数外，有以微积请者，予皆以所知者告知，或草之书以代喉舌，积久成帙，遂录存之，名曰初学详说，纪实也。大旨本微积拾级，拾级不备间采溯源以补之。然其中文理，但求明顺，实不尽合拾级本文，以拾级既经翻译，亦非原本也。世有通材，取法贵上，当必取原本读之，而原本之在今日，又不可得，则自今以往，不知又历几何年。必有一日，五洲一统，中外同文，尽取耐端来本之等原书，以上贡天禄石渠，而下领于天下学官者，其将在神圣复生，兴亚东而声教西迄之世也呼。时岁在屠维大渊献若。”可以看到，《微分详说》《积分详说》成书时间在己亥年(1899年)，是为微积分初学者撰写的学习参考书，内容取自《代微积拾级》与《微积溯源》，从其目录也可看出一斑：《微分详说》包括，首卷释号、释名，卷一总论(论变数、论变数限、论微分)，卷二代函数微分，卷三代函数设题，卷四上二项例、指函数微分、对函数微分，卷四下圆函数微分，卷五繁函数设题，卷六上叠次微系数、马戴二术之理，卷六中马戴二术之用，卷六下马戴二术不可通用之故，卷七上阴函数微分、双变数叠微分，卷七中极大极小限之一，卷七下极大极小限之二，卷八曲线上之四线公式、渐近线，卷九曲线曲面曲体各微分公式，卷十(上中下)曲率半径、渐伸线、摆线理、曲线相切、曲线上诸独异点，卷十一隐分数、无穷小数理；《积分详说》包括，卷一总论，卷二独函数积分、多函数积分、独项对函数积分、常数丙，卷三合名积分、合名四术，卷四合名四术作法之原，卷五分函数积分，卷六虚函数积分、级数积分，卷七对函数积分、指函数积分、圆函数积分，卷八曲线积分，卷九曲线面积分，卷十曲线之皮积，卷十一曲线之体积。显而易见，凌步芳微积详说主要是为微积分初学者诠释拾级、溯源的相关内容，如在“论叠求微系数”中，对《微积溯源》求函数u(x)=a2/(x2+a2)高阶导数只是提供答案的情形，作出详尽解答并对结果予以归纳说明，其中涉及求(x2+a2)3导数没有出现类似《代微积拾级》求(x2+a2)3导数的失误。这从一定程度上反映出微积分传入中国40年后，中算家对微积分的理解更深刻，已认识到西方数学的优越性，认为较之译著，原著对学习微积分更重要，并相信中西数学合流之日必将到来。

《重学详说》是对艾约瑟、李善兰合译的《重学》之解读，缘起是“适有门人问动理及地心引力者，予以第十九卷示之，多为设题以畅其说。及门见之喜，据此可以发挥重学矣，强予为重学详说……时岁在重光赤奋若。”完成于辛丑年(1901年)，全书依《重学》顺序编排，“前七卷皆论静重学”，卷一论杆、卷二论并力分力、卷三论七器、卷四论助力合器、卷五论重心、卷六论刚质相定之理、卷七论面阻力；后九卷为动重学，卷八动重学总论凡例、卷九论平动相击、卷十论渐加速及地心摄力之理、卷十一总论物动于抛物线之理、卷十二论物行于曲线之理、卷十三论动体绕定轴之理(此卷沿用原文，故语皆晦涩)、卷十四论器动、卷十五论动面阻力、卷十六论诸器利用，附录的流质重学“以下皆原文，有损无增，不过先后移易之，以便读耳。”凌步芳诠释《重学》的基本方式，“(造衡法)原文简晦，全行订明疏通”；或增加实例以示说明，如“按此款只存公式而未详其理，以其浅故不言也，然非初学可晓，今补数题于后，以明其理兮”；或提出质疑并予改正，如“按吾粤南海邹伯奇遗书存稿谓三角椎体重心在垂线四分之一，此言非也。……邹氏一时疏忽误认此为垂线耳……以下分款言之，以证明公式之塙，而邹氏之误亦明矣。”

《指数变法》又称《指数变法汇钞》，是“为习微积者用也……皆前人之旧法而已矣，故曰汇钞。”凌步芳只是辑录，没有“详说”。他在《火器说略》庚子年二月(1900年)的自记中称，“右说火器一卷，庚子春读李壬叔火器真诀之所推衍也。……庚子……正月二十由乡抵省城，馆友未至，寒风砭人……荒馆一灯，益觉沉寂，信手取架上书，适得李氏火器真诀，又忆李氏作此书时，尝以示金匮华蘅芳，华不满意，别为抛物线浅说，故并取阅之，其求两抛角之交角，用意甚巧，然李氏图中已具此法，比之华氏尤为简捷……不揣固陋，爰取其图说而引申之，又条分之缕析之，以补重学第十一卷之所未备。既又用重学理，采华氏说，衍为抛角、抛时、抛界、抛速，反复互求，斜面上下，高抛、平抛、低抛，皆有图说。历十余日，至二月初九，则同学具来，课程斯始，力不暇他及，故仅得若干题而止。……又有抛角、有抛界，求斜面交地平角一法，未立，姑俟他日。”

概而言之，凌步芳未刻五种算稿，是以诠释《代微积拾级》《微积溯源》《重学》与《火器真诀》为主要特征的系列著作，虽然给出一些独创性的解释，但尚未发现具有超越原/译著之处。普及数学新知对数学发展的重要性不言而喻，学校教学、学者研究、期刊出版、民间传播等综合起来才能到达目的，毕其功于一役的想法或做法收效甚微，都不切合实际，这是微积分在中国传播的曲折历史给予的启迪。

4 结语

雕版印刷的版片是纸质古籍印刷的母体和源头，有着和纸质古籍一样的历史价值和学术价值。据统计，我国现今的版存总量在百万片左右，这个数量，远远小于纸质古籍的收藏总量[10]。就数学古籍版片而言，存世量比较稀少、分散，一种书雕一套版、一套版只能印一种书，木雕版更难保存。目前国内鲜有研究，相关论著尚属空白。2014年12月05日山西省运城市垣曲县文物局对外通报，发现清代科学家安清翘所著《数学五书》《数学指南》等著作的338块木刻雕版，有待进一步深入研究，这也是迄今提及数学古籍雕版的难得一次。

凌步芳已刻三种书籍及其书版，是一套雕版和书籍匹配并保存至今的珍贵历史文化遗产，至今已110多年，十分难得。如何对私藏的凌步芳数学书版及算稿进行揭示和研究，进而提出、实施科学有效的保护措施和方法，意义深远，研究者将在后续的研究中予以探讨。

致 谢本文承蒙凌步芳侄孙凌慕增先生及其亲属无私提供《凌百砚斋算稿八种》手/书稿及相关版片，写作过程中还得到内蒙古师范大学科学技术史研究院教授郭世荣先生的悉心指导，谨致谢忱!